演示文稿常系數(shù)線性微分方程

演示文稿常系數(shù)線性微分方程目前一頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)（優(yōu)選）常系數(shù)線性微分方程目前二頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)一、常系數(shù)齊次線性方程通解求法n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式目前三頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)-----特征方程將其代入上方程,得故有特征根1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解求法目前四頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根得齊次方程的通解為有一對(duì)共軛復(fù)根得齊次方程的通解為目前五頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為目前六頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解特征方程為解得故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為目前七頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)2.n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).目前八頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)特征根為故所求通解為解特征方程為:例3解方程:例4解方程:解特征方程為:特征根為故所求通解為目前九頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)練習(xí)求方程的通解：答案：目前十頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程則(1)通解結(jié)構(gòu)難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二.二階常系數(shù)非齊次線性方程解的求法則有特解:目前十一頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.注意的特解:目前十二頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)例寫出下列方程的特解形式:解1.特征方程為:解2.特征方程為:目前十三頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例4目前十四頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)例5解特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解不代入方程,得原方程通解為:例6解原方程通解為:目前十五頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)則特解為:目前十六頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解例5寫出下列方程的特解形式:特征根的特解的特解目前十七頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解對(duì)應(yīng)齊方通解代入原方程:例6是特征方程的單根,比較系數(shù)得:通解為:目前十八頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)四、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)目前十九頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)2.非齊次方程求特解:目前二十頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前二十一頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解特征方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為例9解方程原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為代入初始條件.有目前二十二頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)04考題補(bǔ)充題目前二十三頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前二十四頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)例5解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為目前二十五頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為目前二十六頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)例6解代入方程，得故方程的通解為目前二十七頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前二十八頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前二十九頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換可化為常系數(shù)微分方程.二、歐拉方程的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．目前三十頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)作變量變換將自變量換為用D表示對(duì)自變量t的求導(dǎo)運(yùn)算則目前三十一頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個(gè)方程的解后，把換為，即得到原方程的解.一般地，例8求的通解．解作變量變換目前三十二頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)四、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)目前三十三頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)原方程化為即或(1)其特征方程設(shè)特解:通解:目前三十四頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)2.非齊次方程求特解:目前三十五頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)解例10則由牛頓第二定律得解此方程得目前三十六頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)3.歐拉方程解法思路:變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換注意：歐拉方程的形式．目前三十七頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前三十八頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前三十九頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十一頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十二頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十三頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十四頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十五頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十六頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十七頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十八頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前四十九頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前五十頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前五十一頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前五十二頁(yè)\總數(shù)六十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前五十三頁(yè)\總數(shù)