空間中的平行關(guān)系5

(認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定/能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題)7.4直線與平面平行平面與平面平行1．直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點)；(2)直線和平面

(有且只有一個公共點)；(3)直線和平面

(沒有公共點)．2．線面平行的判定定理：如果

一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．相交平行平面外的3．線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和兩平面的交線

．4．平行平面的定義：如果兩個平面沒有

，那么這兩個平面互相平行．5．平行平面的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條

直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行．平行公共點相交6．推論：如果一個平面內(nèi)有兩條

直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面互相平行．7．平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面

，那么它們的交線平行．8．性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的

平行于另一個平面．相交相交直線1．若P是平面α外一點，則下列命題正確的是()A．過P只能作一條直線與平面α相交B．過P可作無數(shù)條直線與平面α垂直C．過P只能作一條直線與平面α平行D．過P可作無數(shù)條直線與平面α平行答案：D2．已知平面α外不共線的三點A，B，C到α的距離都相等，則正確的結(jié)論是()A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必與α相交D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)答案：D3．(2009·江西)如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形， 則下列命題中錯誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成角為45°答案：C4．已知l、m是空間兩條不同直線，α、β是空間兩個不同平面，給出下列四個條件： ①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α內(nèi)存在不共線的三點到平面β的距離相等； ③l、m是平面α內(nèi)兩條直線，且l∥β，m∥β； ④l、m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判斷平面α與平面β平行的條件是________．(寫出所有正確條件的序號)解析：①當α、β、γ如長方體的三個相交平面時，其兩兩相互垂直，∴不正確；②當α、β相交，α內(nèi)兩條平行于交線且關(guān)于交線對稱的直線上所有點到面β的距離相等，∴不正確；③當α、β的交線與m、l都平行時，滿足l∥β，m∥β，∴不正確；④l、m為兩異面直線，則可以平移一條直線使其兩直線相交得到一平面γ，l∥α，m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正確．答案：④1.直線與平面平行的判定定理是由線線平行推出線面平行；而直線與平面平行的性質(zhì)定理則是由線面平行推出線線平行，要注意直線與平面平行性質(zhì)定理和判定定理的交替使用．2．由直線與平面平行，可在該平面內(nèi)找到直線的平行線，可通過作輔助平面完成，而直線與平面平行的性質(zhì)定理則是作輔助平面的重要理論依據(jù)．3．證明直線與平面平行可利用空間向量完成，例如可證直線的方向向量與平面的法向量垂直等．【例1】如右圖所示，在空間四邊形ABCD中，截面EFGH為平行四邊形， 試證：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH. 證明：證法一：∵截面EFGH為平行四邊形，∴EH∥FG，根據(jù)直線 與平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH?平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.證法二：如右圖，設由EFGH為平行四邊形知：m＝λa＋μb，且m＝y(tǒng)b＋zc，∴即m＝μb.∴m∥b，即BD∥EH，因此BD∥平面EFGH.同理AC∥平面EFGH.變式1.(1)如右圖，已知平面α、β，α∩β＝l，直線m∥α，m∥β， 試用向量法證明：m∥l； (2)若a、b為異面直線， 求證：有且只有一個平面經(jīng)過a且與b平行． 證明：(1)如題圖，取基向量a、b、c作為基底，在直線m上取向量m≠0， 由m∥α知，m＝λa＋μc，由m∥β知，m＝xb＋yc， 由空間向量基本定理知λ＝0，x＝0，μ＝y(tǒng)，

∴m＝μc，即m∥c，因此m∥l.(2)如圖，在直線a上取一點O，過O作b′∥b，則a與b′確定一個平面，設此平面為α，b∥b′，b?α，b′?α，∴b∥α；假設存在α、β平面，兩平面都經(jīng)過a，且與b平行，則α∩β＝a，由變式(1)知a∥b，此與a、b異面矛盾.平面平行的判定定理，是利用了線面平行來推證的，即需要找到或證出兩條相交直線平行于另一平面．這是判定兩平面平行的主要方法．還可以通過一些垂直關(guān)系來判定．【例2】正方必形AB蹄CD和正厘方形AB貓EF所在材平面售互相晌垂直無，M、N分別俱是對劉角線AC和BF上的猶點，拌且AM＝FN.(1袋)求證鎖：MN∥平面BE筑C；(2短)設正犬方形旋的邊黨長為a，AM＝FN＝b，求MN的長潔；(3欲)若α和β分別海表示枕直線MN和AC及MN和BF所成驅(qū)的銳貢角，宴當線曬段MN的長拒度最悲短時鞏，計窮算α和β的度貝數(shù)．解答峽：(1者)證法一：俊如右勒圖①，過怖點M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，且逢不難享知Rt△AM概H∽Rt△AB赴C.∴.連結(jié)HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF，∴.∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MH膽N∥平面BE峰C.∴MN∥平面BE余C.證法顆二：端如右懼圖②連結(jié)AN，并籮延長幼與BE相交并于G，連吊結(jié)CG.∵AF∥BG，∴△AN于F∽△GN愈B，∴.∵FN＝AM，AC＝BF，∴.∴，則MN∥CG.由于MN是平烈面BG育C外的群一條蒙直線錦，∴MN∥平面BG漲C，即MN∥平面BE獸C.(2壓)如圖①∵平面AB蜂CD⊥平面AB門EF，MH⊥AB，∴MH⊥平面AB初EF.而HN?平面AB鏡EF，∴MH⊥HN.從(1春)可知HN⊥AB，又低由AC為正須方形族的對慌角線后，可喘知MH＝AH，Rt△AN膽H≌Rt△HN無M，∴MN＝AN.在△AN揉F中，AN2＝AF2＋FN22AF·NF·c幼os∠AF祥N＝a2＋b2－2abco御s暢45勵°，AN＝，∴MN＝.(3孔)由(2幼)可知降：MN＝，∴當b＝a時，MN的長灑度最縮慧短．滋此時描可求偵出α＝β＝60?！?【例3】如右增圖，揉正三古棱柱AB翠C—A1B1C1中，D是BC的中膀點，AB＝a.(1罰)求證巴：A1D⊥B1C1；(2骨)求點D到平值面AC劣C1的距運離；(3倍)判斷A1B與平逆面AD剩C1的位左置關(guān)寸系，謹并證關(guān)明你環(huán)的結(jié)摘論．面面箏平行翁需要猜由線伴面平仍行判汗定，而惠直線棗與平閱面平幕行問砌題可旬以轉(zhuǎn)搭化為殊面面惹平行滔問題盈．解答營：(1旺)證法平一：∵點D是正△AB憤C中BC邊上撫的中慈點，∴AD⊥BC.又AA1⊥底面AB摟C，∴AA1⊥BC，∴BC⊥平面A1AD.∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.證法魂二：恩如右圈圖所腳示，∵三棱嫌柱AB嚇C—A1B1C1為正辦三棱模柱，∴A1C＝A1B.∵點D是等包腰△A1CB的底南邊BC的中落點，∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.(2漏)解法紗一：統(tǒng)如右圖，作DE⊥AC于E，∵平面AC脅C1⊥平面AB蜻C，∴DE⊥平面AC溪C1于E，即DE的長則為點D到平勿面AC汽C1的距礙離，句在Rt△AD工C中，AC＝2CD＝a，AD＝a，∴所求牲距離DE＝陪＝a.解法缺二：設點D到平伯面AC杠C1的距擴離為x，∵，∴a2·CC1＝a·CC1·x，解得x＝a，即壓點D到平假面AC茂C1的距乘離是a.(3宮)直線A1B∥平面AD燃C1.以下餐給出朽證明銹：證法懶一：色如右博圖，哄設A1C交AC1于F，則F為A1C的中越點．∵D是BC的中仿點，∴DF∥A1B.又DF?平面AD杯C1，A1B?平面AD野C1，∴A1B∥平面AD漲C1.證法雜二：如右糊圖，取C1B1的中途點D1，則AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面AD核C1∥平面A1D1B.∵A1B?平面A1D1B，∴A1B∥平面AD匙C1.變式3.如圖AB魄C—A1B1C1是各自棱長糾均為a的正爪三棱扎柱懂，D是側(cè)棱CC1的中鏡點．(1座)求證歸：平嗓面AB1D⊥平面AB釋B1A1；(2篩)若O為△AB漢C的中踐心，P為BB1上一舍點，蘇當OP∥平面AB1D時，魄試確不定點P的位旺置．解答去：(1撞)證明：如爸圖，騎取AB1、AB中點棵分別激為E、F，連接DE，EF，CF，則EF綊BB1，又CD綊BB1，則EF綊CD，因此柴四邊齡形CD廉EF為平覽行四糟邊形廢，又息面AB冠C⊥面AA1BB1，則CF⊥面AA1B1B，∴DE⊥面AB嶼B1A1，又DE?平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面AB浸B1A1；(2醋)由OP∥平面AB1D，F(xiàn)O∥平面AB1D，知雪平面PF每O∥平面AB1D，因此PF∥AB1，又F為AB的中截點，無所以P為BB1的中驢點.【方法鄭規(guī)律】1．在解甲決直都線與憶平面蛇、平墻面與賞平面兩平行施問題悲的過構(gòu)程中剪，要秧特別非注意嫂判定儲定理牢和性均質(zhì)定饞理的暖聯(lián)合迎交替班使用貫．2．可脊利用用共面殃向量拔定理孫證明括直線怒與平蜜面平內(nèi)行和珠四點高共面虛等問胞題3．利咱用直位線和販平面調(diào)平行干可進靜行點略到平向面距攪離的藍轉(zhuǎn)化東．4．直驅(qū)線與摔平面萌平行廟的判鬧定定恢理及霧平面零與平挽面平妄行的吵性質(zhì)只定理覺都是有極為蓬重要居的作令圖的助理論鍛和依起據(jù).(本題串滿分12分)如右圖，在長霉方體AB葡CD—A1B1C1D1中，E、P分別器是BC、A1D1的中剩點，M、N分別胃是AE、CD1的中柄點，AD＝AA1＝a，AB＝2a.(1堆)求證：MN∥面AD職D1A1；(2坊)求二牢面角P—AE—D的大這?。獯鹗澹?1畜)證明：如毯圖，此取CD的中眠點K，連宏結(jié)MK、NK.∵M、N、K分別修為AE、CD1、CD的中植點，∴MK∥AD，NK∥DD1.∴MK∥面AD常D1A1，NK∥面AD膨D1A1.∴面MN負K∥面AD肯D1A1.∴