2021屆河北省某中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合考試試題解析

絕密★啟用前數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．答案C先求出和，再求即可解題.解：解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選：C.點(diǎn)評(píng)：本題考查求解一元二次不等式，集合的交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2．若復(fù)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．4答案B先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算即可得解.解：由，得，則．故選：B.點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.3．某班級(jí)要從6名男生、3名女生中選派6人參加社區(qū)宣傳活動(dòng)，如果要求至少有2名女生參加，那么不同的選派方案種數(shù)為（）A．19 B．38 C．55 D．65答案D至少有2名女生參加包括2名女生4名男生與3名女生3名男生兩種情況，列出兩種情況的組合數(shù)，利用分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.解：至少有2名女生參加包括2名女生4名男生與3名女生3名男生兩種情況，所以不同選派方案種數(shù)為．故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查組合的實(shí)際應(yīng)用，考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．?dāng)?shù)列、、、、、、、、、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．答案B由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)可知，該數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，再由可求得結(jié)果.解：由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，可得此數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，由于，所以前項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．故選：B.點(diǎn)評(píng)：本題考查斐波那契數(shù)列的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．答案C對(duì)進(jìn)行兩邊平方，整理可得，代入夾角公示即可得解.解：設(shè)與的夾角為，由得，所以，所以．故選：C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量求夾角，在解題時(shí)如遇等式量邊為模，可作兩邊平方計(jì)算，屬于中檔題.6．為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取合并檢測法，即將多人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的，若為陽性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測．現(xiàn)對(duì)20名密切接觸者的拭子樣本進(jìn)行合并檢測，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是相互獨(dú)立的，每人檢測結(jié)果呈陽性的概率為，且檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為20，則的值為（）A． B．C． D．答案A先確定次數(shù)取值和對(duì)應(yīng)的概率，再求數(shù)學(xué)期望建立方程求的值.解：若合并檢測，檢測次數(shù)取值為1，21，對(duì)應(yīng)的概率分別為，，數(shù)學(xué)期望為，由，解得．故選：A.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望求參數(shù)，是基礎(chǔ)題.7．已知未成年男性的體重（單位：）與身高（單位：）的關(guān)系可用指數(shù)模型來描述，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算得到，．現(xiàn)有一名未成年男性身高為，體重為，預(yù)測當(dāng)他體重為時(shí)，身高約為（）A． B． C． D．答案C按照題中所給函數(shù)解析式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.解：將，代入得，①將代入，得，②由②①得，即，解得．故選：C.點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.8．已知正方體的棱長為2，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若．則面積的最小值為（）A． B． C．1 D．5答案B取的中點(diǎn)為E，的中點(diǎn)，證明，即，得到點(diǎn)的軌跡為線段，且為直角三角形，當(dāng)時(shí)，取最小值此時(shí)面積最小.解：如圖，取的中點(diǎn)為E，易知．取的中點(diǎn)，則在正方形中，,則，則可得，即，所以點(diǎn)的軌跡為線段．因?yàn)槠矫?，平面，則，所以為直角三角形，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)面積最小，最小值為．故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的最小值，考查空間中線線，線面位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.二、多選題9．已知，則（）A． B． C． D．答案AD由同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再根據(jù)正弦的二倍角公式求值.解：解:因?yàn)椋?，．所以．故選:AD點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查正弦的二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.10．已知拋物線，焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線拋物線相交于，兩點(diǎn)，則下列說法一定正確的是（）A．的最小值為2 B．線段為直徑的圓與直線相切C．為定值 D．若，則答案BCD根據(jù)拋物線和過焦點(diǎn)的直線位置關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合韋達(dá)定理，逐個(gè)判斷即可得解.解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，過焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以最小值為，故A不正確；如圖，設(shè)線段中點(diǎn)為，過點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線定義可知，，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故B正確；設(shè)所在直線的方程為，由，消去，得，所以，，故C正確；又，，故D正確．故選：BCD.點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義和通徑的概念，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查了利用韋達(dá)定理搭橋，建立各個(gè)量之間的聯(lián)系，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，計(jì)算量相對(duì)較大，屬于難題.11．已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．有最大值 D．是滿足條件的一個(gè)函數(shù)答案AD雙對(duì)稱可得周期，故A正確，B、C是未知的，故錯(cuò)誤，D代入判斷即可得解.解：由是定義在上的奇函數(shù)得，圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得，所以，，故A正確；無法判斷單調(diào)性，故B，C錯(cuò)誤；是奇函數(shù)，且，故選：AD．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，以及對(duì)條件的化歸轉(zhuǎn)化，需要一定的思路，計(jì)算量不大，屬于中檔題.12．若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的值可以（）A． B． C． D．答案ABC根據(jù)題意將原不等式化為，則其轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒在直線的兩側(cè)，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合，和二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可求出結(jié)果.解：不等式可化為，問題轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒在直線的兩側(cè)，如圖畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，由，得或（舍去），從而得，由二次函數(shù)的對(duì)稱性知與圖象的右邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故在區(qū)間上，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒在直線的兩側(cè)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．即選項(xiàng)ABC符合題意．故選:ABC.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程、二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題.三、填空題13．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的面積為______．答案4根據(jù)雙曲線的定義及可求出，，，由勾股定理知，即可求出三角形面積.解：由題意得，又，所以，．又，所以，所以，所以．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的定義，三角形的面積，屬于中檔題.14．已知實(shí)數(shù)，且滿足，則，，的大小關(guān)系是______．答案將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，進(jìn)而得出答案.解：由，得．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即所以．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了構(gòu)造函數(shù)比較大小，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.15．?dāng)?shù)學(xué)多選題有A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，在給出選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的不得分．已知某道數(shù)學(xué)多選題正確答案為B，D，小明同學(xué)不會(huì)做這道題目，他隨機(jī)地填涂了至少一個(gè)選項(xiàng)，則他能得分的概率為______．答案首先利用排列組合，求出隨機(jī)地填涂了至少一個(gè)選項(xiàng)共有的涂法數(shù)，再求出得分的涂法數(shù)，相除即可得解.解：隨機(jī)地填涂了至少一個(gè)選項(xiàng)共有種涂法，得分的涂法為3種，故他能得分的概率為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用排列組合求概率，正確解讀“至少”是本題解題關(guān)鍵，在解題時(shí)，注意不重不漏，屬于中檔題.16．在三棱錐中，，，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)（含邊界）有一動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到平面的距離相等，則的軌跡的長度為______．答案先證明，再求直線的方程和直線的方程，接著求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)并判斷的軌跡為線段，最后求線段長度.解：如圖，過作于，平面于，過作于，連接，則為二面角的平面角，由得．又，所以，在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，直線的方程為，所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的軌跡為線段，長度為．故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中點(diǎn)的軌跡的長度、二面角的定義，是中檔題.四、解答題17．在①對(duì)任意，滿足，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，______，若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若數(shù)列不一定是等差數(shù)列，說明理由．答案選擇條件①，數(shù)列不一定是等差數(shù)列，理由見解析；選擇條件②，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；選擇條件③，．若選擇條件①，可得，即，由于無法確定的值，即可判斷；若選擇條件②：可得，，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得解；若選擇條件③：利用，可得，，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得解；解：解：選擇條件①：因?yàn)閷?duì)任意，，滿足，所以，所以．因?yàn)闊o法確定的值，所以不一定等于2．所以數(shù)列不一定是等差數(shù)列．選擇條件②：由，得，即，．又因?yàn)?，所以．所以?shù)列是等差數(shù)列，其公差為2．因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選擇條件③：因?yàn)椋?，兩式相減得，即．又，即，所以，，又，，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，根據(jù)求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.18．振華大型電子廠為了解每位工人每天制造某種電子產(chǎn)品的件數(shù)，記錄了某天所有工人每人的制造件數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：制造電子產(chǎn)品的件數(shù)工人數(shù)131141（1）若去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)，則件數(shù)的平均數(shù)減少2到3（即大于等于2，且小于3），試求樣本中制造電子產(chǎn)品的件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該組區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表）（2）若電子廠共有工人1500人，且每位工人制造電子產(chǎn)品的件數(shù)，試估計(jì)制造電子產(chǎn)品件數(shù)小于等于48件的工人的人數(shù)．附：若，則，．答案（1），；（2）30．（1）先設(shè)樣本中所有制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，再設(shè)樣本中去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，由題可得，進(jìn)而列出滿足題意的不等式求解即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式計(jì)算即可得解.解：（1）設(shè)樣本中所有制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，設(shè)樣本中去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，依題可得，即，解得，，所以件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍為，；（2）因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，所以所以，所以估?jì)1500人中每天制造產(chǎn)品件數(shù)小于等于50的人數(shù)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查平均數(shù)的應(yīng)用，考查正態(tài)分布概率的計(jì)算問題，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.19．如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，，，．（1）求；（2）若，求四邊形的面積．答案（1）；（2）．（1）在中，根據(jù)，，，利用余弦定理求得，進(jìn)而由正弦定理求得，然后分別在，中結(jié)合，得到求解．（2）在中，由正弦定理求得，再由余弦定理得然后由S四邊形ABCD求解.解：（1）在中，，，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，．在中，由正弦定理得，即，同理，在中，．又因?yàn)?，所以．所以．?）在中，由正弦定理得，即，所以．又由余弦定理得，即，解得．S四邊形ABCD．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理，余弦定理的平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面底面，.（1）證明：；（2）若與底面所成的角為，求二面角的余弦值.答案（1）證明見解析；（2）.（1）要求證；只需根據(jù)線面垂直判斷定理求證平面，即可求得答案.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)，即可求得答案.解：（1）連接交于，底面為菱形，.，為的中點(diǎn)，.又，平面，平面，平面.又平面，.（2）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，.又平面底面，平面底面，平面，底面，，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，與底面所成的角即為，.設(shè)，則，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，又平面的一個(gè)法向量為，.又二面角為銳角，二面角的余弦值為.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線垂直和二面角的余弦值，解題關(guān)鍵是掌握將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的證法和向量法求二面角的步驟，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21．知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）動(dòng)直線與圓相切于點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．答案（1）；（2）的面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．（1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)題意建立方程，．，最后求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先得到方程和，再用表示出、、，最后求最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.解：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，，．因?yàn)?，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)動(dòng)直線的方程為．由直線與圓相切得，即．由，得，其中．設(shè)，，，則，從而，．所以．因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)．故的面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．點(diǎn)評(píng)：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓內(nèi)三角形的面積問題，是偏難題.22．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）證明：（?。?；（ⅱ），．答案（1）；（2）（ⅰ