高考圓錐曲線之弦長為定值問題

題型七：弦或弦長為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標系中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2（p>0）相交于A、B兩點。（Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△面積的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎學問，考查綜合運用數(shù)學學問進行推理運算的實力和解決問題的實力.解法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0）,可設A（x11）（x22），直線的方程為,與x2=2聯(lián)立得消去y得x2-22p2=0.由韋達定理得x12=21x22p2.于是（Ⅱ）假設滿意條件的直線l存在，其方程為的中點為徑的圓相交于點P、Q，的中點為H，則令，得為定值，故滿意條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得又由點到直線的距離公式得.從而，（Ⅱ）假設滿意條件的直線t存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為將直線方程代入得設直線l與以為直徑的圓的交點為P（x22）（x44）,則有令為定值，故滿意條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習、（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設橢圓E:（>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標原點，（I）求橢圓E的方程；（）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的隨意一條切線與橢圓E恒有兩個交點,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E:（>0）過M（2，），N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的隨意一條切線與橢圓E恒有兩個交點,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿意或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿意,綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的隨意一條切線與橢圓E恒有兩個交點,且.因為,所以,①當時因為所以,所以,所以當且僅當時取”=”.當時,.當?shù)男甭什淮嬖跁r,兩個交點為或,所以此時,綜上,|的取值范圍為即:【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法探討有關參數(shù)問題以與方程的根與系數(shù)關系.題型八：角度問題例題9、（08重慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿意：（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）若,求點P的坐標.解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓因此半焦距2，長半軸3，從而短半軸所以橢圓的方程為(Ⅱ)由得因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構成三角形.在△中，將①代入②，得故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上.由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿意，所以由方程組解得即P點坐標為練習1、（05福建理）已知方向向量為(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：(a>b>0)的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿意∠≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.本小題主要考查直線、橢圓與平面對量的基本學問，平面解析幾何的基本方法和綜合解題實力.滿分14分.（I）解法一：直線，①過原點垂直的直線方程為，②解①②得∵橢圓中心O（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）.故橢圓C的方程為③解法二：直線.設原點關于直線對稱點為（p，q），則解得3.∵橢圓中心O（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）.故橢圓C的方程為③（）解法一：設M（），N（）.當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得點O到直線的距離 即 即 整理得 當直線m垂直x軸時，也滿意. 故直線m的方程為 或或 經(jīng)檢驗上述直線均滿意.所以所求直線方程為或或解法二：設M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線m：(2)代入③，整理得 ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點， 以下與解法一相同.解法三：設M（），N（）. 設直線，代入③，整理得 12 即 ∴=，整理得 解得或 故直線m的方程為或或 經(jīng)檢驗上述直線方程為 所以所求直線方程為或或練習2、（07四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點。（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值；（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面對量的數(shù)量積等基礎學問，以與綜合應用數(shù)學學問解決問題與推理計算實力。解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（Ⅱ）明顯直線不滿意題設條件，可設直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又∵，即∴故由①、②得或練習3、（08陜西理）已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；（Ⅱ）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．解法一：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，xAy112xAy112MNBO，點的坐標為．設拋物線在點處的切線的方程為，將代入上式