中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-圓的綜合

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的綜合1．如圖，是的直徑，是弦，點(diǎn)E在圓外，于D，交于點(diǎn)F，連接，，，．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)設(shè)的面積為，的面積為，若，則.2．如圖（1），是的直徑，點(diǎn)D、F是上的點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于A點(diǎn)，且，．(1)求證：(2)求：(3)如圖（2），若點(diǎn)E是弧的中點(diǎn)，連接．求：．3．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則___________；(2)如圖3，中，，是上一點(diǎn)，，垂足為．求證：點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)；(3)如圖4，，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，，，求的值．4．已知圓O的半徑長(zhǎng)為2，點(diǎn)A、B、C為圓O上三點(diǎn)，弦，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，(1)如圖，連接AC、OD，設(shè)，請(qǐng)用α表示；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)B為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)A、D之間的距離．(3)如果AD的延長(zhǎng)線與圓O交于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，AD為半徑的圓與以BC為直徑的圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求弦AE的長(zhǎng)．5．【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，已知的半徑為，為外一點(diǎn)，且，為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為，最大值為；（用含，的式子表示）【應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，，分別是，上的點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，求的最小值；【拓展】（3）如圖3，是的直徑，，為上一定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧逆時(shí)針向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連接，，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，求的最大值．6．如圖，四邊形內(nèi)接于圓O，，連接(1)求證：平分；(2)如圖，連接，若，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，連接AO交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交圓O于點(diǎn)F，垂足為G，若，，求AB的長(zhǎng)．7．已知，在△ABC中，，以BC為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)H，將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，連接BE．(1)如圖1，DE與⊙O相切于點(diǎn)G，求證：；(2)如圖2，延長(zhǎng)HO交⊙O于點(diǎn)K，交線段BE于點(diǎn)M，將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在射線BK上，求證：；(3)如圖1，在（1）的條件下，求的值．8．已知⊙O的直徑AB為10，D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接AD、BD．(1)如圖1，若AD=8，求BD的值；(2)如圖2，弦DC平分∠ADB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接BE．①當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，求BE的值；②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BE的值是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，以為直徑在x軸上方畫(huà)半圓交y軸于點(diǎn)E，圓心為G，連接，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)．①判斷點(diǎn)C、D與的位置關(guān)系，并說(shuō)明原因；②當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求線段的最小值．10．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQ．N若點(diǎn)P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點(diǎn)P是折線段MQN的中點(diǎn)．(1)【理解應(yīng)用】如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段POA的中點(diǎn)．若∠APO＝30°，則PB＝______；(2)如圖3，⊙O中，，D是上一點(diǎn)，AH⊥BD，垂足為H．求證：點(diǎn)H是折線段BDC的中點(diǎn)；(3)【拓展提升】如圖4，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB＝AC＝2，，求PB?PC的值．11．定義：若兩個(gè)三角形中，有兩組邊對(duì)應(yīng)相等且其中一組等邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個(gè)三角形為偏等三角形．(1)如圖1，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是弧所對(duì)的圓周角，連接、試說(shuō)明與是偏等三角形．(2)如圖2，與是偏等三角形，其中猜想結(jié)論：一對(duì)偏等三角形中，一組等邊的對(duì)角相等，另一組等邊的對(duì)角．請(qǐng)?zhí)顚?xiě)結(jié)論，并說(shuō)明理由．(以與為例說(shuō)明)；(3)如圖3，內(nèi)接于若點(diǎn)在上，且與是偏等三角形，求的值．12．如圖，點(diǎn)是矩形中邊上的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，交邊于點(diǎn)，且恰好過(guò)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作EFBD，(1)若，①求的度數(shù)；②求證：是的切線．(2)若，，求的長(zhǎng)．13．如圖，是的直徑，是的弦，，垂足是點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，且．(1)求證：是的切線；(2)如果，，①求的長(zhǎng)；②求的面積．14．已知，如圖，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．15．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D，過(guò)D作直線．(1)求證：DG是⊙O的切線；(2)求證：DE＝CD；(3)若，BC＝8，求⊙O的半徑．16．如圖，在△ABC的外接⊙O中，OB⊥AC交AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)D，使得BE＝DE，連接AD，CD，其中CD與⊙O相交于點(diǎn)F，連接AF交BD于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形ABCD為菱形．(2)當(dāng)DA和DC都與⊙O相切時(shí)，若⊙O的半徑為2，求BD的長(zhǎng)．(3)若DG＝DF，求的值．17．如圖，ABC中，CD為斜邊上的中線，以CD為弦畫(huà)圓，與邊AC交于點(diǎn)C、E，與邊BC交于點(diǎn)C、F，與邊AB交于點(diǎn)D、G．(1)若BF=BG，求的大??；(2)連接EF，試猜想線段BF、EF、AE的長(zhǎng)度滿足用等號(hào)連接的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接CG，若CG恰好是△ABC的平分線，求的值．18．如國(guó)．⊙O的內(nèi)接三角形ABC中．AB=AC．過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線．交CA延長(zhǎng)線于D．過(guò)D作⊙O的另一條切線DE．切點(diǎn)為E．連接AE、BE、CE．(1)求證：△DBA∽△DCB：(2)判斷AB·CE與AE·BC之間的數(shù)量關(guān)系．并給出證明；(3)探究：在BC長(zhǎng)度的變化過(guò)程中．是否為定值？若是．請(qǐng)求出這個(gè)值：若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓的切線的定義求解即可；（2）先證明得出，得出，再得出，進(jìn)而結(jié)論可證；（3）先證明得出，從而得出，設(shè)，，求出，證明，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出最后根據(jù)O是的中點(diǎn)求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵于D，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴是的切線；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：∵是的直徑，∴，∵于D，∴，∴，∴中，，∴設(shè)，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵O是的中點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于找出相似三角形，求出邊之間的數(shù)量關(guān)系．2．(1)見(jiàn)解析(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角得出即可得證；（2）連接，根據(jù)，利用比例關(guān)系和勾股定理求出和即可得出；（3）證，得出，再利用等腰直角三角形得出的值即可．【解析】（1）解：∵四邊形是圓O的內(nèi)接四邊形，∴，，∴，又∵，∴；（2）解：連接，∵是的直徑，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，在中，，在中，，∴；（3）解：如下圖：∵E是弧的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，即，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的綜合知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)3(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出，由，，得出，再根據(jù)“折線段中點(diǎn)的定義”即可得到答案；（2）先證明為等腰三角形，再證明為等腰三角形，繼而得出，進(jìn)一步即可證明結(jié)論；（3）作于點(diǎn)E，根據(jù)（2）的結(jié)論和勾股定理表示出和的長(zhǎng)度，進(jìn)一步計(jì)算即可得出的值．【解析】（1）解：∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)，∴，故答案為：3；（2）如圖，延長(zhǎng)到M使，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)H是折線段的中點(diǎn)；（3）如圖，作于點(diǎn)E，由（2）可知E為折線段中點(diǎn)，即，∴，在中，，在中，，∴，∵，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)、“折線段中點(diǎn)的定義”、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）連接OB、OC，可證是等邊三角形，根據(jù)垂徑定理可得等于30°，可得，利用三角形的內(nèi)角和定理即可表示出的值；（2）連接OB、OC，可證是等邊三角形，根據(jù)垂徑定理可得等于，因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則，所以等于，根據(jù)，在直角三角形中用三角函數(shù)及勾股定理即可求得OD、AD的長(zhǎng)；（3）分兩種情況討論：兩圓外切，兩圓內(nèi)切．先根據(jù)兩圓相切時(shí)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，求出AD的長(zhǎng)，再過(guò)O點(diǎn)作AE的垂線，利用勾股定理列出方程即可求解．【解析】（1）如圖1：連接OB、OC．∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）如圖2：連接OB、OC、OD．由（1）可得：是等邊三角形，，∵，∴，∵B為的中點(diǎn)，∴，∴，根據(jù)勾股定理得：；（3）①如圖3．圓O與圓D相內(nèi)切時(shí)：連接OB、OC，過(guò)O點(diǎn)作，∵BC是直徑，D是BC的中點(diǎn)，∴以BC為直徑的圓的圓心為D點(diǎn)，由（2）得：，圓D的半徑為1，∴，設(shè)，在和中，，即，解得：，∴；②如圖4．圓O與圓D相外切時(shí)：連接OB、OC，過(guò)O點(diǎn)作，∵BC是直徑，D是BC的中點(diǎn)，∴以BC為直徑的圓的圓心為D點(diǎn)，由（2）可得：，圓D的半徑為1，∴，在和中，，即，解得：，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)：垂徑定理，圓與圓相切的條件，關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用垂徑定理和勾股定理相結(jié)合思考問(wèn)題，另外，需注意圓相切要分內(nèi)切與外切兩種情況．5．（1），；（2）；（3）【分析】（1）當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，最大為，當(dāng)在線段上時(shí)，最小，最小為：；（2）先證明，即可得到，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，由圖形可知：當(dāng)0、、在同一直線上時(shí)，有最小值，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題；（3）由同弦等角可知點(diǎn)在以為弦的上運(yùn)動(dòng)，從而構(gòu)造輔助圓，故當(dāng)，，共線時(shí)，的值最大，求出此時(shí)的值即可解決問(wèn)題．【解析】解：（1）當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，如圖：最大為：，當(dāng)在線段上時(shí)，最小，如圖：最小為：，故答案為：，；（2）四邊形是正方形，，，在和中，，，，，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，因此點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)點(diǎn)、、不在一條直線上時(shí)，在三角形中有：，即，當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，有最小值為，（3）解：是的直徑，，，，，，，在中，，，，點(diǎn)在以為弦的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，共線時(shí)，的值最大，如圖，連接，，，，△是等邊三角形，，，，，，，線段的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問(wèn)題．6．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)30【分析】（1）由推出，即可得到，即可推出結(jié)論；（2）連接，，根據(jù)圓周角定理可得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，然后根據(jù)圓心角、弧弦的關(guān)系即可得證；（3）連接，設(shè)，，則，先證明垂直平分，，再利用勾股定理和垂徑定理求出，，證明，求出，，由勾股定理得，即，據(jù)此求解即可．【解析】（1）證明：，，，平分；（2）證明：連接，，，，，，，，，，，；（3）解：連接，設(shè)，，則，∵，∴垂直平分，，∴，

在中由勾股定理得：，∴，∴，在中由勾股定理得：，∵，，∴，∴，即，∴，，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由平移的性質(zhì)得出，連接，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）設(shè)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由平移以及折疊的性質(zhì)可得，則結(jié)論可得；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)可得：，由（1）知，同理可證，設(shè)，由勾股定理得出，則可得出答案．【解析】（1）證明：∵將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，∴,∵，∴，連接，，∵DE與⊙O相切于點(diǎn)G，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵沿射線AC平移得到，沿DE折疊得到，∴，∴，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，由（1）知，∴四邊形是矩形，∴，由（1）知，同理可證，設(shè)，在中，，∴，∴，即．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了平移的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．(1)6；(2)①5或，②存在最小值，．【分析】（１）利用圓周角定理和勾股定理求解即可；（2）①為直角三角形，分兩種情況：當(dāng)或當(dāng)，分別進(jìn)行求解即可；②取AC中點(diǎn)F，過(guò)F作于H，利用圓周角定理得，用勾股定理求出AC，利用直角三角形性質(zhì)求EF，然后求出BF長(zhǎng)，最后在中利用三角形中邊的關(guān)系得出BE的最小值．【解析】（1）解：如圖1，為的直徑，，；故BD的值為6．（2）解：①，DC平分，，當(dāng)時(shí)，如圖2，，，，點(diǎn)E在AB上，，，是以AB為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)E與O重合，；當(dāng)時(shí)，如圖3，，，，，，，又，即，解得（舍去）綜上所述，BE的長(zhǎng)為5或；②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BE存在最小值，解答如下：如圖3，連接OC、AC，取AC中點(diǎn)F，連接EF、BF，過(guò)點(diǎn)F作于H，，，，，，，，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)等號(hào)成立），即，BE的最小值是．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形中邊的關(guān)系等知識(shí)，熟練利用這些性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)用分類的思想方法是解此題的關(guān)鍵．9．(1)(2)①C點(diǎn)在圓G的內(nèi)部，D點(diǎn)在圓上；原因見(jiàn)解析；②線段的最小值為【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①先求出點(diǎn)C、D、G的坐標(biāo)，根據(jù)，求出圓的半徑，然后求出、的長(zhǎng)，即可得出答案；②連接并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)N，連接，根據(jù)中位線定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，說(shuō)明Q點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，得出AQ的最小值為，求出即可．【解析】（1）解：將，代入，∴，

解得：，∴；（2）解：①令，則，∴，∵，∴，∵，，∴，圓的半徑為，∵，，∴，，∴C點(diǎn)在圓G的內(nèi)部，D點(diǎn)在圓上；②連接并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)N，連接，∴，∵G是的中點(diǎn)，Q是的中點(diǎn)，∴，∴，∴Q點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴的最小值為，∴線段的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，勾股定理的，中位線定理，作出輔助線，找出Q點(diǎn)的軌跡，是解題的關(guān)鍵．10．(1)3(2)證明見(jiàn)解析(3)PB?PC＝7【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出，由，，得出，再根據(jù)“折線段中點(diǎn)的定義”即可得到答案；（2）先證明為等腰三角形，再證明為等腰三角形，繼而得出，進(jìn)一步即可證明結(jié)論；（3）作于點(diǎn)，根據(jù)（2）的結(jié)論和勾股定理表示出和的長(zhǎng)度，進(jìn)一步計(jì)算即可得出的值．【解析】（1）解：是的切線，，，，，，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)，，故答案為：3；（2）解：延長(zhǎng)到使，連接、，如圖所示：，，，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)；（3）作于點(diǎn)，如圖所示：由（2）可知為折線段中點(diǎn)，即，，在中，，在中，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)、“折線段中點(diǎn)的定義”、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．(1)見(jiàn)解析(2)互補(bǔ)，理由見(jiàn)解析(3)6或【分析】（1）根據(jù)同弧或等弧所對(duì)圓周角相等可得出BC=CD，再由公共邊AC即可證明與是偏等三角形；（2）在線段DE上取點(diǎn)G，使DG=AB，連接FG．易證，得出，，從而得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角可知．最后由鄰角互補(bǔ)即，可求出，即另一組等邊的對(duì)角互補(bǔ)；（3）分類討論：①當(dāng)BC=CD時(shí)和②當(dāng)AB=CD時(shí)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可解答．（1）∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴BC=CD，．又∵AC=AC，∴與是偏等三角形；（2）如圖，在線段DE上取點(diǎn)G，使DG=AB，連接FG．由題意可知在和中，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，即另一組等邊的對(duì)角互補(bǔ)．故答案為：互補(bǔ)；（3）分類討論：①當(dāng)BC=CD時(shí)，如圖，∵BC=CD，，∴．∵，∴，∴，∴，，∴AD>CD符合題意，∴AD=AC=6；②當(dāng)AB=CD時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵AB=CD，，∴，∴，，∴，∴，符合題意．設(shè)CE=x，則，∵，即，∴，∴，∴．綜上可知AD的值為6或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．理解偏等三角形的定義是解題關(guān)鍵．12．(1)①30°；②見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①由圓的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD=30°，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得答案；②連接OE，由圓的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得∠DEO=∠ODE=60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及切線的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得CE：ED=CF：FB=2：3，設(shè)CE=2x，則DE=3x，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥DE于點(diǎn)H，根據(jù)垂徑定理及矩形的判定與性質(zhì)可得DO=BO=CH=DCDH=，最后由勾股定理可得答案．【解析】（1）解：①∵OD=OB，∠DOB=120°，∴∠OBD=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠CDB=∠OBD=30°，∵EF//BD，∴∠CEF=∠CDB=30°；②證明：如圖，連接OE，∵∠ODB=∠DBO=∠EDB=30°，∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=60°，∵OD=OE，∴∠DEO=∠ODE=60°，∴∠OEF=180°-∠DEO-∠CEF=180°-60°-30°=90°，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵EF∥DB，∴CE：ED=CF：FB=2：3，設(shè)CE=2x，則DE=3x，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥DE于點(diǎn)H，由垂徑定理可得DH=DE=，∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，∴四邊形CHOB是矩形，∴DO=BO=CH=DCDH=，在Rt△ODH中，有DH2+OH2=DO2，解得，∴DO=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．13．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）連接OC、BC，根據(jù)垂徑定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根據(jù)∠ECD=2∠BAD，證得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，則有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，則問(wèn)題得證；（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，則問(wèn)題得解；②過(guò)F點(diǎn)作FP⊥AB，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，先證△PAF∽△HAC，再證明△PEF∽△HEC，即可求出PF，則△PEF的面積可求．【解析】（1）連接OC、BC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，AO=OB，∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，∵∠ECD=2∠BAD，∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠BAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠ECB=∠OCA，∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB=90°，∴CO⊥FC，∴CF是⊙O的切線；（2）①∵AB=10，CD=6，∴在（1）的結(jié)論中有AO=OB=5，CH=HD=3，∴在Rt△OCH中，，同理利用勾股定理，可求得，，∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，在Rt△ECH中，，∵CF是⊙O的切線，∴∠OCB=90°，∴在Rt△ECO中，，∴，解得：，∴，②過(guò)F點(diǎn)作FP⊥AB，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如圖，∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，∴△PAF∽△HAC，∴，即，∴，∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，∴△PEF∽△HEC，∴，即，∵HB=1，，，，∴，解得：，∴，故△AEF的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．利用相似三角形的性質(zhì)是解題的難點(diǎn)．14．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)15【分析】（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數(shù)求出BE，再根據(jù)勾股定理求出EA，得出BE=CE=12，由（2）的結(jié)論求出EH，然后根據(jù)勾股定理求出BH即可．【解析】（1），，，，，，，即，，是的半徑，是的切線；（2）連接AC，如圖所示，∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA；（3）連接BE，如圖所示，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為10，cosA=，∴AB=20，EA=AB?cosA=20×=16，∴，∵，∴BE=CE=12，∵CE2=EH?EA，∴，在Rt△BEH中，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形相似和運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理才能得出結(jié)果．15．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)5【分析】（1）如圖1，連接OD，由點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，可知AD平分∠BAC，則，，可得，，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）如圖2，連接BD，由點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，可知，由，可得，根據(jù)等角對(duì)等邊證明結(jié)論即可；（3）如圖3，連接OB、，連接交于，由（2）可知，由題意知，，在中，由勾股定理得，設(shè)半徑為，則，，在中，由勾股定理得即，計(jì)算求解即可．【解析】（1）證明：如圖1，連接OD，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，∴，∴，∴，∵，∴，∵是⊙O的半徑，∴DG是⊙O的切線．（2）證明：如圖2，連接BD，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖3，連接OB、，連接交于由（2）可知，由題意知，，在中，由勾股定理得，設(shè)半徑為，則，，在中，由勾股定理得即，解得，∴的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了內(nèi)心，角平分線，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，切線的判定，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．16．(1)證明見(jiàn)解析(2)6(3)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理確定AE=CE，根據(jù)平行四邊形的判定定理確定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理證明四邊形ABCD是菱形即可．（2）連接OA，設(shè)OE=x．根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系用x表示出AD和OD的長(zhǎng)度，再結(jié)合圓的半徑，切線的性質(zhì)定理和勾股定理列出方程并求解可得x的值，再根據(jù)線段的和差關(guān)系代入計(jì)算即可．（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角可確定∠DGF=∠ADF，再根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可確定∠GDF＝∠DAF，，結(jié)合菱形的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可確定AG=DF，AF=CD，根據(jù)線段的和差關(guān)系和等價(jià)代換思想可確定，進(jìn)而可確定點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)，即可求出的值．（1）解：∵在△ABC的外接圓⊙O中，OB⊥AC，∴AE＝CE．∵BE＝DE，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵OB⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：如下圖所示，連接OA．設(shè)OE=x．∵⊙O的半徑為2，∴OA=OB=2．∴BE=OB+OE=x+2，．∴DE=x+2．∴，OD=OE+DE=2x+2．∵DA與⊙O相切，∴∠OAD=90°．∴．∴．解得（舍），．∴x=1．∴OD=4．∴BD=OB+OD=6．（3）解：∵DG＝DF，∴∠DGF＝∠DFG．∵四邊形ABCF是的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠AFC=180°．∵∠AFC+∠DFG=180°，∴∠ABC=∠DFG．∴∠ABC=∠DGF．∵四邊形ABCD是菱形，BD是其對(duì)角線，∴∠ADF=∠ABC，∠ADG=∠GDF，AD=CD．∴∠DGF=∠ADF．∴∠DFG=∠ADF．∴AF=AD．∴AF=CD．∵∠DFG=∠AFD，∴△DGF∽△ADF．∴∠GDF＝∠DAF，．∴∠DAF=∠ADG．∴AG=DG．∴AG=DF．∴AF-AG=CD-DF，即GF=CF．∴．∴點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)．∵DF<CD，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，菱形的判定定理和性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．17．(1)60°(2)，理由見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）如圖1，連接，由圓