2017年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）求AC、BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說明理由；（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴，∴QH=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。x，y=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。BP?QH=（10﹣x）?QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，∴，即：QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，解得：QH′=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。（14﹣x），∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。；（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；（4）存在．理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，答案：（1）因?yàn)閽佄锞€關(guān)于直線x=1對(duì)稱，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由點(diǎn)D(2，1.5)在拋物線上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,從而c=1.5,所以.24．（14分）（2013?溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0.8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE，以CD，DE為邊作?CDEF．（1）當(dāng)0＜m＜8時(shí)，求CE的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m=3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使?CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF為矩形，請(qǐng)求出所有滿足條件的m的值．解答：解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．∴OA=6，OB=8．∴AB=10，∵∠CEB=∠AOB=90°，又∵∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO，∴=，即=，∴CE=﹣m；（2）∵m=3，∴BC=8﹣m=5，CE=﹣m=3．∴BE=4，∴AE=AB﹣BE=6．∵點(diǎn)F落在y軸上（如圖2）．∴DE∥BO，∴△EDA∽△BOA，∴=即=．∴OD=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．（3）取CE的中點(diǎn)P，過P作PG⊥y軸于點(diǎn)G．則CP=CE=﹣m．（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，如圖3．易證∠GCP=∠BAO，∴cos∠GCP=cos∠BAO=，∴CG=CP?cos∠GCP=（﹣m）=﹣m．∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+．根據(jù)題意得，得：OG=CP，∴m+=﹣m，解得：m=；②當(dāng)m≥8時(shí)，OG＞CP，顯然不存在滿足條件的m的值．（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，即點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合（如圖4）．（Ⅲ）當(dāng)m＜0時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，（如圖5），易證△COA∽△AOB，∴=，即=，解得：m=﹣．②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，（如圖6）．OG=OC﹣OG=﹣m﹣（﹣m）=﹣m﹣．由題意得：OG=CP，∴﹣m﹣=﹣m．解得m=﹣．綜上所述，m的值是或0或﹣或﹣．28、如圖，過原點(diǎn)的直線l1：y=3x，l2：y=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。x．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．直線PQ交y軸正半軸于點(diǎn)Q，且分別交l1、l2于點(diǎn)A、B．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，直線PQ的解析式為y=﹣x+t．△AOB的面積為Sl（如圖①）．以AB為對(duì)角線作正方形ACBD，其面積為S2（如圖②）．連接PD并延長(zhǎng)，交l1于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F．設(shè)△PEA的面積為S3；（如圖③）（1）Sl關(guān)于t的函數(shù)解析式為_________；（2）直線OC的函數(shù)解析式為_________；（3）S2關(guān)于t的函數(shù)解析式為_________；（4）S3關(guān)于t的函數(shù)解析式為_________．解：（1）由QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，得QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。）由QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。得QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。）．∴S1=S△AOP﹣S△BOP=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t2（2）由（1）得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。）．設(shè)直線OC的解析式為y=kx，根據(jù)題意得QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，∴k=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，∴直線OC的解析式為y=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。x．（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)CB=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t﹣QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，∴S2=CB2=（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。）2=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。．（4）設(shè)直線PD的解析式為y=k1x+b，由（1）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t，QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。），將P（t，0）、D（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。）代入得QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，解得QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源?！嘀本€PD的解析式為y=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。由QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，得QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。，QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。）∴S3=S△EOP﹣S△AOP=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t?QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t﹣QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t?QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t=QUOTE錯(cuò)誤!未找到引用源。t2．25．（10分）（2013?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．①設(shè)AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)；②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：（Ⅰ）根據(jù)相似三角形△OAE∽△OBA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E（0，1）；（Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函數(shù)最值的求法知，當(dāng)m=1即點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）時(shí)，A′B2+BE′2取得最小值．解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得，OE=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；（Ⅱ）①如圖②，連接EE′．由題設(shè)知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2﹣m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．當(dāng)m=1時(shí)，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）．②如圖②，過點(diǎn)A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易證△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．當(dāng)點(diǎn)B、A′、B′在同一條直線上時(shí)，A′B+B′A′最小，即此時(shí)A′B+BE′取得最小值．易證△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴AA′=×2=，∴EE′=AA′=，∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（，1）．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握．17、（12分）（2013?雅安）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意可知：解得：∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC∵BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱，∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)∵AP=BP∴△PBC的周長(zhǎng)最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；（3）①∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF?GH+EF?AC=EF?AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）．16、（12分）（2013?南昌）已知拋物線yn=﹣（x﹣an）2+an（n為正整數(shù)，且0＜a1＜a2＜…＜an）與x軸的交點(diǎn)為An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=﹣（x﹣a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類推．（1）求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；（2）拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；依此類推第n條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是；（3）探究下列結(jié)論：①若用An﹣1An表示第n條拋物線被x軸截得的線段長(zhǎng)，直接寫出A0A1的值，并求出An﹣1An；②是否存在經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長(zhǎng)度都相等？若存在，直接寫出直線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=﹣（x﹣a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0），∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．由已知a1＞0，∴a1=1，∴y1=﹣（x﹣1）2+1．令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，解得x=0或x=2，∴A1（2，0），b1=2．由題意，當(dāng)n=2時(shí)，第2條拋物線y2=﹣（x﹣a2）2+a2經(jīng)過點(diǎn)A1（2，0），∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，∵a1=1，且已知a2＞a1，∴a2=4，∴y2=﹣（x﹣4）2+4．∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4．（2）拋物線y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6．∵A1（2，0），∴A2（6，0）．由題意，當(dāng)n=3時(shí)，第3條拋物線y3=﹣（x﹣a3）2+a3經(jīng)過點(diǎn)A2（6，0），∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．∵a2=4，且已知a3＞a2，∴a3=9，∴y3=﹣（x﹣9）2+9．∴y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，9）．由y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（9，9），依此類推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n2，n2）．∵所有拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x．（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0A1=2．yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0，解得x=n2+n或x=n2﹣n，∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n．②存在．設(shè)過點(diǎn)（2，0）的直線解析式為y=kx+b，則有：0=2k+b，得b=﹣2k，∴y=kx﹣2k．設(shè)直線y=kx﹣2k與拋物線yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，聯(lián)立兩式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0，∴x1+x2=2n2﹣k，x1?x2=n4﹣n2﹣2k．過點(diǎn)F作FG⊥x軸，過點(diǎn)E作EG⊥FG于點(diǎn)G，則EG=x2﹣x1，F(xiàn)G=y2﹣y1=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）=k（x2﹣x1）．在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2=（k2+1）（x2﹣x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1?x2]，將x1+x2=2n2﹣k，x1?x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2?（1﹣k）+k2+8k]，當(dāng)k=1時(shí)，EF2=（1+1）（1+8）=9，∴EF=3為定值，∴k=1滿足條件，此時(shí)直線解析式為y=x﹣2．∴存在滿足條件的直線，該直線的解析式為y=x﹣2．15．（2012義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3，6）．（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長(zhǎng)度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？解答：解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．（2012義烏市）OA=．…（3分）（2）是一個(gè)定值，理由如下：如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，此時(shí)；②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，∴∠MQH=∠GQN，又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN…（5分），∴，當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得．…（7分）①①（3）如答圖2，延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF=，∴點(diǎn)F（，0），設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1=6，x2=3（舍去），∴點(diǎn)B（6，2），∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，∴AB=5…（8分）；（求AB也可采用下面的方法）設(shè)直線AF為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（，0）代入得k=，b=10，∴，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB=5…（8分）（其它方法求出AB的長(zhǎng)酌情給分）在△ABE與△OED中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，∴∠ABE=∠DEO，∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．…（9分）設(shè)OE=x，則AE=﹣x（），由△ABE∽△OED得，∴∴（）…（10分）∴頂點(diǎn)為（，）如答圖3，當(dāng)時(shí)，OE=x=，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)．∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)…（11分）當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)…（12分）．已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D。（Ⅰ）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；

（Ⅲ）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，且使B′D∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：（Ⅰ）如圖（1），折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AC，

則△ACD≌△BCD，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m>0），

則BC=OB-OC=4-m，

于是AC=BC=4-m，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，

即（4-m）2=m2+22，解得m=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（Ⅱ）如圖（2），折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′連接B′C，B′D，

則△B′CD≌△BCD，

由題設(shè)OB′=x，OC=y，

則B′C=BC=OB-OC=4-y，

在Rt△B′OC中，由勾股定理，

得B′C2=OC2+OB′2，

∴（4-y）2=y2+x2，

即，

由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，

∴解析式（0≤x≤2）為所求，

∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴y的取值范圍為；（Ⅲ）如圖（3），折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′，連接B′C，B′D，B′D∥OB，

則∠OCB′=∠CB′D，

又∵∠CBD=∠CB′D，

∴∠CB′=∠CBD，

∴CB′∥BA，

∴Rt△COB′∽R(shí)t△BOA，

有，

得OC=20B′，

在Rt△B′OC中，設(shè)OB′=x0（x0>0），則OC=2x0，

由（Ⅱ）的結(jié)論，得2x0=，

解得x0=，

∵x0>0，

∴x0=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為。12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=mx2﹣x+n的對(duì)稱軸是直線x=2．（1）求出該拋物線的解析式．（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：①將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你觀察、猜想，在這個(gè)過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）∵拋物線y=mx2﹣x+n經(jīng)過原點(diǎn)，∴n=0．∵對(duì)稱軸為直線x=2，∴﹣=2，解得m=．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x．（2）①的值不變．理由如下：如答圖1所示，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2．∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF．在Rt△PAE與Rt△PGF中，∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，∴Rt△PAE∽R(shí)t△PGF．∴==．②存在．拋物線的解析式為：y=x2﹣x，令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）．又y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣1，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣1）．若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：（I）FM=FD．如答圖2所示：過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，MD===．設(shè)FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x．在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即：（2﹣x）2+1=x2，解得：x=，∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=，∴F（，0）；（II）若FD=DM．如答圖3所示：此時(shí)FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣．∴F（4﹣，0）；（III）若FM=MD．由拋物線對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合．而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O．∴此種情形不存在．綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（4﹣，0），使△DMF為等腰三角形．如圖1，兩塊如圖1，兩塊等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2．將直線EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交直線AD于點(diǎn)M．將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設(shè)C、E兩點(diǎn)間的距離為x．（第（第11題圖1）CDEAFMlB（第11題圖2）DEF(C)ABMl請(qǐng)你和艾思軻同學(xué)一起嘗試探究下列問題：（1）①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為；②在平移過程中，的值為（用含x的代數(shù)式表示）；（2）艾思軻同學(xué)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變．當(dāng)點(diǎn)A落在線段DF上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)你幫他補(bǔ)全圖形，并計(jì)算的值；（3）艾思軻同學(xué)又將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，，原題中的其他條件保持不變．請(qǐng)你計(jì)算的值（用含x的代數(shù)式表示）．（第（第11題備用圖）DEFl（第11題圖3）DEF(C)lAB11．解：（1）①1．………………………（2分）②．………………………（2分）（2）聯(lián)結(jié)AE，補(bǔ)全圖形如圖1所示．…………（1分）∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．∴，，∠EFB=90°．∴，∴點(diǎn)A為DF的中點(diǎn)．………（1分）∴EA⊥DF，EA平分∠DEF．∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，．∵∠MEB=∠AEF=45°，∴∠MEA=∠BEF．∴Rt△MAE∽R(shí)t△BFE．……………………（1分）∴，∴．……………（1分）（第25題圖1）DEF（第25題圖1）DEF(C)lABM（第25題圖2）DEAFMlCBG（3）如圖2，過點(diǎn)B作BE的垂線交直線EM于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AG．∵∠EBG=90°，∠BEM=45°，∴∠BGE=45°．∴BE=BG．…………………（1分）∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABG=∠CBE．……………（1分）又∵BA=BC，∴△ABG≌△CBE．………（1分）∴AG=CE=x，∠AGB=∠CEB．∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，∴∠AGM=∠DEM，∴AG∥DE．…………（1分）∴．…………（1分）注：第（3）小題直接寫出結(jié)果不得分10、如圖，拋物線：y＝ax2＋bx＋4與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)、與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)T是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3)點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸同時(shí)出發(fā)相向而行．當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒3/2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M的直線l⊥軸，交AC或BC于點(diǎn)P．求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．（1)、⑵⑶如圖(1)，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長(zhǎng)線）分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)于G、H點(diǎn)，如圖(2).(1)問：始終與△AGC相似的三角形有()及()；

(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)