理論力學(xué)周衍柏緒論及第一

緒論一、物理學(xué)與人類文明1、在牛頓力學(xué)和萬有引力定律的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的空間物理，能把宇宙飛船送上太空，使人類實現(xiàn)了飛天的夢想。也使中國人“九天攬月”成為可能。神州六號發(fā)射瞬間目前一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點神州七號照片目前二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點

哈勃空間望遠(yuǎn)鏡：1990年4月25日由航天飛機發(fā)現(xiàn)者號送入太空。望遠(yuǎn)鏡口徑2.4米,總重12.5噸,研制歷時13年,耗資21億美元,空間軌道高度600公里。目前三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點哈勃太空望遠(yuǎn)鏡所觀察到的離地球7000光年的巨鷹星云目前四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點人類登月“嫦娥二號”于2010年10月1日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空1969年7月人類第一次登月阿波羅11號宇宙飛船目前五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點2、帶電粒子在電場磁場中偏轉(zhuǎn)的規(guī)律在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。如：電視機顯像管等。電視機電子槍目前六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3、核物理的研究使放射線的應(yīng)用成為可能。醫(yī)療上的放療。在醫(yī)療上還有很多，如：用于治療腦瘤的伽瑪?shù)?、核磁共振，超聲波，X光機等。核磁共振X光機目前七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點4、20世紀(jì)初相對論和量子力學(xué)的建立，誕生了近代物理，開創(chuàng)了微電子技術(shù)的時代。如：半導(dǎo)體芯片、電子計算機等。半導(dǎo)體芯片目前八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點5、20世紀(jì)60年代，激光器誕生。激光物理的進展使激光在制造業(yè)、醫(yī)療技術(shù)和國防工業(yè)中的得到了廣泛的應(yīng)用。如：大家熟悉的微機光盤就是用激光讀的；光導(dǎo)纖維等。目前九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點6、20世紀(jì)80年代高溫超導(dǎo)體的研究取得了重大突破，為超導(dǎo)體的實際應(yīng)用開辟了道路。如：磁懸浮列車等。80年代，我國高溫超導(dǎo)的研究走在世界的前列。目前十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點7、20世紀(jì)90年代發(fā)展起來的納米技術(shù)，使人們可以按照自己的需要設(shè)計并重新排列原子或者原子團，使其具有人們希望的特性。美國賴斯大學(xué)“納米車”，長4nm，還不到人頭發(fā)絲直徑的萬分之一。每分鐘能跑２納米.目前十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點8、生命科學(xué)的發(fā)展也離不開物理學(xué)。脫氧核糖核酸（DNA）是存在于細(xì)胞核中的一種重要物質(zhì)，它是儲存和傳遞生命信息的物質(zhì)基礎(chǔ)。1953年生物學(xué)家沃森和物理學(xué)家克里克利用X射線衍射的方法在卡文迪許（著名實驗物理學(xué)家）實驗室成功地測定了DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu),威爾金斯、沃森和克里克分享1962年諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎。DNA結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)者英國科學(xué)家莫里斯.威爾金斯DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)目前十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點航空母艦?zāi)壳笆揬總數(shù)一百九十三頁\編于三點海洋石油鉆井平臺目前十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點我國祖先的功績趙州橋又名安濟橋，全長50.82米，橋面寬9米，是一座單孔坦拱式橋梁。趙州橋由隋朝著名工匠李春主持設(shè)計建造。他創(chuàng)造的坦拱式、敞肩式建橋法，在當(dāng)時堪稱獨步，橋梁質(zhì)量上乘。趙州橋結(jié)構(gòu)合理，外型秀麗，富有民族風(fēng)格，素有“奇巧固護，甲于天下”的美譽。目前十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點杭州灣跨海大橋是一座橫跨中國杭州灣海域的跨海大橋，它北起浙江嘉興海鹽鄭家埭，南至寧波慈溪水路灣，全長36公里，是目前世界上最長的跨海大橋目前十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點摩索拉斯陵墓萬里長城

埃及金字塔ThePyramidsofEgypt目前十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點國家游泳中心的選定方案——〔H2O〕3(“水立方”)由中國建筑工程總公司、澳大利亞PTW公司、澳大利亞ARUP公司組成的聯(lián)合體設(shè)計的〔H2O〕3(“水立方”)，融建筑設(shè)計與結(jié)構(gòu)設(shè)計于一體，設(shè)計新穎，結(jié)構(gòu)獨特，與國家體育場比較協(xié)調(diào)，功能上完全滿足2008年奧運會賽事要求，而且易于賽后運營。目前十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二、力學(xué)的分類宏觀系統(tǒng)(h不起作用)微觀系統(tǒng)(h起作用)低速運動——量子力學(xué)高速運動——量子場論（相對論量子力學(xué)）高速運動(v接近c)--相對論力學(xué)低速運動(v遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于c)--經(jīng)典力學(xué)（以觀點分）（以對象分）（以方法分）運動學(xué)動力學(xué)靜力學(xué)質(zhì)點力學(xué)質(zhì)點組力學(xué)剛體力學(xué)牛頓力學(xué)（矢量力學(xué)）分析力學(xué)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

注：連續(xù)介質(zhì)力學(xué)(包括彈性體力學(xué)和流體力學(xué))是研究質(zhì)量連續(xù)分布的可變形物體運動規(guī)律的科學(xué)。目前二十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點三、理論力學(xué)的研究對象經(jīng)典力學(xué)的應(yīng)用范圍是：宏觀、低速運動物體。理論力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)的一大部分，但不討論連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。靜力學(xué)不象工科一樣詳盡，而只是作為動力學(xué)的一特例。理論力學(xué)：是研究宏觀物體機械運動規(guī)律的一門學(xué)科。機械運動：是物體在空間的位置隨時間的變化。目前二十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點四、理論力學(xué)的研究方法是從實踐出發(fā)，經(jīng)過抽象化、綜合、歸納、建立公理，再應(yīng)用數(shù)學(xué)演繹和邏輯推理而得到定理和結(jié)論，形成理論體系，然后再通過實踐來驗證理論的正確性。實踐抽象綜合公理數(shù)學(xué)演繹

邏輯推理應(yīng)用定理、結(jié)論目前二十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點五、理論力學(xué)的發(fā)展史意大利的達(dá)芬奇(1452~1519)研究滑動摩擦、平衡、力矩。波蘭的哥白尼(1473~1543)創(chuàng)立宇宙“日心說”。德國的開普勒(1571~1630)提出行星運動三定律。意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落體規(guī)律、慣性定律及加速度的概念。早在(公元前287~212)古希臘阿基米德著的《論比重》就奠定了靜力學(xué)基礎(chǔ)。英國偉大科學(xué)家牛頓(1643~1727)在1687年版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書總其大成，提出動力學(xué)的三個基本定律，萬有引力定律，天體力學(xué)等。是力學(xué)奠基人。瑞士的伯努利(1667~1748)提出虛位移原理。瑞士的歐拉(1707~1783)出版著作《力學(xué)》用微分方程研究。目前二十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點法國達(dá)朗伯(1717~1785)出版著作《動力學(xué)專論》達(dá)朗伯原理。法國拉格朗日(1736~1813)出版名著《分析力學(xué)》。六、《理論力學(xué)教程》的內(nèi)容框架質(zhì)點力學(xué)質(zhì)點組力學(xué)剛體力學(xué)轉(zhuǎn)動參照系分析力學(xué)目前二十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點主要參考書目：1周衍柏.理論力學(xué)教程（第三版）,高教出版社,19862肖士珣.理論力學(xué)簡明教程，人民教育出版社，19832陳世民.理論力學(xué)簡明教程,高教出版社,20013劉煥堂.理論力學(xué)原理與方法,廈大出版社,19974胡慧玲等.理論力學(xué)基礎(chǔ)教程,高教出版社,19865盧圣治.理論力學(xué)基本教程，北師大出版社，20046H.Goldstein,ClassicalMechanics,2-ndedition,AddisonWesley,1980目前二十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點后記：翠鳥精神目前二十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點有志者事竟成目前二十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點天道酬勤目前二十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點事半功倍目前二十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點第一章質(zhì)點力學(xué)§1.1運動的描述方法一、參照系與坐標(biāo)系參照系物質(zhì)的運動是絕對的，運動的描述是相對的。物體的位置只能相對地確定，為研究一個物體必須事先選定另一個物體作為參考標(biāo)準(zhǔn)（參照物），這樣的物體就叫做參照系或參考系。①參照物不同，對同一個物體運動的描述結(jié)果可能不同；②觀察者是站在參照系的觀察點上；③不特別說明都以地球為參照系。說明：坐標(biāo)系目前三十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點為了定量研究的空間位置，就必須在參考系上建立坐標(biāo)系。參照系確定后，在參照系上選擇適宜的坐標(biāo)系，便于用教學(xué)方式描述質(zhì)點在空間的相對位置（方法）。3、質(zhì)點及位置的描述(1)質(zhì)點：理想模型，有一定質(zhì)量的幾何點（物體形狀可忽略，物體作平動）。在研究物體的機械運動時，不考慮物體的大小和形狀，而只計及其質(zhì)量的力學(xué)模型就叫質(zhì)點。(2)位置描述②坐標(biāo)描述：①質(zhì)點相對某參照系的位置，可由位矢r確定;直角坐標(biāo)系:目前三十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二、運動學(xué)方程及軌道1、運動方程極坐標(biāo)系：描述物體在參考空間中任一瞬時位置的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為運動學(xué)方程。質(zhì)點的運動學(xué)方程確定了點在參考空間中任一瞬時的位置，并由此可進一步揭示質(zhì)點運動的幾何性質(zhì)：軌跡、速度和加速度等。寫出質(zhì)點的運動學(xué)方程是研究質(zhì)點的運動學(xué)的首要任務(wù)。一般常用的方程有（1）矢量形式的運動學(xué)方程自然坐標(biāo)系：osP目前三十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點當(dāng)質(zhì)點運動時r是時間t的單值連續(xù)函數(shù)。此方程常用來進行理論推導(dǎo)。它的特點是概念清晰，是矢量法分析質(zhì)點運動的基礎(chǔ)。（2）直角坐標(biāo)形式的運動學(xué)方程這是常用的運動學(xué)方程，尤其當(dāng)質(zhì)點的軌跡未知時。它是代數(shù)方程，雖然依賴于坐標(biāo)系，但是運算容易。（3）極坐標(biāo)下的運動學(xué)方程當(dāng)質(zhì)點在某平面上運動時，在任一瞬時，其位置也可用極坐標(biāo)確定。目前三十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點（4）自然坐標(biāo)形式的運動學(xué)方程對運動軌跡已知的質(zhì)點，常用此方程。用自然法研究運動，運算比較簡便，各運動參數(shù)的物理意義明確。質(zhì)點在參考空間中的位置還可用其它的方法確定，例如柱坐標(biāo)法或球坐標(biāo)法。通過坐標(biāo)形式的方程表示質(zhì)點的運動方程，并由此繼續(xù)描述質(zhì)點的其它運動量的方法稱為分析方法。2、軌道質(zhì)點運動過程中在空間描述出的連續(xù)曲線,運動學(xué)方程中消去t得軌道方程。(直線運動、曲線運動)。三、位移、速度、加速度1、位移：目前三十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點2、速度：目前三十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3、加速度：目前三十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.2速度、加速度分量表示式一、直角坐標(biāo)系1、速度：分量式：大?。耗壳叭唔揬總數(shù)一百九十三頁\編于三點方向：可用速度與三個坐標(biāo)軸的方向余弦表示2、加速度：分量式：目前三十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點大?。篬例1]設(shè)橢圓規(guī)尺AB的端點A與端點B沿直線導(dǎo)槽ox及oy滑動（如下圖所示），而B以勻速度c運動，求橢圓規(guī)尺上M點的軌道方程，速度及加速度.設(shè)MA=a,MB=b,.目前三十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前四十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點M點速度的方向：M點加速度的方向：目前四十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點[例2]解：建立直角坐標(biāo)系，小環(huán)的運動學(xué)方程為：求速度求加速度目前四十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二、極坐標(biāo)系目前四十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點1、速度：注意:方向都變化，乘積函數(shù)求導(dǎo)。①先求：目前四十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點同理：②速度分量式：大?。耗壳八氖屙揬總數(shù)一百九十三頁\編于三點2、加速度即：目前四十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點2、加速度推廣到柱坐標(biāo)（平面極坐標(biāo)加垂直的z坐標(biāo)）目前四十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點[例3]已知一質(zhì)點的運動方程為試求其速度與加速度。目前四十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點[例4]目前四十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前五十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點[例5](3)解：由已知條件（1）（2）目前五十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(3)、(4)二式即為運動學(xué)方程消去t得軌道方程目前五十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點三、自然坐標(biāo)系1、目前五十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前五十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3、速度4、加速度目前五十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點4、密切面目前五十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前五十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前五十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前五十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點

[例6]一質(zhì)點沿圓滾線的弧線運動，如為一常數(shù)，則其加速度亦為一常數(shù)，試證明之。為圓滾線某點P上的切線與水平線(x軸)所成的角度，s為P點與曲線最低點之間的曲線弧長。解:因，求速率式中求加速度所以目前六十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點解:[例7]設(shè)質(zhì)點P沿螺旋線運動，試求速度、加速度及軌道的曲率半徑。

目前六十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點[例8]目前六十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.3平動參照系一、絕對速度、相對速度與牽連速度2.不同參照系下研究

點的運動的關(guān)系:1.如行駛的船中有小車運貨。參照系(船)相對于參照系

（地球)作平動,稱為對

的平動參照系，

一般稱為靜系，為動系。其中為

相對于靜系

的速度，稱為絕對速度。目前六十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例題1】某人以4km/h向東前進,感覺風(fēng)從正北吹來,以8km/h向東前進,感覺風(fēng)從東北吹來,求風(fēng)速和風(fēng)向.1、先確定是相對運動問題,一個被考察的質(zhì)點和兩個做相對運動的參考系。解：2、確定動系和靜系靜系：地面動系：人研究對象：風(fēng)為P相對于動系

的速度，稱為相對速度。P點同時參與兩種運動：相對于動系的運動；被動系帶著一起以

運動為

系相對于靜系

的速度，稱為牽連速度。目前六十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點由：

:人行走速度，：風(fēng)速(相對于地)，:風(fēng)相對于人的速度目前六十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點得：得：解得：目前六十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點因此：風(fēng)速：風(fēng)向：西北風(fēng)以矢量方式求解：目前六十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例2】小船M被水流沖走后，用一繩將它拉回岸邊A點，假定水流速度C1沿河寬不變，而拉繩子的速度則為C2，如小船可以看成一個質(zhì)點，求小船的軌跡.確定動系和靜系靜系：河岸動系：河流研究對象：小船解：目前六十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點由：選取極坐標(biāo),得:牽連速度，：絕對速度，:相對速度目前六十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點兩式相除得：目前七十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前七十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二、絕對加速度、相對加速度與牽連加速度動系S相對于靜系S′做勻加速直線運動由得:目前七十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.4質(zhì)點運動定律

（1）什么樣的參照系是慣性系？（2）什么樣的參照系是非慣性系？（3）如何判斷一個參照系是靜止還是做勻速直線運動(力學(xué)相對性原理)？（4）地球是個絕對的慣性系嗎？（5）力與加速度方向的關(guān)系如何？回答下列問題：目前七十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點注意以下幾點:第一定律是第二定律所不可缺少的前提，因為第一定律為整個力學(xué)體系選定了一類特殊的參考系-----慣性參考系第二定律中的質(zhì)量是慣性質(zhì)量,與萬有引力中的引力質(zhì)量相比，近年來的實驗結(jié)果已經(jīng)證實相差不到10-12.愛因斯坦把引力質(zhì)量等于慣性質(zhì)量作為廣義相對論的基本公設(shè).一般工程問題地球可以看作慣性參考系；如果物體運動的尺度很大而且對精確度要求很高,應(yīng)當(dāng)考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,可取地心為慣性參考系；在分析行星的運動時，地心本身作公轉(zhuǎn)，必須取日心參考系。太陽本身在銀河系的加速度大約是3×10-10米/秒2，一般來說可以不用考慮了，可以認(rèn)為足夠精確的了.目前七十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點基本定律:質(zhì)量為

的質(zhì)點受力的作用，在慣性系中的加速度為

,則:目前七十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.5質(zhì)點運動微分方程

一、微分方程的建立1.自由質(zhì)點的運動限制質(zhì)點運動的條件稱為約束，不受約束的質(zhì)點稱為自由質(zhì)點。(1)直角坐標(biāo)系三個二階常微分方程構(gòu)成微分方程組，給出初始條件：即可解得質(zhì)點的運動規(guī)律。目前七十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(2)平面極坐標(biāo)如果質(zhì)點在xy平面上運動，或:2.非自由質(zhì)點的約束運動若質(zhì)點被限制在某一曲線或曲面上運動,該曲線或曲面稱為約束,其方程為約束方程,約束對質(zhì)點的作用力為約束力(約束反力),約束力是待定的,取決于約束本身的性質(zhì)。約束確定后，質(zhì)點的運動狀態(tài)取決于質(zhì)點受到的主動力的情況,只靠約束力不能引起質(zhì)點的運動,故稱約束力為被動力.目前七十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點質(zhì)點運動的約束微分方程：求解時，一般采用自然坐標(biāo)系。(1)光滑約束：約束力在軌道的法平面內(nèi)，即沿質(zhì)點運動方向沒有分量(光滑隱含的意義)(1)式求出運動規(guī)律,(2)和(3)解出約束力,方便之處在于運動規(guī)律和約束力可分開求解.目前七十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(2)非光滑約束:約束力在質(zhì)點運動方向有分量(如摩擦力)四個方程，四個未知數(shù)v,Rt,Rn,Rb

約束方程(4)目前七十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二、運動微分方程的求解兩類基本問題：（1）已知運動，求力（2）已知力，求運動1.力僅是時間的函數(shù)：F=F(t)例1:研究自由電子在沿x軸的振蕩電場中的運動解：自由電子(視為經(jīng)典粒子)受電場力作用，于是：解題步驟：（1）明確研究對象，選擇適當(dāng)?shù)膮⒖枷担?）寫出運動微分方程，選坐標(biāo)系投影；（4）積分求解，分析解的物理意義。（2）作圖，受力分析；目前八十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點在x方向投影：兩邊對t積分，得假設(shè)初始條件:當(dāng)t=0時，v=v0,目前八十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點假定初始位置t=0時，x=x0,則最后，得到目前八十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點結(jié)果討論:該問題與無線電波在高密度自由電子的電離層中傳播類似。(2)其余部分描述電子的直線運動。該部分不會產(chǎn)生波動的電磁場，對電磁波的傳播沒有貢獻。僅僅給出電子的細(xì)致運動。小結(jié)：這類問題最容易解決，只需進行兩次積分，就可以得到全部運動規(guī)律。(1)為振蕩項,電子在電場的作用下的受迫振動,產(chǎn)生電磁波,對電磁波的傳播有貢獻;目前八十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點2.力只是速度的函數(shù)：F=F(v)在普通物理中，忽略空氣阻力（零級近似），得到簡單的拋物線方程:拋體：自由落體：yxo目前八十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點但在速度較大或者物體形狀較大時，空氣阻力都是不能忽略的。而空氣阻力比較復(fù)雜，與物體形狀、速度、空氣密度、溫度都相關(guān)。━腔外彈道學(xué)把拋射體簡化為質(zhì)點，則阻力運動方程：例2.考慮質(zhì)點在重力場中運動時有阻力的情況。目前八十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點投影：目前八十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點再積分：類似地：y目前八十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點消去x和y中的t,得到軌道方程:即在阻力很小(b→0)或距離很短(x→0)時在：(A)目前八十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點結(jié)果分析：(1)若阻力b很小或者x很小時，結(jié)果中的三次方及以上可以忽略,軌道近似為拋物線。（2）由(A)看出，在x→mv0x/b時，y→-∞，因此x有一個極限值mv0x/b目前八十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例3】質(zhì)量為m的質(zhì)點，在有阻力的空氣中無初速地自離開地面為h的地方豎直下落。如阻力與速度正比，試研究其運動。2.作圖，受力分析3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.列出運動微分方程即：4.解方程hx解：1.研究對象：質(zhì)點，選地面為參考系目前九十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點令：則，得積分得由：目前九十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點得再積分得，并利用初始條件5.分析解的物理意義（1）t增大，v接近極限速度-g/k,運動幾乎為勻速直線運動。目前九十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例4】在例3中，若阻力與速度平方成正比，試研究該質(zhì)點的運動。2.作圖，受力分析3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.列出運動微分方程hx解：1.研究對象：質(zhì)點，選地面為參考系(1)即(2)令(3)(2)式變?yōu)?.求解方程目前九十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點分離變量得(4)利用不定積分公式(5)得(6)(6)式變?yōu)榧?7)目前九十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點再積分6.討論目前九十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例5】質(zhì)量為m的小球以初速v0豎直上拋，空氣的阻力為R=kmv2求：（1）上升的最大高度；（2）返回到地面時小球的速度。y下面列出投影方程，上升時R=kmv2mg2.作圖，受力分析3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖）4.列出運動微分方程解：1.研究對象：質(zhì)點，選地面為參考系目前九十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點利用：積分：得目前九十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點下降時R=kmv2mg利用：積分：(1)目前九十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點得(2)將（1）代入（2），得目前九十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3.力只是坐標(biāo)的函數(shù)：F=F(x),振動問題(1)一維諧振動求解：本征方程通解為令則其中，目前一百頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(2)三維諧振動（3）阻尼振動、受迫振動:目前一百零一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點4.約束運動問題一般選自然坐標(biāo)系【例6】小環(huán)的質(zhì)量為m，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為x2=4ay。試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度及小環(huán)在此時所受到的約束反作用力。解：1.作圖，受力分析目前一百零二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3.選取自然坐標(biāo)系（如圖），投影2.列出方程4.求解-dyds(2)(1)目前一百零三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點即對（2）對（1）目前一百零四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點滑至頂點時：由，故，滑至頂點時，x=0,y=0故，目前一百零五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點所以：目前一百零六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.6非慣性系動力學(xué)(一)

------動系相對與靜系作加速平動絕對加速度、相對加速度和牽連加速度之間滿足如下關(guān)系對于質(zhì)點P，在慣性系S中,慣性力目前一百零七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點注意：(1)慣性力不是相互作用的力，不存在施力物體，只有在非慣性系中質(zhì)點才會受這一力的作用。(2)分析問題時注意選擇的坐標(biāo)系是慣性系還是非慣性系?！纠?】火車在平直軌道上以勻加速a0向前行駛，在火車中用線懸掛著一小球，懸線與豎直線成θ角而靜止,求θ。解：方法一（慣性系）1.作圖，受力分析目前一百零八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3.選取平面直角坐標(biāo)系（地面為參照系，如圖），分量方程。2.列出方程4.解之得方法二（非慣性系），選火車為參照系而：目前一百零九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點即：解之得：投影：yxTmg目前一百一十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例2】質(zhì)量為m和2m的兩個質(zhì)點,為一不可伸長的輕繩連接,繩掛在光滑的滑輪上.在m的下端又用固有長度為a、倔強系數(shù)k=mg/a的彈性繩掛上質(zhì)量為m的另一質(zhì)點，在開始時，全體保持豎直，原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩處于固有長度上。由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，求證這一運動是簡諧振動。解：1.作圖，受力分析對x1,x2選大地為參考系，o為原點，建立直角坐標(biāo)系ox1，ox2，而對x3則選非慣性系，o′為原點，建立直角坐標(biāo)系o′x3。于是得到動力學(xué)方程組:目前一百一十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目的：求x3與時間的關(guān)系，判斷是否屬簡諧運動。（1）（2）（3）目前一百一十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點由：由（1）：即：令：目前一百一十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點令：則：即：目前一百一十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前一百一十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.7功與能

一.功和功率1.質(zhì)點在恒力作用下沿直線運動2.質(zhì)點受變力沿曲線運動功是標(biāo)量，其值與坐標(biāo)選取無關(guān)。在直角坐標(biāo)系下：其中，是力的作用點之位移。目前一百一十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3.若質(zhì)點受幾個力F1,F2,……,Fn作用,合力即合力對質(zhì)點所做的功為各力對質(zhì)點所做功的代數(shù)和。目前一百一十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點一般情況下，做功與路徑有關(guān)位移元是力的作用點的位移做功與參照系的選取有關(guān)說明：4.功率:表述做功快慢的物理量。目前一百一十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二.能物體具有做功的本領(lǐng)，稱它具有一定的能量。力學(xué)中――機械能。當(dāng)能量發(fā)生變化時，總有一定數(shù)量的功表現(xiàn)出來――功是能量變化的度量。生活中的各種能源舉例，我國的能源現(xiàn)狀。三.保守力、非保守力、耗散力1.力場:一般情況下：目前一百一十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點若質(zhì)點在某空間區(qū)域任意位置上，受到確定的力F(r)，力是位置的單值有界可微函數(shù)，則該區(qū)域稱為力場，F(xiàn)為場力。如：萬有引力場、靜電場。若含有時間稱為非穩(wěn)定場。2.保守力場:若力場是穩(wěn)定的，當(dāng)質(zhì)點運動時，場力做功單值地由始末位置確定（與軌道形狀無關(guān)）――該力場稱為保守力場。質(zhì)點受到的場力為保守力。如電磁力、重力等。否則場力做功與路徑有關(guān)，這種力為非保守力(漩渦力)，力場為非保守力場。如：摩擦力――與路徑有關(guān)――耗散能量――耗散力目前一百二十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3.保守力的判據(jù):F(r)為保守力的充要條件：即：證明:必要性與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)。必存在一可微函數(shù)V，使得目前一百二十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點充分性:根據(jù)斯托克斯定理即積分與路徑無關(guān)=同理：目前一百二十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點4.勢能:函數(shù)V(x,y,z)成為質(zhì)點在坐標(biāo)(x,y,z)處的勢能。勢能的物理意義：保守力作的功等于勢能的減少量。注：1)勢能函數(shù)加上任意常數(shù)不影響勢能差。3)F與V的關(guān)系：2)僅當(dāng)力場為保守力場時才可引入勢能。目前一百二十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例1】設(shè)作用在質(zhì)點上的力是沿此質(zhì)點沿螺旋線，運行自θ=0至θ=2π時，力對質(zhì)點所做的功。解：先驗證力是否為保守力目前一百二十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點解法二：選直線路徑積分xyz目前一百二十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點解法三：沿質(zhì)點運動的路徑積分目前一百二十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點解法四：用勢能的增量計算做功目前一百二十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例2】在例1中，如果則結(jié)果如何？做功與路徑有關(guān)。不存在勢能函數(shù)目前一百二十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前一百二十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.8質(zhì)點動力學(xué)的基本定理與基本守恒律

一、動量定理與動量守恒律1.動量:定義：2.動量定理物理學(xué)中一個非常重要的物理量。在機械運動的范圍內(nèi)，質(zhì)點間運動的傳遞通過動量的交換來實現(xiàn)。動量是機械運動強弱的度量。為動量定理的微分形式。變形并積分目前一百三十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點力對質(zhì)點的沖量，是一個矢量。上式為動量定理的積分形式。3.動量守恒即：如果質(zhì)點受到的合外力等于零，則其動量守恒。常數(shù)由初值確定。目前一百三十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點即：如果質(zhì)點在某方向上受到的合外力為0,則該方向上的動量守恒。例：一質(zhì)量為0.01kg的小球，從的高度處由靜止下落到水平桌面上，反彈后的最大高度為。求小球與桌面碰撞時對桌面作用的沖量是多少？x目前一百三十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點解法一：(1)研究對象：小球(2)參照系：桌面，坐標(biāo)系：ox(3)受力分析：重力，桌面對小球的正壓力(沖力)，用平均正壓力代替桌面對小球的沖量小球?qū)ψ烂娴臎_量(4)在小球與桌面碰撞過程中應(yīng)用動量定理投影到x軸得標(biāo)量方程目前一百三十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點其中，小球?qū)ψ烂娴臎_量方向豎直向下解法二：將動量定理用于小球下落、與桌面碰撞和上升的整個過程。標(biāo)量方程為目前一百三十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點其中，小球?qū)ψ烂娴臎_量方向豎直向下目前一百三十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點二、力矩與動量矩1.力矩★力對空間某一點O的力矩:O點稱為矩心★力對空間某一軸線的力矩:(力矩矢量沿軸的投影)O目前一百三十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點F對L軸力矩：即：力沿軸上一點的力矩在該軸上的投影?；蛘吡υ谄矫嫔系耐队皩αΦ淖饔命c在軸上的垂直投影點的力矩大小。目前一百三十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點2.動量矩(矢量)對O點的動量矩：

對x,y,z軸的投影：目前一百三十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點三、動量矩定理與動量矩守恒律(對固定點O)1.動量矩定理(出發(fā)點：牛頓第二運動定律)動量矩定理的微分形式目前一百三十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點投影式:2.沖量矩3.動量矩守恒律即：如果質(zhì)點受到的外力矩等于零,則其動量矩守恒。常數(shù)由初值確定。目前一百四十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點即：如果質(zhì)點在某方向上受到的外力矩為0,則該方向上的動量矩守恒?！纠?】質(zhì)點所受的力恒通過某一個定點，則質(zhì)點必在一平面上運動（如地球繞太陽運動，衛(wèi)星繞地球運動等）。試證明之。解：目前一百四十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點分量式為：x乘(1),y乘(2),z乘(3),并相加,得:經(jīng)過固定點的平面方程。由于力恒通過一個定點，那么力對該定點的力矩:目前一百四十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點四、動能定理與機械能守恒律1.動能定理定義動能質(zhì)點動能的微分等于作用在該點上的力所作的元功2.若F為保守力場，那么目前一百四十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點機械能守恒五、勢能曲線質(zhì)點受一維守恒力的作用，則質(zhì)點的勢能是其坐標(biāo)的函數(shù)。假設(shè)該一維坐標(biāo)為x,則V(x)–x圖形稱為勢能曲線。經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的區(qū)別之一，隧穿效應(yīng)目前一百四十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點【例2】如圖所示，一重錘固定一輕桿末端，將其約束在豎直圓周上運動。假設(shè)初始角度為θ0，忽略空氣阻力，求重錘經(jīng)過最低點的速度。解：(1)分析用機械能守恒律的可能性重錘受到哪些力？哪些做功哪些不做功？(2)確定初末態(tài)時重錘的總機械能；用機械能守恒定律求出速度缺點：無法求出T的大小。(若考慮空氣阻力，則不能用機械能守恒)零勢能目前一百四十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(3)嘗試用動力學(xué)的方法受力分析寫出動力學(xué)方程(自然坐標(biāo)或極坐標(biāo))注意：假設(shè)了速度的方向后，那么就應(yīng)該考慮相關(guān)表達(dá)式的正負(fù)。由于這里只關(guān)心速度的值，因此求解時最好把dt換成dθ：于是微分方程變?yōu)椋耗壳耙话偎氖揬總數(shù)一百九十三頁\編于三點兩邊積分：求桿對重錘的作用力目前一百四十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點守恒律小結(jié)2.牛頓第二定律是二階微分方程，守恒律是一階的，稱為第一積分，能量守恒也稱能量積分。用初積分比用運動方程來的簡單。基礎(chǔ)：目前一百四十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點§1.9有心力

一、有心力的基本性質(zhì)1.有心力：運動質(zhì)點受力的作用線始終通過某一定點，該力為有心力，該點叫力心。有心力的量值一般為r的函數(shù)。2.平面運動因為力通過力心質(zhì)點必在垂直于的平面內(nèi)運動。如：月亮繞地球運動、地球繞太陽運動目前一百四十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點3.運動微分方程(1)直角坐標(biāo)(2)極坐標(biāo)物理意義:動量矩守恒目前一百五十頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點4.有心力為保守力目前一百五十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點機械能守恒定律：解決問題的基本出發(fā)點：二、軌道微分方程：比耐公式通常求軌道：然后消去t后得到。但在有心力中，所有對于時間的微分都可以通過消除，從而得到關(guān)于r

與θ的微分方程,求解軌道微分方程可得軌道方程。目前一百五十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點令：--目前一百五十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點比耐公式用途:目前一百五十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點本星系群局域超星系團目前一百五十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點太陽系概況1、太陽：太陽系中心天體，是太陽系光和能量的來源，其質(zhì)量占總質(zhì)量的99.865%。2、行星和衛(wèi)星：

太陽系的主要成員

水金地火木土天海(公轉(zhuǎn)方向相同)衛(wèi)星：

1261312111環(huán)帶：

有有有有3、小天體：

小行星、彗星、流星、隕星。目前一百五十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點木土天海地金火水目前一百五十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前一百五十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點公轉(zhuǎn)軌道具有共面性：行星偏心率傾角軌道半長軸(AU)公轉(zhuǎn)周期(年)水星0.20567.0°0.38710.2411.00130金星0.00683.4°0.72330.6150.99953地球0.01670°1.000011.00000火星0.09341.9°1.52371.8811.00018木星0.04831.3°5.202711.8620.99915土星0.05602.5°9.555529.4560.99446天王星0.04610.8°19.191184.0060.99844海王星0.00971.8°30.1090164.7820.99479開普勒第三定律目前一百五十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點三、平方反比引力──行星運動引力:比耐公式變?yōu)槟壳耙话倭揬總數(shù)一百九十三頁\編于三點目前一百六十一頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點A,θ0微積分常數(shù),將極軸轉(zhuǎn)動使θ0=0為正焦弦的一半為偏心率,由初始條件確定以太陽為焦點的圓錐曲線OCxABrpy以橢圓為例目前一百六十二頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點可見,平方反比引力下行星的的運動是以太陽為焦點的圓錐曲線。在直角坐標(biāo)系中，軌道方程目前一百六十三頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點OCxABrpy(1)e<1橢圓

近日點遠(yuǎn)日點目前一百六十四頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(3)e>1雙曲線OA(2)e=1拋物線引力斥力目前一百六十五頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點由于e是一個幾何量，應(yīng)該找一個物理量作為判據(jù)。由于有心力是保守力，因此行星運動過程中機械能守恒——機械能可否作為判據(jù)？下面計算在頂點的總能量。先計算A點動能：由：

在A點的向心力：下面計算ρ:由：得：目前一百六十六頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點因此：目前一百六十七頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點下面討論A點的勢能,取無窮遠(yuǎn)處的勢能為0點在A點:于是A點的總能量:目前一百六十八頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點總能量決定軌道形狀：四、從開普勒定律到萬有引力定律(開普勒-->牛頓)──從軌道規(guī)律得到力的性質(zhì)1.開普勒三定律目前一百六十九頁\總數(shù)一百九十三頁\編于三點(1)行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于