幾何最值問題解法探討

幾何最值問題解法探討

-----專題作課人：張建萍將軍墓中學(xué)唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題：如圖1所示，將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)開會．請問怎樣走才能使總的路程最短？白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河1、理解并掌握兩點(diǎn)之間線段最短；2、理解軸對稱特征；3、能利用兩點(diǎn)之間線段最短和軸對稱解決最值問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)一：以題理知（獨(dú)立完成）1、在河的同側(cè)有兩村莊，現(xiàn)要在河邊L建一泵站P分別向A、B兩村莊同時(shí)供水，要使泵站P到A村、B村的距離之和最短，確定泵站P的位置。當(dāng)A、B兩村莊到河邊的距離分別為1km、4km,A村到B村得距離為5km,求PA+PB的最小值?！瘛馎BL模型1：（兩定一動(dòng))

如圖，A，B為直線m同側(cè)兩定點(diǎn)，P為直線m上一動(dòng)點(diǎn)，在直線m上找一點(diǎn)P使線段PA與PB的長度和最小。軸對稱變換(搬點(diǎn)移線)結(jié)論：PA+PB最短。mABPA1P1兩點(diǎn)之間線段最短。1、如圖，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為（）P小試牛刀：2、如圖,在菱形ABCD中,角DAB=60°,AB=1,E為CD的中點(diǎn),P為AC上任意一點(diǎn)求PE+PD的最小值是。

變式1：如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，PO=10，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q，R，求△PQR周長的最小值。

ABOPDERQ模型2：（一定兩動(dòng)）

如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)任一點(diǎn)，在角的兩邊各找一點(diǎn)E，F(xiàn)，使連接點(diǎn)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長最小。軸對稱變換（搬點(diǎn)移線）結(jié)論：△PEF的周長最小。EFABPOP2P1F1E11、如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是______．庖丁解牛：2、如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是______．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長最??？（3）若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時(shí)，求最小周長值．（計(jì)算結(jié)果保留根號）壯氣吞牛：牛氣沖天：1．如圖，矩形ABCD的兩邊AB＝3，BC＝4，P是AD上任一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F．則PE＋PF＝_________．2、如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，則這個(gè)最小值

3、如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使的和最小，則這個(gè)最小值為（）A． B． C．3 D．

4、如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，