高中數(shù)學(xué)2-1學(xué)案：第二章 圓錐曲線與方程 2.4.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．4。1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1。掌握拋物線的定義及其焦點、準(zhǔn)線的概念。2.會求簡單的拋物線方程．知識點一拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識點二拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0）（eq\f(p,2),0）x＝－eq\f（p，2）y2＝－2px(p〉0）（－eq\f（p，2），0)x＝eq\f（p，2）x2＝2py(p>0）(0，eq\f（p，2))y＝－eq\f（p,2)x2＝－2py（p>0)(0，－eq\f（p，2））y＝eq\f(p，2）思考（1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中p的幾何意義是什么？（2）平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線嗎?答案（1)焦點到準(zhǔn)線的距離．（2)不一定．當(dāng)直線l經(jīng)過點F時,點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點F時,點的軌跡是拋物線．題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點為(－2,0)；（2)準(zhǔn)線為y＝－1;（3）過點A(2,3)；（4)焦點到準(zhǔn)線的距離為eq\f（5,2)。解(1）由于焦點在x軸的負半軸上，且eq\f（p，2）＝2,∴p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x.(2）∵焦點在y軸正半軸上,且eq\f(p，2)＝1，∴p＝2,∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y。（3)由題意，拋物線方程可設(shè)為y2＝mx(m≠0）或x2＝ny（n≠0），將點A（2，3）的坐標(biāo)代入，得32＝m·2或22＝n·3,∴m＝eq\f(9，2）或n＝eq\f(4,3）。∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f（9,2)x或x2＝eq\f（4,3)y.(4)由焦點到準(zhǔn)線的距離為eq\f(5，2）,可知p＝eq\f（5，2）?！嗨髵佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y。反思與感悟求拋物線方程,通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可．若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論．焦點在x軸上的拋物線方程可設(shè)為y2＝ax（a≠0)，焦點在y軸上的拋物線方程可設(shè)為x2＝ay（a≠0）．跟蹤訓(xùn)練1分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1）過點（3,－4);（2)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．解（1)方法一∵點(3，－4)在第四象限，∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0）或x2＝－2p1y（p1>0)．把點(3，－4）的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y,得(－4）2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq\f（16，3)，2p1＝eq\f(9,4）。∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f(16,3）x或x2＝－eq\f（9,4)y.方法二∵點（3，－4）在第四象限,∴拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0）或x2＝by（b≠0）．把點(3，－4）分別代入,可得a＝eq\f(16，3），b＝－eq\f(9,4）.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f（16,3）x或x2＝－eq\f（9,4)y。(2）令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點為(0，－5)或（－15,0)．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.題型二拋物線定義的應(yīng)用例2如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點,又有點A（3，2），求PA＋PF的最小值,并求此時P點坐標(biāo)．解如圖，作PQ⊥l于Q，由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求PA＋PF的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求PA＋d的最小值的問題．將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±eq\r（6)?！遝q\r（6)>2,∴A在拋物線內(nèi)部．設(shè)拋物線上動點P到準(zhǔn)線l：x＝－eq\f（1，2）的距離為d,由定義知PA＋PF＝PA＋d.由圖可知，當(dāng)PA⊥l時，PA＋d最小,最小值為eq\f（7,2）.即PA＋PF的最小值為eq\f（7,2)，此時P點縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2.∴點P坐標(biāo)為(2,2）．反思與感悟拋物線的定義在解題中的作用,就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離進行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等．跟蹤訓(xùn)練2已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點,則點P到點A（0,2)的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為________．答案eq\f(\r(17），2)解析如圖，由拋物線定義知PA＋PQ＝PA＋PF，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求PA＋PF的最小值，則當(dāng)A、P、F三點共線時,PA＋PF取得最小值．又A（0，2）,F（eq\f（1,2)，0）,∴（PA＋PF）min＝AF＝eq\r(0－\f（1，2）2＋2－02)＝eq\f（\r(17）,2）.題型三拋物線的實際應(yīng)用例3如圖所示，一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍，若拱口寬為am,求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值．解以拱頂為原點，拱高所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．則點B的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a，2)，－\f（a,4)）），設(shè)拋物線方程為x2＝－2py（p〉0），∵點B在拋物線上,∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a,2)))2＝－2p·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（a,4)）），解得p＝eq\f(a,2），∴拋物線方程為x2＝－ay.將點E(0.8，y)代入拋物線方程,得y＝－eq\f(0。64,a)。∴點E到拱底AB的距離為eq\f（a,4）－|y｜＝eq\f（a,4)－eq\f(0。64，a)>3.解得a〉12.21，∵a取整數(shù),∴a的最小整數(shù)值為13。反思與感悟以拋物線為數(shù)學(xué)模型的實例很多，如拱橋、隧道、噴泉等，拋物線的應(yīng)用主要解題步驟：（1)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的方程；(2）利用方程求點的坐標(biāo)．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成,為保證安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0。5米．（1）以隧道的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖），求該拋物線的方程；(2)若行車道總寬度AB為7米，請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米（精確到0.1米)?解(1)依題意，設(shè)該拋物線的方程為x2＝－2py(p>0），如圖所示,因為點C（5，－5）在拋物線上，解得p＝eq\f(5,2)，所以該拋物線的方程為x2＝－5y.(2)設(shè)車輛高h米，則DB＝h＋0。5,故D(3.5,h－6。5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4。05，所以車輛通過隧道的限制高度為4。0米．1．拋物線y＝－eq\f(1,8)x2的準(zhǔn)線方程是________．答案y＝2解析將y＝－eq\f（1，8）x2化為標(biāo)準(zhǔn)形式x2＝－8y，由此可知準(zhǔn)線方程為y＝2.2．過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45°的直線,則被拋物線截得的弦長為________．答案16解析由y2＝8x得焦點坐標(biāo)為(2，0),由此直線方程為y＝x－2，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝8x，,y＝x－2）)聯(lián)立得x2－12x＋4＝0,設(shè)交點為A（x1，y1)，B（x2,y2),由方程知x1＋x2＝12，∴弦長AB＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。3．已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為x軸，焦點在雙曲線eq\f（x2,4）－eq\f(y2,2）＝1上，則拋物線的方程為________．答案y2＝±8x解析由題意知，拋物線的焦點為雙曲線eq\f(x2,4）－eq\f（y2,2）＝1的頂點,即為(－2，0)或（2，0)，所以拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－8x.4．已知直線l1:4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________．答案2解析易知直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，如圖所示,動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的長度，其中F(1，0）為拋物線y2＝4x的焦點．由圖可知，距離和的最小值，即F到直線l1的距離d＝eq\f(|4＋6|,\r(－32＋42)）＝2。5．若雙曲線eq\f（x2,3)－eq\f(16y2,p2）＝1(p〉0）的左焦點在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，則p＝________。答案4解析由雙曲線eq\f（x2，3)－eq\f（16y2,p2)＝1得標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2，3）－eq\f（y2，\f(p2,16)）＝1，由此c2＝3＋eq\f(p2，16)，左焦點為(－eq\r(3＋\f（p2，16）)，0）,由y2＝2px得準(zhǔn)線為x＝eq\f（－p，2），∴－eq\r（3＋\f(p2，16)）＝－eq\f（p,2），∴p＝4。1.拋物線的定義中不要忽略條件：點F不在直線l上．2．確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,從形式上看，只需求一個參數(shù)p