運(yùn)籌學(xué)對(duì)偶問題

第二章

LP的對(duì)偶理論與靈敏度分析線性規(guī)劃的對(duì)偶問題III每天可用能力設(shè)備A（h）設(shè)備B（h）調(diào)試工序（h）06152115245利潤(rùn)（元）21問公司應(yīng)每天制造兩種家電各多少件，使獲取的利潤(rùn)最大。例1

問題美佳公司愿意以多大的代價(jià)出讓自己所擁有的生產(chǎn)資源？設(shè)y1,y2和y3分別表示出讓資源A，B和調(diào)試工序的單價(jià)，則美佳公司同意出讓的條件將是同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品I的資源同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品II的資源購(gòu)買者希望用最少的代價(jià)獲得這些資源，因此這樣得到一個(gè)新的線性規(guī)劃問題稱這一問題是原來的LP問題的對(duì)偶線性規(guī)劃問題或?qū)ε紗栴}，原來的LP問題也稱為原問題。LP問題的對(duì)稱形式變量：所有變量均具有非負(fù)約束約束條件：最大化問題所有約束條件都是“≤”型的最小化問題所有約束條件都是“≥”型的對(duì)稱形式下的對(duì)偶關(guān)系項(xiàng)目原問題對(duì)偶問題AbC目標(biāo)函數(shù)約束條件決策變量約束條件系數(shù)矩陣約束條件右端項(xiàng)向量目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量maxz=CXAX≤bX≥0約束條件系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)置目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量約束條件的右端項(xiàng)向量minw=Yb’A’Y≥C’Y≥0原問題maxz對(duì)偶問題minwn個(gè)決策變量m個(gè)約束條件n個(gè)約束條件m個(gè)決策變量約束條件“≤”型決策變量≥0決策變量≥0約束條件“≥”型對(duì)稱形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)偶問題的對(duì)偶是原問題，即對(duì)偶關(guān)系是相互對(duì)稱的關(guān)系非對(duì)稱形式下的對(duì)偶關(guān)系原問題（對(duì)偶問題）maxz對(duì)偶問題（原問題）minwn個(gè)決策變量m個(gè)約束條件n個(gè)約束條件m個(gè)決策變量約束條件“≤”型約束條件“≥”型約束條件“=”型決策變量≥0決策變量≤0決策變量無約束決策變量≥0決策變量≤0決策變量無約束約束條件“≥”型約束條件“≤”型約束條件“=”型單純形法的矩陣表示添加松弛變量XS將XB的系數(shù)矩陣化為單位矩陣CBCN0XBXNXS0XSbBNICBCN0CBCN0XBXNXSCBXBB-1bIB-1NB-10CN–CBB-1N–CBB-1初始單純形表迭代后的單純形表在初始單純形表中單位矩陣經(jīng)過迭代后變?yōu)榛仃嘊的逆在初始單純形表給出的解中基變量Xs=b,而在迭代后的表給出的解中基變量XB=B-1b系數(shù)矩陣的變化:[A,I]B-1[A,I]在初始單純形表中變量xj的系數(shù)為Pj經(jīng)過迭代后變?yōu)镻j′,并且Pj′=B-1Pj若迭代后的單純形表為最終表則該表也同時(shí)給出對(duì)偶問題的最優(yōu)解項(xiàng)目原問題變量原問題松弛變量x1x2x3x4x5x315/20015/415/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2-σj0001/41/2對(duì)偶問題剩余變量對(duì)偶問題變量y4y5y1y2y3項(xiàng)目對(duì)偶問題變量對(duì)偶問題剩余變量y1y2y3y4y5y21/4-5/410-1/41/4y31/215/2011/2-3/2σj15/2007/23/2原問題松弛變量原問題變量x3x4x5x1x2原問題最終單純形表對(duì)偶問題最終單純形表例1最大化問題檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)給出了對(duì)偶問題的解原本在對(duì)偶關(guān)系中，原問題的變量對(duì)應(yīng)著對(duì)偶問題的約束條件，原問題的約束條件對(duì)應(yīng)著對(duì)偶變量。但在分別添加了松弛變量和剩余變量后，也可以建立原問題變量與對(duì)偶問題變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系原問題對(duì)偶問題第i個(gè)約束條件中添加的松弛變量第i個(gè)對(duì)偶變量第j個(gè)變量第j個(gè)約束條件中添加的松弛變量注上表中我們將松弛變量與剩余變量統(tǒng)稱為松弛變量對(duì)偶問題的基本性質(zhì)弱對(duì)偶性原問題可行解的目標(biāo)函數(shù)不超過對(duì)偶問題可行解的目標(biāo)函數(shù)弱對(duì)偶單性的北推論（1）原座問題栗任一異可行局解的搞目標(biāo)幼函數(shù)乒值是弟其對(duì)彈偶問名題目毛標(biāo)函雨數(shù)值沾的下蟻界；述反之紫對(duì)偶止問題設(shè)任一捉可行蜓解的變目標(biāo)夾函數(shù)未值是搭原問碼題目踩標(biāo)函扯數(shù)值土的上重界。（2）如勸原問名題有桿可行欄解且晉目標(biāo)道函數(shù)杏無界晉（即掃原問滑題為懶無界概解）哄，則雷對(duì)偶春?jiǎn)栴}贏無可醋行解任；反紡之對(duì)喪偶問收題有縫可行饑解且咱目標(biāo)暢函數(shù)漆無界眨，則弄原問腥題無拾可行危解。塵注意然該推貿(mào)論的烘逆命射題不鋸成立示。（3）若斧原問昆題有顯可行揉解而教對(duì)偶筒問題離無可哲行解曠，則棗原問嘩題目認(rèn)標(biāo)函窄數(shù)無摩界；姐反之漠對(duì)偶緩問題淺有可啄行解鎖而原終問題悅無可客行解星，則屋原問癢題目喂標(biāo)函碰數(shù)無促界。最優(yōu)鞠性若原害問題侍一個(gè)率可行肉解目繩標(biāo)函竹數(shù)等濁于對(duì)腔偶問確題的扶某個(gè)都可行晶解的皺目標(biāo)份函數(shù),則這穗兩個(gè)搏可行揮解分恒別是逢原問可題和宇對(duì)偶聯(lián)問題末的最匹優(yōu)解強(qiáng)對(duì)叮偶性若原鞭問題啦和對(duì)冬偶問渾題都蛾有可鹽行解,則它檢們都約有最谷優(yōu)解,且最摟優(yōu)解瓣的目誦標(biāo)函物數(shù)值天相等互補(bǔ)糞松弛掠性在線印性規(guī)康劃問扎題的強(qiáng)最優(yōu)犬解中,如果用對(duì)應(yīng)何某一焦約束御條件講的對(duì)已偶變睛量值原非零,則其貸對(duì)應(yīng)未的約荒束條戀件取今等式;反之乎若一依個(gè)約弓束條售件為率嚴(yán)格鉛的不孩等式,則其咸對(duì)應(yīng)暮的對(duì)回偶變眨量為向零互補(bǔ)岔松弛勻性的慕另一此種表蜂述在線頌性規(guī)蘋劃問喊題的毒最優(yōu)盒解中,如果移對(duì)應(yīng)家某一醉約束剃條件者的對(duì)便偶變而量值嘉非零,則該霜約束效條件萄中松敵弛變束量等趨于零;反之影若一蠻個(gè)約非束條絨件中飾松弛替變量昏非零,則其癢對(duì)應(yīng)領(lǐng)的對(duì)部偶變她量為城零。例（p7套6.改7）原問題對(duì)偶周問題將原問題呆最優(yōu)皂解X*胃=(資2,晨2,部4,短0)代入屋原問社題約爺束條和件中太得第一絞個(gè)約尺束條擴(kuò)件：2+餅6=掃8，為馳等式第二張個(gè)約艇束條奇件：4+壘2=脊6，為更等式第三貍個(gè)約小束條豎件：2+策4=射6，為面等式第四午個(gè)約罵束條倚件：2+革2+港4<該9，為弊不等洽式，偷故y4=覽0而由x1=2春>0瞞,得而由x2=2魄>0陷,得而由x3=4兼>0五,得于是盾得到還方程賠組得對(duì)偶喊問題鑰最優(yōu)貝解為注：采原問敵題與陸對(duì)偶胖問題慨最優(yōu)跑目標(biāo)行函數(shù)祥值都順是z*方=4搜+8樂+4削=1腔6第三追節(jié)裙影龍子價(jià)依格式中bi是線衣性規(guī)膛劃原粗問題呢約束預(yù)條件叉的右側(cè)端項(xiàng)柜，它的代表?yè)Q第i種資按源的搞擁有肌量；對(duì)偶曬變量yi的意暮義代扛表在陽(yáng)資源禽最優(yōu)倘利用魄的條袋件下峰對(duì)第i種資杏源的響估價(jià)。這現(xiàn)種估攻價(jià)不宜是資諒源的慶市場(chǎng)護(hù)價(jià)格禽，而飾是根秘?fù)?jù)資揉源在倚生產(chǎn)盒中作糕出的桐貢獻(xiàn)迷而作作的估躲價(jià)，謎為區(qū)救別起把見，所稱為影子暴價(jià)格。設(shè)淋和武分偏別是諷原問扣題和務(wù)對(duì)偶敢問題貪的最瀉優(yōu)解臣，則棄由對(duì)趣偶性倘質(zhì)，色有資源飾的影屋子價(jià)奸格隨滔企業(yè)序的生躍產(chǎn)任兼務(wù)、旦產(chǎn)品屑結(jié)構(gòu)慚的改撤變而正改變影子姑價(jià)格字是資災(zāi)源的邊際墻價(jià)格資源員的影群子價(jià)穗格也狗可視傳為一貼種機(jī)會(huì)露成本在生元產(chǎn)過葡程中碎若某仍種資朝源未交得到悶充分附利用柴則其濾影子左價(jià)格瓦為零蘭；只躁有在匙資源虜?shù)玫絼h充分打利用迫時(shí)，戀其影息子價(jià)孩格才暈可能追非零利用扶影子金價(jià)格完可以伙說明搏：?jiǎn)螎浼冃晤}法中拴的檢典驗(yàn)數(shù)比可以抓看成敗生產(chǎn)克某種腸產(chǎn)品程的產(chǎn)男值與助隱含它成本停的差可以嶼利用舟影子期價(jià)格夕確定旺企業(yè)順內(nèi)部逼的核黑算價(jià)婦格，語(yǔ)以便你控制必有限慌資源夾的使組用和予考核概下屬茫企業(yè)鈴經(jīng)營(yíng)滴的好奪壞。例1Ma孤xz=2x1+x2s.閘t.胸5x2≤1叢56x1+2x2≤2球4x1+x2≤5x1,x2≥0x2=36x1+2x2=24x1+x2=5最優(yōu)速解可行困域最優(yōu)翼目標(biāo)為函數(shù)鵲值的等變化制：8.已5變到8.卷75，增辯加1/財(cái)4資源舅的變壘化：論設(shè)備B的可黎用時(shí)銀間從薪增加被一小別時(shí)參考均文獻(xiàn)探：李慧頭：資歷源影代子價(jià)醉格分高析與陸經(jīng)營(yíng)翅管理住決策對(duì)，系統(tǒng)細(xì)工程輕理論右與實(shí)份踐，20藏03年4月號(hào)錯(cuò)，22業(yè)-2門6第四堆節(jié)少對(duì)偶井單純終形法按對(duì)偶糕問題頌與原神問題宗之間戲的關(guān)夠系，淘對(duì)最邁大化交問題天，在捏用單境純形辱法求蓬解原僅問題斬時(shí)，仙最終砍表不導(dǎo)但給前出了紀(jì)原問吹題的斬最優(yōu)詢解，介而且幸其檢叼驗(yàn)數(shù)嗚的相經(jīng)反數(shù)怠就是捏對(duì)偶耕問題隸的最虛優(yōu)解法。單純形法求解的基本思路基可行解檢驗(yàn)數(shù)非正保持解的可行性對(duì)偶單純形法的基本思路對(duì)偶問題基可行解（檢驗(yàn)數(shù)非正）原問題基可行解保持對(duì)偶問題解的可行性（檢驗(yàn)數(shù)非正（對(duì)挑偶問舍題可來行解捧）保持蹦對(duì)偶備問題幣有基啟可行乘解,而原霸問題忙只是既基本克解,通過勞迭代,使后抓者的穿負(fù)分蠟量個(gè)蝴數(shù)減叛少，拴一旦伙成為誼基可肉行解,則原凝問題劉與對(duì)榆偶問徑題同修時(shí)實(shí)錦現(xiàn)最強(qiáng)優(yōu)解.對(duì)偶碎單純地形法壟計(jì)算嘗步驟適應(yīng)卻于求謝解這池樣的LP問題磨：標(biāo)準(zhǔn)尼化后同不含老初始懸基變逮量，違但將言某些酒約束賓條件弓兩端刻乘以農(nóng)“-1壩”后，滔即可羅找出記初始畜基變礦量。要求濤：初始掛單純胳形表憐中的不檢驗(yàn)查數(shù)滿鍋?zhàn)阕顔蝺?yōu)性樹條件對(duì)滿樹足上兄述條雅件的LP問題裕，對(duì)稱偶單斜純形桂法的勝步驟虹是：旋轉(zhuǎn)里運(yùn)算稻。然資后回鍬到第2步。作出輪初始幸單純絡(luò)形表銷（注弱意要衡求）檢查b列的跪數(shù)據(jù)近是否防非負(fù)辦，若甩是，游表中升已經(jīng)楚給出瘡最優(yōu)槐解；體否則欄轉(zhuǎn)下絡(luò)一步確定維換出少變量：取b列最酷小的彼數(shù)對(duì)垃應(yīng)的僵變量椅為換提出變吃量確定泊換入虹變量：用鉆檢驗(yàn)位數(shù)去突除以斑換出跑變量吩行的氧那些媽對(duì)應(yīng)家的負(fù)幼系數(shù)衫，在鄙除得競(jìng)的商院中選燥取其硬中最爸小者源對(duì)應(yīng)拐的變姻量為血換入棄變量例遣用花對(duì)偶鎮(zhèn)單純倆形法鹽求解歌如下追的LP問題化成標(biāo)準(zhǔn)硬形式將各約束畝條件之兩端歐同乘宇“-1道”得用對(duì)偶附單純濕形法它求解帥得最優(yōu)著解：x1=0嚼,扭x2=1涂/4按,敵x3=1學(xué)/2風(fēng),雖x4=0役,糕x5=0最優(yōu)遞目標(biāo)干函數(shù)帽值：w*昆=-睛8.既5（z*貍=8欺.5）注：耕通常笨很少春直接逼使用料對(duì)偶嘆單純狂形法港求解劈燕線性撐規(guī)劃哄問題燥。靈敏按度分裝析將討怨論LP問題哲中的兼參數(shù)桃中置有一連個(gè)或骨幾個(gè)訊發(fā)生琴改變客時(shí)問經(jīng)題的屆最優(yōu)衛(wèi)解會(huì)哲有什儲(chǔ)么變斤化，儲(chǔ)或者譜這些躲參數(shù)全在一醋個(gè)多問大的皮范圍類內(nèi)變?nèi)せ瘯r(shí)罪，問守題的朵最優(yōu)搶解不劍變研究勵(lì)的思甜路將個(gè)別訊參數(shù)月的變堆化直彩接在座計(jì)算單得到梁的最育終單鴉純形蜜表中夏反映繡出來洞，這倉(cāng)樣就艱不需呈要從四頭計(jì)盈算，別而直接哈檢查塌在參巨數(shù)改贈(zèng)變后降最終嚴(yán)表有攀什么眨改變，若卷仍滿術(shù)足最反終表科的條據(jù)件，摘?jiǎng)t表資中仍摟給出虛最優(yōu)靈解，僑否則救從這斜個(gè)表妨開始野進(jìn)行救迭代趁求改丈變以胳后的論最優(yōu)燈解。靈敏嗎度分解析的犁步驟將參數(shù)每的改襯變計(jì)泳算反居映到舟最終異表上環(huán)來。營(yíng)具體僅計(jì)算老公式水可以搶使用檢查胖原問避題是族否仍眨為可退行解檢查僅對(duì)偶券問題厚是否桑仍為言可行參解對(duì)檢查查情成況按掃下表畜進(jìn)行榆處理原問題對(duì)偶問題結(jié)論或繼續(xù)計(jì)算步驟可行解可行解問題的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變可行解非可行解用單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解可行解用對(duì)偶單純形法繼續(xù)迭代求最優(yōu)解非可行解非可行解引進(jìn)人工變量，編制新的單純形表重新計(jì)算價(jià)值乓系數(shù)變化小的靈愉敏度級(jí)分析例：姜在第注一章襲美佳赴公司殖的例1中（1）若胃產(chǎn)品I的利霉?jié)櫧淀?yè)至1.痰5元/件，腸而產(chǎn)績(jī)品II的利舉潤(rùn)增什至2元/件，吧美佳掌公司噴的最忽優(yōu)生桶產(chǎn)計(jì)毛劃有劣何改碼變；（2）若是產(chǎn)品I的利幕潤(rùn)不悲變，瀉則產(chǎn)鏟品II的利哥潤(rùn)在療什么藏范圍翼變化尋時(shí)，控該公臭司的茶最優(yōu)來生產(chǎn)陳計(jì)劃腹不發(fā)屬生變捎化原最終住單純關(guān)形表（1）改罩變后新的敘最優(yōu)拐解為畝：最優(yōu)柔目標(biāo)迷函數(shù)良值為傍：（2）改下變后為使之表中的銷解仍撲為最殺優(yōu)解乓必須因此兩產(chǎn)品II的利艷潤(rùn)變晚化范岸圍為資源洋常數(shù)變化兄的靈幅敏度婆分析例：蹦在第能一章嬸美佳維公司園的例1中（1）若木設(shè)備A與調(diào)詢?cè)嚬こ硇虻幕刻鞂幠芰洳蛔冃裕Y設(shè)備B每天圈的能關(guān)力增勢(shì)加到32小時(shí)蹲，分爪析公壤司最玻優(yōu)計(jì)便劃的川變化很；（2）若以設(shè)備A和B每天虧可用載能力劍不變?cè)?，則耐調(diào)試乓工序得能力搜在什信么范遇圍變贊化時(shí)眉，問藍(lán)題的拖最優(yōu)傅基不澤變（1）b由(1香5，24，5)T變?yōu)?1寸5，32，5)T后，阿相應(yīng)佳地最凈終表艷中b列的劍數(shù)據(jù)將變?yōu)榇爰s原最終火表（2）設(shè)因現(xiàn)在燭每天細(xì)調(diào)試尖工序遲的時(shí)司間為x，則最耽終表俘中b列的絡(luò)數(shù)變浩為故要古使最優(yōu)貿(mào)基不閃變必挖須利用Ex凝cl靜e求解LP問題姑，以P4按5.藝7(赤2)為例變量摟，已撿經(jīng)賦砌了初緩值目標(biāo)早函數(shù)壞值約束險(xiǎn)條件匠右端嫌值其他喝專業(yè)釋軟件釋：Li兄nd隱o與Li浮ng撕