線(xiàn)性代數(shù)試題及

（試卷一）一、填空題（本題總計(jì)20分，每題2分）擺列的逆序數(shù)是_______。2.若a11a12a113a1201，則a213a220a21a22061已知n階矩陣A、B和C知足ABCE，此中E為n1階單位矩陣，則BCA。若A為mn矩陣，則非齊次線(xiàn)性方程組AXb有獨(dú)一解的充分要條件是_________5.設(shè)A為86的矩陣，已知它的秩為4，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組的解空間維數(shù)為_(kāi)_2___________。6.設(shè)A為三階可逆陣，A1100，則A*210321若A為mn矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組Ax0有非零解的充分必需條件是1234530412已知五階隊(duì)列式D11111，則1102354321A41A42A43A44A459.向量(2,1,0,2)T的模（范數(shù)）______________。10.若1k1T與121T正交，則k二、選擇題（本題總計(jì)10分，每題2分）1.向量組1,2,,r線(xiàn)性有關(guān)且秩為s，則(D)Ａ．rsＢ．Ｃ．srＤ．

sr若A為三階方陣，且A2E0,2AE0,3A4E0，則A(A)Ａ．Ｃ．

8Ｂ．84Ｄ．4333．設(shè)向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示，則(d)Ａ．Ｃ．

R(B)R(A)Ｂ．R(B)R(A)R(B)R(A)Ｄ．R(B)R(A)設(shè)n階矩陣A的隊(duì)列式等于D，則kA等于_____。c(A)kA(B)knA(C)kn1A(D)A設(shè)n階矩陣A，B和C，則以下說(shuō)法正確的是_____。(A)ABAC則BC(B)AB0,則A0或B0(C)(AB)TATBT(D)(AB)(AB)A2B2三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分。1-3每題8分,4-7每題9分）122222222222322。1.計(jì)算n階隊(duì)列式D222n122222n2．設(shè)A為三階矩陣，A*為A的陪伴矩陣，且A1，求(3A)12A*.23．求矩陣的逆111A211120討論為什么值時(shí)，非齊次線(xiàn)性方程組2x1x2x3x1x2x3x1x2x31解；

①有獨(dú)一解；③無(wú)解。

②有無(wú)量多求下非齊次線(xiàn)性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。x1x2x3x422x13x2x3x41x12x32x456.已知向量組11023T、21135T、31131T、41249T、51125T，求此向量組的一個(gè)最大沒(méi)關(guān)組，并把其余向量用該最大沒(méi)關(guān)組線(xiàn)性表示．1107.求矩陣A430的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量．102四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)為AXbb0的一個(gè)解，1,2LLnr為對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組AX0的基礎(chǔ)解系，證明1,2LLnr,線(xiàn)性沒(méi)關(guān)。（答案一）一、填空題（本題總計(jì)20分，每題2分）1001~15；2、3；3、CA；4、RAR(A,b)n；5、2；6、210；3217、RAn；8、0；9、3；10、1。.二、選擇題（本題總計(jì)10分，每題2分1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，1-3每題8分，4-7他每題9分）12222222221、解：D00100rir2(i3,4,,n)000n300000n2------3分1222202222r200100-------6分2r1000n300000n21(2)12(n3)(n2)2(n2)!----------8分（本題的方法不獨(dú)一，可以酌情給分。）111121111------1分解：（1）AB2A1111312111111214111464222242------5222222400206222024分（2）113593480--------8分A2B21112106311731111111781216設(shè)A為三階矩陣，A*為A的陪伴矩陣，且A12，求(3A)12A*.因A*A＝AE1E，故A*An113分24A1AA*2A*5分12A*2A*4A*38分(3A)12A*4116333427100100r2r11001004、解：(A,E)110010010110---3分r3r1111001011101100100r1(1)100100---6分r3r2010110r2(1)010110001211r3(1)001211故A100-------8分（利用A111110AA211公式求得結(jié)果也正確。）111r1r31125、解；(A,b)112r2r10112r3r211r3r101121311211---------3分0200(2)(1)(1)2(1)（1）獨(dú)一解：R(A)R(A,b)31且2------5分（2）無(wú)量多解：R(A)R(A,b)31--------7分（3）無(wú)解：R(A)R(A,b)2--------9分（利用其余方法求得結(jié)果也正確。）11112102256、解：(A,b)2311110225

r

01113--------3分0000022x12x32x400基礎(chǔ)解系為11，21-----6x2x3x41001分5x12x32x45令x3x40，得一特解：3---7分x2x3x4300故原方程組的通解為：522k11k223k11k21，此中k1,k2R---9分（本題結(jié)果010001表示不獨(dú)一，只需正確可以給分。）110進(jìn)而7、解：特點(diǎn)方程AE430(2)(1)210212,231(4分)當(dāng)12時(shí)，由(A2E)X0得基礎(chǔ)解系1(0,0,1)T，即對(duì)應(yīng)于12的所有特點(diǎn)向量為

k11(k10)(7分)當(dāng)231時(shí)，由(AE)X0得基礎(chǔ)解系2(1,2,1)T，即對(duì)應(yīng)于231的所有特點(diǎn)向量為k22(k20)四、證明題（本題總計(jì)10分）證：由1,2LLnr為對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組

AX

0的基礎(chǔ)解系，則1,2LLnr線(xiàn)性沒(méi)關(guān)。(3分)反證法：設(shè)1,2LLnr,線(xiàn)性有關(guān)，則可由線(xiàn)性表示，即：(6分)11rr

1,

2LL

nr因齊次線(xiàn)性方程組解的線(xiàn)性組合仍是齊次線(xiàn)性方程組解，故必是AX0的解。這與已知條件為AXbb0的一個(gè)解相矛盾。(9分).有上可知，1,2LLnr,線(xiàn)性沒(méi)關(guān)。(10分)(試卷二)一、填空題（本題總計(jì)20分，每題2分）1.擺列6573412的逆序數(shù)是．2.函數(shù)f(x)2x11．xxx中x3的系數(shù)是12x3．設(shè)三階方陣A的隊(duì)列式A3,則(A*)1=A/3．4．n元齊次線(xiàn)性方程組AX=0有非零解的充要條件是．5．設(shè)向量(1,2,1)T，=2正交，則2．6．三階方陣A的特點(diǎn)值為1，1，2，則A＝．7.設(shè)A1121021，則A_________.003設(shè)A為86的矩陣，已知它的秩為4，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組的解空間維數(shù)為_(kāi)____________．9．設(shè)A為n階方陣，且A＝2則(1A)1A*．32001，則10．已知A2x2相像于B2311yx，y．二、選擇題（本題總計(jì)10分，每題2分）1.設(shè)n階矩陣A的隊(duì)列式等于D，則－5A等于．(A)(5)nD(B)-5D(C)5D(D)(5)n1D2.n階方陣A與對(duì)角矩陣相像的充分必需條件是.矩陣A有n個(gè)線(xiàn)性沒(méi)關(guān)的特點(diǎn)向量矩陣A有n個(gè)特點(diǎn)值矩陣A的隊(duì)列式A0矩陣A的特點(diǎn)方程沒(méi)有重根3．A為mn矩陣，則非齊次線(xiàn)性方程組AXb有獨(dú)一解的充要條件是．(A)R(A,b)m(B)R(A)m(C)R(A)R(A,b)n(D)R(A)R(A,b)n設(shè)向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示，則( )．R(B)R(A)．R(B)R(A)．R(B)R(A)．R(B)R(A)向量組1,2,L,s線(xiàn)性有關(guān)且秩為r，則．(A)rs(B)rs(C)rs(D)sr三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，每題10分）122221.計(jì)算n階隊(duì)列式:2222222322.D222n122222n2．已知矩陣方程AXAX，求矩陣X,此中220A213.010設(shè)n階方陣A知足A22A4E0,證明A3E可逆，并求(A3E)1.4．求以下非齊次線(xiàn)性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系:x1x2x32x432x1x23x38x483x12x2x39x45x22x33x445．求以下向量組的秩和一個(gè)最大沒(méi)關(guān)組,并將其余向量用最大沒(méi)關(guān)組線(xiàn)性表示．212314,21,33,45.20126．已知二次型：f(x1,x2,x3)2x125x225x324x1x24x1x38x2x3，用正交變換化f(x1,x2,x3)為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出其正交變換矩陣Q．四、證明題（本題總計(jì)10分，每題10分）設(shè)b1a1,b2a1a2,L,bra1a2Lar,且向量組a1,a2,,ar線(xiàn)性沒(méi)關(guān)，證明向量組b1,b2,,br線(xiàn)性沒(méi)關(guān).(答案二)一、填空題（本題總計(jì)20分，每題2分）1.172.-23．1A4．R(A)n5．26．-27．11或36A1121n10、x0,y2（－1）60218．29、2003二、選擇題（本題總計(jì)10分，每題2分）1.A2.A3.C4.D5.B三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，每題10分）12222222221、00100解：Drir2(i3,4,,n)000n300000n2------4分1222202222r200100-------7分2r1000n300000n21(2)12(n3)(n2)2(n2)!---------10分（本題的方法不獨(dú)一，可以酌情給分。）2．求解AXAX，此中220213010解：由AXAX得XAEA(31分)120220(6分)AE,A203213011010100226(8分)r:010203001213所以226X203213(10分)3．解：利用由A22A4E0可得：(A3E)(AE)E0--------5分即(A3E)(AE)E------7分故A3E可逆且(A3E)1(AE)--------10分4．求以下非齊次線(xiàn)性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系．x1x2x32x432x1x23x38x483x12x22x39x45x12x23x341112311123解：(Ab)21388r01234(2分)32195:00112012340000010021r01010(4分)則有:00000x12x41(6分)x2x40x3x42x121取x4為自由未知量，令x4c，則通解為：x2c10x312x410cR(8分)2對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系為：111(10分)5．求以下向量組的秩和一個(gè)最大沒(méi)關(guān)組,并將其余向量用最大沒(méi)關(guān)組線(xiàn)性表示．2123.解：14,21,33,45201221232123212310112=12344135:0111:0111:01112012011100000000(2分)1,2為一個(gè)極大沒(méi)關(guān)組.(4分)設(shè)3x11x22，4y11y22x11y11.解得2，y21x21(8分)則有3212，41216解f(x1,x2,x3)2x125x225x324x1x24x1x38x2x3f的矩陣A222(2分)A的特254245征多項(xiàng)式( )(1)2(10)(4分)121的兩個(gè)正交的特點(diǎn)向量0,p24p11111310的特點(diǎn)向量1p322正交矩陣Q10432138分)正2132231213223交變換xQy：標(biāo)準(zhǔn)形fy12y2210y32四、證明題（本題總計(jì)10分）若設(shè)b1a1,b2a1a2,,bra1a2ar,且向量組a1,a2,,ar線(xiàn)性沒(méi)關(guān)，證明向量組b1,b2,,br線(xiàn)性沒(méi)關(guān).證明：設(shè)存在rR，使得1b1+2b2+L+rbr=0也即λ1,λ2,L,λ1a12(a1a2)Lr(a1a2Lar)0化簡(jiǎn)得(12Lr)a1(2Lr)a2Lrar012L又由于a1,a2,L,ar線(xiàn)性沒(méi)關(guān)，則2LO(8分)解得12L因此，b1,b2,L,br線(xiàn)性沒(méi)關(guān).（試卷三）

rrrr

0000一、填空題（本題總計(jì)20分，每題2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)序次，則擺列(2n)(2n2)L2的逆序數(shù)為abcd2、設(shè)4階隊(duì)列式D4dacd，則A11A21A31A41bdcaadcb1103A*3、已知A027，則10024、已知n階矩陣A、B知足ABBA，則EB15、若A為nm矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組Ax0只有零解的充分必需條件是6、若A為nm矩陣，且R(A)3min{n,m}，則齊次線(xiàn)性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系中包括解向量的個(gè)數(shù)為7、若向量123T與向量11T正交，則8、若三階方陣A的特點(diǎn)多項(xiàng)式為AE(1)(1)2，則A9、設(shè)三階方陣A21、B1，已知A6，B1，322則AB10、設(shè)向量組1,2,3線(xiàn)性沒(méi)關(guān)，則當(dāng)常數(shù)l滿(mǎn)足時(shí)，向量組l21,32,13線(xiàn)性沒(méi)關(guān).二、選擇題（本題總計(jì)10分，每題2分）1、以低等式正確的選項(xiàng)是( )Ａ．kabkabＢ．kcdcd

kakbabkckdkdcＣ．a(chǎn)cbdabＤ．a(chǎn)bdccdcdcdba2、4階隊(duì)列式det(aij)中的項(xiàng)a11a33a44a22和a24a31a13a42的符號(hào)分別為（）Ａ．正、正Ｂ．正、負(fù)Ｃ．負(fù)、負(fù)Ｄ．負(fù)、正3、設(shè)A是mn矩陣，C是n階可逆陣，滿(mǎn)足B＝AC.若A和B的秩分別為rA和rB，則有( )Ａ．Ｃ．

rArBＢ．rArBrArBＤ．以上都不正確4、設(shè)A是mn矩陣，且R(A)mn，則非齊次線(xiàn)性方程組Axb( )Ａ．有無(wú)量多解Ｂ．有獨(dú)一解Ｃ．無(wú)解Ｄ．沒(méi)法判斷解的狀況5、已知向量組1,2,3,4線(xiàn)性沒(méi)關(guān)，則以下線(xiàn)性沒(méi)關(guān)的向量組是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

12,23,34,4112,23,34,4112,23,34,4112,23,34,41三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，每題10分）1．求矩陣A11的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量．242．計(jì)算n1階隊(duì)列式11L1a000La11Dn1MMMM0an1L01an00013．已知矩陣010100143，A100，，01B001C2001010120且知足AXBC，求矩陣X.4．求以下非齊次線(xiàn)性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解x1x2x3x4x513x12x2x3x43x53x22x32x46x505x14x23x33x4x55121125．已知矩陣A11214，求矩陣A的6422463979列向量組的一個(gè)最大沒(méi)關(guān)組，并把其余向量用該最大沒(méi)關(guān)組線(xiàn)性表示．6．已知A為三階矩陣，且A2，求1A1*12四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)向量組1,2,L,n中前n1個(gè)向量線(xiàn)性有關(guān)，后1個(gè)向量線(xiàn)性沒(méi)關(guān)，試證：（1）1可由向量組2,3,L,n1線(xiàn)性表示；（2）n不可以由向量組1,2,L,n1線(xiàn)性表示.（試卷四）一、填空題（本題總計(jì)16分，每題2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)序次，則擺列13L(2n1)24L(2n)的逆序數(shù)為12482、4階隊(duì)列式D411111416641525125已知1110，為A的陪伴矩陣，則13、A029A*A*0024、已知n階方陣A和B知足BAAB，則EB15、已知A為mn矩陣，且R(A)rmin{m,n}，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系中包括解向量的個(gè)數(shù)為6、已知四維列向量12513T、2101510T、34111T，且31x22x53x，則x7、把向量1022T單位化得8、若三階方陣A的特點(diǎn)多項(xiàng)式為f( )(1)(1)2，則A2E二、選擇題（本題總計(jì)14分，每題2分）1、已知a,b,c,d,kR，則以低等式正確的選項(xiàng)是( )Ａ．Ｃ．

kabkabＢ．kakbkabkcdcdkckdcdacbdabＤ．a(chǎn)bdccdcdcdba2、設(shè)A和B為n階方陣，以下說(shuō)法正確的是（）Ａ．若ABAC，則BCＢ．若AB0，則A0或B0Ｃ．若AB0，則A0或B0Ｄ．若AE0，則AE3、設(shè)A是mn矩陣，且R(A)mn，則非齊次線(xiàn)性方程組Axb( )Ａ．有獨(dú)