高中數(shù)學(xué)2-1學(xué)案：3.2.2 空間線面關(guān)系的判定（一）平行關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3．2.2空間線面關(guān)系的判定（一)平行關(guān)系[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行關(guān)系。2。能用向量方向證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理.3.能用向量方法判斷一些簡(jiǎn)單的空間線面的平行關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)空間平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1），b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?a＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2（λ∈R)．（2）線面平行設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1),平面α的法向量為u＝（a2，b2，c2)，則l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3）面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝（a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2），則α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2（λ∈R)．思考1．用向量法如何證明線面平行？答案證平面外的直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量平行或直線的方向向量與平面的法向量垂直即可．2．直線l的方向向量是惟一的嗎？答案不惟一．題型一證明線線平行問(wèn)題例1已知直線l1與l2的方向向量分別是a＝（2，3,－1），b＝（－6，－9，3)．證明:l1∥l2.證明∵a＝（2,3，－1)，b＝（－6,－9，3），∴a＝－eq\f（1，3）b，∴a∥b，即l1∥l2.反思與感悟兩直線的方向向量共線時(shí),兩直線平行;否則兩直線相交或異面．跟蹤訓(xùn)練1已知在四面體ABCD中,G、H分別是△ABC和△ACD的重心，則GH與BD的位置關(guān)系是________．答案平行解析設(shè)E、F分別為BC和CD的中點(diǎn)，則eq\o(GH，\s\up6(→））＝eq\o（GA,\s\up6(→)）＋eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3）(eq\o（EA,\s\up6(→)）＋eq\o（AF,\s\up6(→）)）＝eq\f(2,3）eq\o(EF，\s\up6(→））,所以GH∥EF,所以GH∥BD。題型二證明線面平行問(wèn)題例2在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC,E是PC的中點(diǎn)．證明：PA∥平面EDB。證明如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)PD＝DC＝a.方法一連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG,依題意得D（0，0，0），A(a,0,0),P（0，0，a)，E（0，eq\f(a,2），eq\f（a，2）)．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(eq\f（a，2），eq\f(a,2），0)，所以eq\o（EG,\s\up6(→））＝(eq\f（a,2)，0，－eq\f(a，2)）．又eq\o（PA，\s\up6(→)）＝（a，0，－a），所以eq\o（PA,\s\up6(→))＝2eq\o（EG,\s\up6（→)），這表明PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二設(shè)平面BDE的法向量為n＝（x，y，z),eq\o(DE，\s\up6(→））＝（0,eq\f(a，2），eq\f(a,2）)，eq\o(EB,\s\up6（→))＝(a，eq\f(a,2），－eq\f(a,2）),則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，，n·\o（EB,\s\up6(→））＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a，2)y＋z＝0,，ax＋\f（y，2）－\f（z，2)＝0，）)即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＋z＝0，,2x＋y－z＝0。）)令y＝－1，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,，z＝1。))所以n＝(1，－1，1)，又eq\o(PA,\s\up6（→))＝(a,0，－a)，所以n·eq\o(PA，\s\up6（→))＝（1,－1，1)·（a,0，－a）＝a－a＝0.所以n⊥eq\o（PA，\s\up6(→）).所以PA∥平面EDB。方法三假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(PA,\s\up6（→)）＝λeq\o(DE,\s\up6（→)）＋μeq\o(EB，\s\up6(→)),即（a，0,－a）＝λ（0，eq\f(a,2)，eq\f(a,2）)＋μ（a,eq\f（a，2)，－eq\f(a,2）),則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝μa,，0＝λ·\f（a,2）＋μ·\f（a，2）＝\f（a，2)λ＋μ,,－a＝λ·\f（a，2）－μ·\f（a，2)，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝－1，,μ＝1。))所以eq\o(PA，\s\up6（→))＝－eq\o(DE，\s\up6（→））＋eq\o（EB，\s\up6(→））,所以PA∥平面BDE。反思與感悟通過(guò)證明平面內(nèi)的一個(gè)向量與直線的方向向量平行來(lái)證明線面平行，需要特別說(shuō)明直線的方向向量不在平面內(nèi)；通過(guò)證明平面的法向量與直線的方向向量垂直來(lái)證明直線與平面平行，求解法向量的賦值與運(yùn)算一定要準(zhǔn)確；本題應(yīng)用共面向量定理證明線面平行轉(zhuǎn)化為判定eq\o(PA，\s\up6（→)）＝λeq\o(DE,\s\up6(→)）＋μeq\o(EB,\s\up6(→）)中λ和μ是否存在的問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E,F分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD.解∵PA⊥平面ABCD,∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0），B（1,0，0)，F(xiàn)（1，1，0），D(0,2，0）．不妨令P(0，0，t)，∴eq\o（PF,\s\up6(→))＝（1，1，－t)，eq\o(DF,\s\up6(→）)＝(1，－1,0）,設(shè)平面PFD的法向量為n＝(x，y，z),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o(PF,\s\up6(→）)＝0，，n·\o（DF,\s\up6(→))＝0，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－tz＝0，,x－y＝0，）)令z＝1，解得x＝y(tǒng)＝eq\f（t,2)，∴n＝（eq\f（t,2)，eq\f(t,2），1)．設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，0，m），又E（eq\f（1,2），0,0)，則eq\o(EG,\s\up6(→)）＝（－eq\f(1，2)，0，m)．要使EG∥平面PFD,只需eq\o(EG，\s\up6（→）)·n＝0，即(－eq\f（1,2）)×eq\f(t,2)＋0×eq\f(t，2)＋m×1＝0，即m－eq\f(t,4)＝0，解得m＝eq\f(1，4)t，從而滿足AG＝eq\f（1，4）AP的點(diǎn)G即為所求．題型三證明平面和平面平行問(wèn)題例3如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分別是正方體六個(gè)表面的中心，試確定平面EFG和平面HMN的位置關(guān)系．解如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，易得E(1，1，0)，F(xiàn)(1,0,1）,G（2,1，1)，H（1，1,2)，M（1,2,1)，N(0，1,1）．∴eq\o（EF，\s\up6（→)）＝（0，－1，1），eq\o（EG，\s\up6(→））＝(1，0,1),eq\o(HM,\s\up6(→))＝（0,1，－1），eq\o(HN,\s\up6(→)）＝（－1，0，－1)．設(shè)m＝（x1，y1，z1)，n＝（x2，y2，z2）分別是平面EFG，平面HMN的法向量，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m·\o（EF,\s\up6(→))＝0，m·\o（EG，\s\up6(→))＝0））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－y1＋z1＝0,,x1＋z1＝0,）)令x1＝1，得m＝（1，－1,－1）．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(HM，\s\up6(→)）＝0，,n·\o（HN,\s\up6(→））＝0,)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2－z2＝0,,－x2－z2＝0，））令x2＝1，得n＝（1，－1，－1）．∴m＝n,故m∥n,即平面EFG∥平面HMN。反思與感悟證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為n1＝（a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2),則α∥β?n1∥n2?(a1,b1，c1）＝k(a2,b2，c2）（k∈R）．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)平面α的法向量為(1，3，－2），平面β的法向量為(－2，－6，k），若α∥β,則k＝________。答案4解析∵α∥β，∴(1,3,－2）＝λ(－2,－6，k），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2λ＝1，，λk＝－2，))∴λ＝－eq\f（1，2),k＝4.1．若A（1,0，－1)，B(2，1,2）在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量是________．(填序號(hào))①(2，2,6）②（－1,1，3)③(3,1,1)④（－3，0,1）答案①解析∵A,B在直線l上，∴eq\o(AB，\s\up6（→））＝(1,1，3），與eq\o（AB,\s\up6(→））共線的向量（2,2,6)可以是直線l的一個(gè)方向向量．2．設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b,若a·b＝0,則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào)）①l∥α ②l?α③l⊥α ④l?α或l∥α答案④解析∵a·b＝0，∴l(xiāng)?α或l∥α.3．已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A（9，－3，4)，B（9,2，1)，則與線段AB平行的坐標(biāo)平面是________．答案平面yOz解析因?yàn)閑q\o（AB,\s\up6(→))＝(9,2，1)－（9，－3,4）＝(0,5,－3)，所以AB∥平面yOz。4．若平面α、β的法向量分別為n1＝（1，2，－2），n2＝（－3，－6，6)，則平面α，β的位置關(guān)系是________．答案平行解析∵n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β。5。如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等,則①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1。以上結(jié)論中正確的是__________．(填序號(hào)）答案①③④解析∵eq\o(A1M，\s\up6（→)）＝eq\o（AM，\s\up6（→））－eq\o(AA1，\s\up6(→））＝eq\o（DP,\s\up6(→))－eq\o(DD1，\s\up6（→））＝eq\o(D1P,\s\up6（→）)，∴A1M∥D1P.∵D1P?平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1。又D1P?平面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.∵B1Q為平面DCC1D1的斜線,∴B1Q與D1P不平行，∴A1M與B1Q不平行．用向量方法證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行設(shè)直線l1、l2的方向向量分別是a、b，則要證明l1∥l2，只需證明a∥b，即a＝kb（k∈R）．(2）線面平行①設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α,只需證明a⊥u，即a·u＝0.②根據(jù)線面平行的判定定理：“如果直線(平面外)與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行"，要證明一條直線和一個(gè)平面平行,也可以在