第二章多項式

第二章多項式

2.1一元多項式的定義和運算2.2多項式的整除性2.3多項式的最大公因式2.4多項式的分解2.5重因式2.6多項式函數(shù)多項式的根2.7復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式2.8有理數(shù)域上多項式2.9多元多項式2.10對稱多項式李桂榮梁超張景曉孫杰課外學(xué)習(xí)2：從高次代數(shù)方程和求根公式到伽羅華理論課外學(xué)習(xí)3：代數(shù)與代數(shù)基本定理的歷史課外學(xué)習(xí)4：推廣的余數(shù)定理及算法課外學(xué)習(xí)5：代數(shù)元的多項式的共軛因子德州學(xué)院數(shù)學(xué)系代數(shù)是搞清楚世界上數(shù)量關(guān)系的工具。――懷特黑德（1961－1947）當(dāng)數(shù)學(xué)家導(dǎo)出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風(fēng)景，聽到優(yōu)美的曲調(diào)等等一樣而得到充分的快樂。--柯普寧(前蘇聯(lián)哲學(xué)家)快樂地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，優(yōu)雅地欣賞數(shù)學(xué)。――匿名者

德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1一元多項式的定義和運算一、內(nèi)容分布2.1.4多項式的運算二、教學(xué)目的

掌握一元多項式的定義,有關(guān)概念和基本運算性質(zhì).三、重點、難點

一元多項式的定義，多項式的乘法，多項式的運算性質(zhì)。2.1.1認(rèn)識多項式2.1.2相等多項式2.1.3多項式的次數(shù)2.1.5多項式加法和乘法的運算規(guī)則2.1.6多項式的運算性質(zhì)德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1.1認(rèn)識多項式多項式令R是一個含有數(shù)1的數(shù)環(huán).R上一個文字x的多項式或一元多項式指的是形式表達(dá)式

這里n是非負(fù)整數(shù)而

都是R中的數(shù).

一元多項式常用符號

來表示.

注1：在多項式(1)中,叫做零次項或常數(shù)項,叫做i次項,

叫做i次項的系數(shù).

2：在一個多項式中，可以任意添上或去掉一些系數(shù)為零的項；若是某一個i次項的系數(shù)是1，那么這個系數(shù)可以省略不寫。德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1.2相等多項式

定義若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項式,f(x)和g(x)有完全相同的項,或者只差一些系數(shù)為零的項,那么f(x)和g(x)就說是相等.

f(x)=g(x)德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1.3多項式的次數(shù)叫做多項式

的最高次項,非負(fù)整數(shù)n叫做多項式

的次數(shù).記作注：系數(shù)全為零的多項式?jīng)]有次數(shù),這個多項式叫做零多項式，記為0.

德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1.4多項式的運算

多項式的加法

給定數(shù)環(huán)R上兩個多項式且m≤n,f(x)和g(x)的加法定義為這里當(dāng)m<n時，德州學(xué)院數(shù)學(xué)系多項式的乘法

給定數(shù)環(huán)R上兩個多項式f(x)和g(x)的乘法定義為這里德州學(xué)院數(shù)學(xué)系多項式的減法

德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1.5多項式加法和乘法的運算規(guī)則

（1）加法交換律:（2）加法結(jié)合律:

（3）乘法交換律:（4）乘法結(jié)合律:（5）乘法對加法的分配律:

注意：要把一個多項式按“降冪”書寫當(dāng)

時，

叫做多項式的首項.德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.1.6多項式的運算性質(zhì)

定理是數(shù)環(huán)R上兩個多項式,并且.那么

（i）當(dāng)

時,

（ii）

德州學(xué)院數(shù)學(xué)系證:

且

那么（1）

（2）

由（1），的次數(shù)顯然不超過n，另一方面，，所以由(2)得的次數(shù)是n+m.德州學(xué)院數(shù)學(xué)系推論2

證

由得

。但

所以由推論1必有,即

證若是

中有一個是零多項式，那么由多項.若是

那么由上面定理的證明得式乘法定義得

或推論1

德州學(xué)院數(shù)學(xué)系當(dāng)

是什么數(shù)時，多項式

（1）是零多項式？（2）是零次多項式？例德州學(xué)院數(shù)學(xué)系2.盟2多項理式的染整除生性一、霉內(nèi)容羨分布2.懷2.講1多項勸式的補整除粘概念2.尼2.腦2多項糠式整叮除性漆的一育些基采本性日質(zhì)2.觸2.擇3多項當(dāng)式的蹄帶余思除法攝定理2.萌2.花4系數(shù)寇所在品范圍床對整沒除性漠的影還響二、拴教學(xué)取目的1．掌鳴握一追元多矛項式垂整除掌的概貍念及有其性蔬質(zhì)。2．熟苦練運輸用帶搜余除吳法。三、汪重點爬、難嶺點多項撐式的攻整除演概念毒，帶萍余除厚法定乓理德州林學(xué)沸院數(shù)慮學(xué)系2.談2.肉1多項偉式的鑄整除娃概念設(shè)F是一冊個數(shù)皮域.F[x]是F上一唱元多萬項式附環(huán).定義1

，如果存在

，使得

，則稱整除，記為

，此時稱

是的因式，否則稱不能整除，記為

德州獻學(xué)討院數(shù)菜學(xué)系2.輔2.彈2多項朵式整詢除性認(rèn)的一棚些基堆本性蟲質(zhì)（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

德州羞學(xué)選院數(shù)有學(xué)系2.皇2.促3多項渾式的鉤帶余燙除法擔(dān)定理定理

，且

，則存在使得這里，或者并且滿足上述條件的

只有一對。注1：

分別稱為

所得的商式和余式注2：

德州齒學(xué)占院數(shù)光學(xué)系證：

先證定理的前一部分.（i）若

,或

.則可以?。╥i）若,且

按降冪書寫:這里,并且，并記有以下性質(zhì)：德州聰學(xué)明院數(shù)壁學(xué)系或者

若是.則對重復(fù)上面的過程。如此進行，我們得出一列多項式：使得而由于多項式的次數(shù)是遞降的,故存在k使，于是便給出了所說的表示。德州杏學(xué)悠院數(shù)補學(xué)系現(xiàn)在胸證明餅定理講的后緞一部膨分．匪假設(shè)f(x)有兩味種符怎合定鐮理中萌要求酸的表皺示法冊：那么上式右邊或者為零，或者次數(shù)小于而左邊或者是零，或者次數(shù)不小于因此必須兩邊均為零，從而德州失學(xué)霉院數(shù)于學(xué)系2.蒙2.榜4系數(shù)疏所在概范圍帶對整軍除性致的影勢響是兩個數(shù)域，并且，那么多項式環(huán)含有多項式環(huán)F[x]．因此Ｆ上的一個多項式也是上的一個多項式．

，則如果在F[x]里不能整除，那么在里

也不能整除事實上，若，那么由于在F[x]里不能整除不能等于0．因此在里

顯然仍不能整除德州岔學(xué)躺院數(shù)劍學(xué)系假定，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：并且．但是F[x]的多項式都是的多項式，因而在里，這一等式仍然成立．于是由的唯一性得出，在里也不能整除德州茫學(xué)洗院數(shù)弟學(xué)系例1確定m，使例2設(shè)適合什么條件時，整除。問德州養(yǎng)學(xué)糠院數(shù)克學(xué)系2.落3多項相式的脹最大拴公因秋式一.內(nèi)容候分布2.木3.材1多項床式公牽因式,最大釀公因?qū)Ｊ?互素蘭概念2.哈3.搭2用輾帝轉(zhuǎn)相照除法專求最重大公旬因式.二.教學(xué)鑼目的1.掌握顛最大揪公因敲式,互素縱概念.2.熟練劍掌握吃輾轉(zhuǎn)伯相除務(wù)法3.會應(yīng)也用互蘋素的留性質(zhì)床證明劃整除蝕問題三.重點,難點輾轉(zhuǎn)奴相除候法求敢最大翠公因率式.證明第整除竊問題德州盜學(xué)傍院數(shù)均學(xué)系令和是F[x]的兩個多項式，若是F[x]的一個多項式同時整除和，那么叫做

與的一個公因式.定義2設(shè)是多項式與的一個公因式.若是能被與的每一個公因式整除,那么叫做

與的一個最大公因式.定義1德州塑學(xué)僑院數(shù)尊學(xué)系的任意兩個多項式與一定有最大公因式.除一個零次因式外,與的最大公因式是唯一確定的,這就是說，若是與的一個最大公因式，那么數(shù)域F的任何一個不為零的數(shù)c與的乘積，而且當(dāng)與不全為零多項式時，只有這樣的乘積是與的最大公因式.定理2.肢3.景1德州黎學(xué)邁院數(shù)顏學(xué)系解：對施行輾轉(zhuǎn)相除法.為了避免分?jǐn)?shù)系數(shù)，在做除法時，可以用F的一個不等于零的數(shù)乘被除式或除式.而且不僅在每一次除法開始時可以這樣做，就是在進行除法的過程中也可以這樣做.這樣商式自然會受到影響，但每次求得的余式與正確的余式只能差一個零次因式.這對求最大公因式來說是沒有什么關(guān)系的.令F是有理數(shù)域.求F[x]的多項式的最大公因式.例1德州姿學(xué)廣院數(shù)院學(xué)系把先乘以2，再用來除：乘以2這樣說，得尖到第漏一余予式德州江學(xué)并院數(shù)坊學(xué)系把g(x)乘以3，再用來除：乘以3約去晨公因交子56后，斯得出管第二余余式德州儀學(xué)鐵院數(shù)佛學(xué)系再以除.計算結(jié)果被整除所以就是與的最大公因式：定理2.3.2

若是的多項式與的最大公因式，那么在里可以求得多項式與，使以下等式成立:德州燈學(xué)陣院數(shù)證學(xué)系例2

令F是有理數(shù)域.求出的多項式的最大公因式以及滿足等式的多項式與.對與施行輾轉(zhuǎn)相除法.但是現(xiàn)在不允許用一個零次多項式乘被除式或除式.因為在求多項式

與時，不僅要用到余式，同時也要用到商式.施行除法的結(jié)果，我們得到以下一串等式：德州遭學(xué)械院數(shù)已學(xué)系由此得出，是與的最大公因式，而德州秀學(xué)物院數(shù)疼學(xué)系定理2.3.3

的兩個多項式與互素的充分且必要條件是：在中可以求得多項式與，使如果的兩個多項式除零次多項式外不再有其它的公因式，我們就說，這兩個多項式互素.定義3德州激學(xué)也院數(shù)自學(xué)系從這衰個定央理我轎們可未以推隱出關(guān)妥于互廊素多抽項式蒼的以眨下重要箱事實.若多項式和都與多項式互素，也與互素.那么乘積2.若多項式整除多項式與的乘積，而與互素.那么一定整除3.若多喉項式與都整般除多柳項式，而與互素.那么賓乘積也整謎除德州盆學(xué)識院數(shù)捧學(xué)系2.疏4多項暖式的手分解一.內(nèi)容臣分布2.崇4.棒1不可夜約多角項式蜜的概紛念及零性質(zhì)2.奧4.系2唯一炕因式茅分解本定理二.教學(xué)粥目的1.掌握誕不可語約多侍項式晝及性傲質(zhì)2.掌握瓜唯一決因式校分解釀定理,會用宅兩個候多項浴式的孫典型妹分解求出劈燕最大范公因巾式3.掌握奔求典項型分迷解式三.重點.難點唯一牌因式漸分解覽定理,用典親型分泳解求終出最辱大公絡(luò)因式德州替學(xué)柳院數(shù)壺學(xué)系定義

令是的一個次數(shù)大于零的多項式.若是在中只有平凡因式，就說是在數(shù)域F上（或在中）不可約.若除平凡因式外，在中還有其它因式，就說是在F上（或在中）可約.這個湯定義聚的條蛾件也享可以姨用另歉一種閃形式弱來敘桃述若多項式有一個非平凡因式而，那么與的次數(shù)顯然都小于的次數(shù).反之，若能寫成兩個這樣的多項式的乘積，那么有非平凡因式.因此我們可以說：德州悔學(xué)愉院數(shù)男學(xué)系如果的一個次多項能夠分解成中兩個次數(shù)都小于n的多項式與的積：（1）那么在F上可約.若是在中的任一個形如（1）的分解式總含有一個零次因式，那么在F上不可約.（a）如果多項式不可約，那么F中任一不為零的元素c與的乘積也不可約.（b）設(shè)p(x)是一理個不諸可約路多項火式而f(x)是一紛個任獨意多效項令式，干那么p(x)或者俯與f(x)互素專，或泳者p(x)整除f(x)挨.（c）如難果多爹項式f(x)與g(x)的乘碌積能匹被不線可約羽多項退式p(x)整除齡，那然么至此少有慌一個州因式堤被p(x)整除.性質(zhì)（c）很容易推廣到任意s（s≥2)個多項式的乘積的情形.我們有（）如果多項式的乘積能被不可約多項式p(x)整除，那么至少有一個因式被p(x)整除.德州寄學(xué)議院數(shù)對學(xué)系此處是F的不為零的元素.即，如果不計零次因式的差異，多項式f(x)分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的.F[x]的每一個n(n>0)次多項式f(x)都可以分解成F[x]的不可約多項式的乘積.定理2.4.1令f(x)是F[x]的一個次數(shù)大于零的多項式，并且此處定理2.4.2德州今學(xué)身院數(shù)籃學(xué)系例在有理數(shù)域上分解多項式

為不可約因式的乘積.容易看出（2）

一次因式x+1自然在有理數(shù)域上不可約.我們證明，二次因式也在有理數(shù)域上不可約.不然的話,將能寫成有理數(shù)域上兩個次數(shù)小于2的因式

的乘積，因此將能寫成（3）的形式，這里a和b是有理數(shù).把等式（3）的右端乘開，并且比較兩端的系數(shù)，將得a+b=0,ab=-b，由此將得.這與a是有理數(shù)的假定矛盾.這樣，（2）給出多項式的一個不可約因式分解.德州菠學(xué)艦院數(shù)指學(xué)系我們還可以如下證明在有理數(shù)域上不可約.如果（3）式成立，那么它也給出的實數(shù)域上的一個不可約因式分解.但在實數(shù)域上因此由唯一分解定理就得出的矛盾.德州莊學(xué)細(xì)院數(shù)否學(xué)系2.島5重因供式一.內(nèi)容美分布2.宵5.認(rèn)1重因肢式概體念2.桃5.流2沒有歐重因蹤蝶式的調(diào)判斷二.教學(xué)是目的1.掌握瞇重因術(shù)式概宗念,多項負(fù)式的K階導(dǎo)筐數(shù)概辱念.2.掌握妥有無未重因丘式判啞斷的貢充要帽條件.三.重點城難點重因壟式概拐念及肯用一浴階導(dǎo)者數(shù)判錘斷多化項式暢有無洗重因意式.德州守學(xué)藥院數(shù)刻學(xué)系根據(jù)炒以上頁定義聯(lián)不難津直接摔驗證游，關(guān)疊于和似與積申的導(dǎo)通數(shù)公式仍賺然成色立：（1）（2）（3）F[x]的多項式的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是F[x]的多項式一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作，的導(dǎo)數(shù)叫做的三階導(dǎo)數(shù)，記作，等等.的k階導(dǎo)數(shù)也記作.定義德州押學(xué)谷院數(shù)名學(xué)系設(shè)p(x)是多項式f(x)的一個k(k≥1)重因式.那么p(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù)的一個k-1重因式.定理2.5.1多項式f(x)沒有重因式的充分且必要條件是f

(x)與它的導(dǎo)數(shù)互素.定理2.5.2德州育學(xué)斗院數(shù)弊學(xué)系2.眉6多項民式函澇數(shù)圾多膠項式咽的根一.內(nèi)容孫分布2.蓋6.掏1多項王式的央根概喘念2.陸6.朽2綜合豈除法二.教學(xué)限目的1.掌握捐多項兄式函叔數(shù)燭多項染式的腎根的轉(zhuǎn)概念2.掌握群余式倉定理鄙及運翻用綜刑合除糠法3.熟悉差理解切拉格驗朗日想插值姿公式三.重點棄、難輸點綜合業(yè)除法善，拉橡格朗于日插混值公唯式德州糠學(xué)型院數(shù)拍學(xué)系設(shè)給定R[x]的一個多項式和一個數(shù)c∈R.那么在的表示式里,把x用c來代替,就得到R的一個數(shù)這個數(shù)叫當(dāng)x=c時f(x)的值,并且用f(c)來表示.這樣,對于R的每飼一個逢數(shù)c,就有R中唯甲一確川定的霸數(shù)f(c)與它豎對應(yīng).于是漸就得感到R到R的一和個映據(jù)射.這個駝映射幻玉是由調(diào)多項佳式f(x)所確蒸定的,叫做R上一姥個多績項式騙函數(shù).德州贈學(xué)邁院數(shù)洋學(xué)系綜合霜除法,并且設(shè)(1)其中比較等式(1)中兩端同次項的系數(shù),我們得到設(shè)用x–c除f(x)所得的余式等于當(dāng)x=c時f(x)的值f(c).定理2.6.1德州術(shù)學(xué)漢院數(shù)側(cè)學(xué)系由此貓得出德州重學(xué)劣院數(shù)泛學(xué)系這樣,欲求系數(shù),只要把前一系數(shù)乘以c再加上對應(yīng)系數(shù),而余式的r

也可以按照類似的規(guī)律求出.因此按照下所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的系數(shù)和余式:表中蛾的加茫號通賣常略至去不恰寫.德州逆學(xué)倒院數(shù)則學(xué)系例1用x+些3除作綜瘋合除贈法:所以卻商式定是而余廢式是德州田學(xué)跪院數(shù)進學(xué)系定理2.6.2

數(shù)c是多項式f(x)的根的充分且必要條件是f(x)能x–c能整除.定理2.6.3

設(shè)f(x)是R[x]中一個n≥0次多項式.那么f(x)在R中至多有n個不同的根.令f(x)是R

[x]的一個多項式而c的R的一個數(shù).若是當(dāng)x

=

c時f(x)的值f(c)

=

0,那么c叫做f(x)在數(shù)環(huán)R中的一個根.定義德州渡學(xué)范院數(shù)孝學(xué)系證如果f(x)是零未次多墓項式,那么f(x)是R中一套個不替等于添零的修數(shù),所以然沒有溜根.因此舍定理狼對于n=碑0成立.于是桂我們份可以凱對n作數(shù)差學(xué)歸俗納法費來證磁明這埋一定齡理.設(shè)c∈R是f(x)的一堵個根.那么f(x)彎=察(x–c)g(x)這里g(x)屆∈R[x]是一口個n–藍(lán)1次多劫項式.如果d∈R是f(x)另一季個根,d≠c那么0棋=f(d)市=濃(d–c)g(d援)因為d–c≠0午,所以g(d)輝=卻0.因為g(x)的次得數(shù)是n–棟1形,由歸腳納法炎假設(shè),g(x)在R內(nèi)至膊多有n–更1個不敘同的朗根.因此f(x)在R中至燙多有n個不叨同的角根.德州丹學(xué)洲院數(shù)逃學(xué)系令

u(x)=f(x)–g(x)若f(x)≠g(x),換一句話說,u(x)≠0,那么u(x)是一個次數(shù)不超過n的多項式,并且R中有n+1個或更多的根.這與定理2.6.3矛盾.證設(shè)f(x)與g(x)是R[x]的兩個多項式,它們的次數(shù)都不大于n.若是以R中n+1個或更多的不同的數(shù)來代替x時,每次所得f(x)與g(x)的值都相等,那么

f(x)=g(x).定理2.6.4德州徐學(xué)戴院數(shù)底學(xué)系證設(shè)f(x)緩=g(x)那么俱它們滔有完吵全相撫同的吐項,因而紛對R的任這何c都有f(c)賴=g(c)這就孫是說,f(x)和g(x)所確悟定的尾函數(shù)貧相等.反過亞來設(shè)f(x)和g(x)所確該定的報函數(shù)棗相等.令u(x)=悠f(x撇)珠–g(x)那么河對R的任繭何c都有u(c)仿=f(c)答–g(c)巾=續(xù)0這就趴是說,R中的字每一膠個數(shù)鍛都是溝多項核式u(x)的根.但R有無蓄窮多爹個數(shù),因此u(x)有無結(jié)窮多雁個根.根據(jù)碼定理2.她6.仇3只有卷零多財項式嶼才有董這個亞性質(zhì).因此賢有u(x)稿=f(x)風(fēng)–g(x)輛=場0計,f(x)壁=g(x)墨.

R[x]的兩個多項式f(x)與g(x)相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們所定義的R上的多項式函數(shù)相等.定理2.6.5德州罵學(xué)浙院數(shù)哄學(xué)系這個然公式顏叫做詞拉格炕朗日(L大ag喊ra題ng律e)插值獅公式.給了一個數(shù)環(huán)R里n+1個互不相同的數(shù)以及任意n+1個不全為0的數(shù)后,至多存在R[x]的一個次數(shù)不超過n的多項式f(x)能使

如果R還是一個數(shù)域,那么這樣一個多項式是存在的,因為容易看出,由以下公式給出的多項式f(x)就具有上述性質(zhì):拉格肝朗日(L澆ag片ra貓ng啟e)插值詠公式德州哥學(xué)賓院數(shù)骨學(xué)系由拉格朗日插值公式得求次數(shù)小于3的多項式f(x)使例2德州扣學(xué)夫院數(shù)分學(xué)系2.臨7復(fù)數(shù)競和實印數(shù)域每上多貞項式一.內(nèi)容幸分布2.換7.霜1代數(shù)柜基本左定理2.際7.況2實系拼數(shù)多挺項式逮分解磨定理二.教學(xué)紀(jì)目的1.理解激代數(shù)冬基本網(wǎng)定理券、重專根2.掌握氏實系脆數(shù)多胞項式達(dá)的性看質(zhì)三.重點覽、難透點代數(shù)答基本銜定理,根與本系數(shù)得關(guān)系.實系鳥數(shù)多盡項式撫性質(zhì).德州攔學(xué)業(yè)院數(shù)關(guān)學(xué)系證設(shè)f(x)是一個次多項式,那么由定理2.7.1,它在復(fù)數(shù)域C中有一個根因此在C[x]中這里是C上的一個n–1次多項式.若n–1>0,那么在C中有一個根因而在C[x]中任何n(n>0)次多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根.定理2.7.1(代數(shù)基本定理)任何n(n>0)次多項式在復(fù)數(shù)域中有n個根(重根按重數(shù)計算).定理2.7.2德州逮學(xué)敞院數(shù)炊學(xué)系這樣定繼續(xù)講下去,最后f(x)在C[x]中完墓全分揮解成n個一扎次因鮮式的桶乘積,而在f(x)C中有n個根.復(fù)數(shù)聽域C上任長一n(n>張0)次多躺項式坑可以桂在C[x]里分宵解為脹一次銳因式抄的乘只積.復(fù)數(shù)普域上通任一失次數(shù)妹大于1的多禁項式描都是窩可約芬的.定理2.7.3

若實系數(shù)多項式f(x)有一個非實的復(fù)數(shù)根,那么的共軛數(shù)也是f(x)的根,并且與有同一重數(shù).換句話說,實系數(shù)多項式的非實的復(fù)數(shù)根兩兩成對.德州貪學(xué)酸院數(shù)腎學(xué)系證

由假設(shè)把等式兩端都換成它們的共軛數(shù),得根據(jù)共軛數(shù)的性質(zhì),并且注意到和0都是實數(shù),有即也是f(x)的一個根.因此多項式f(x)能被多項式整除.由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)知道g(x)的系數(shù)都是實數(shù).故此處h(x)也是一個實系數(shù)多項式.德州啊學(xué)她院數(shù)榮學(xué)系若是是f(x)的重根,那么它一定是h(x)的根,因而根據(jù)方才所證明的,也是h(x)的一個根.這樣也是的重根.重復(fù)應(yīng)用這個推理方法,容易看出,的重數(shù)相同.定理2.7.4

實數(shù)域上不可約多項式,除一次多項式外,只有含非實共軛復(fù)數(shù)根的二次多項式.定理2.7.5

每一個次數(shù)大于0的實系數(shù)多項式都可以分解為實系數(shù)的一次和二次不可約因式的乘積.德州難學(xué)榮院數(shù)鑼學(xué)系2.主8有理遣數(shù)域哨上多松項式一.內(nèi)容次分布2.只8.帝1本原堵多項們式及淡高斯努引理2.亦8.菜2艾森項斯坦斤差別壤法2.女8.缺3求整莊系數(shù)授多項藍(lán)式在疑理根二.教學(xué)攻目的1.掌握蠅本原弱多項謹(jǐn)式概拜念及咐高斯深引理2.熟悉挽運用叫艾森夜斯坦旱差別沃法3.掌握養(yǎng)求整喜系數(shù)拖多項至式的瞇有理為根三.重點隙、難乞點艾森改斯坦跑差別辱法及合如何被求整眉系數(shù)任多項刷式有攤理根調(diào)方法.德州漿學(xué)漿院數(shù)第學(xué)系引理2.8.1

兩個本原多項式的乘積仍是一個本原多項式.證設(shè)給了兩個本原多項式并且設(shè)如果不是本原多項式,那么一定存在一個素數(shù)p,它能整除所有系數(shù)若是一個整系數(shù)多項式f(x)的系數(shù)互素,那么f(x)叫作一個本原多項式.定義德州燒學(xué)寬院數(shù)巨學(xué)系由于f(x)和g(x)都是本原多項式,所以p不能整除f(x)的所有系數(shù),也不能整除g(x)的所有系數(shù).令各是f(x)和g(x)的第一個不能被p整除的系數(shù).

考察f(x)g(x)的系數(shù)有這個等式的左端p整除.根據(jù)選擇的條件,所有系數(shù)都被p整除.因此乘積也須被p整除.但p是一個素數(shù),所以p必須整除.這與假設(shè)矛盾.德州供學(xué)陣院數(shù)榆學(xué)系證設(shè)這里都是有理數(shù)域上的次數(shù)小于n的多項式.若是一個整系數(shù)n(n>0)次多項式f(x)在有理數(shù)域上可約,那么f(x)總可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整系數(shù)多項式的乘積.定理2.8.2德州慮學(xué)鴨院數(shù)償學(xué)系令的系數(shù)的最大公因數(shù)是那么這里是一個有理數(shù)而是一個本原多項式.同理,這里是一個有理數(shù)而是一個本原多項式.于是,德州鎮(zhèn)學(xué)耐院數(shù)僑學(xué)系其中r與s是互素的整數(shù),并且s>0.由于f(x)是一整系數(shù)多項式,所以多項式的每一系數(shù)與r的乘積都必須被s整除.但r與s互素,所以的每一個系數(shù)必須被s整除,這就是說,s是多項式

的系數(shù)的一個公因數(shù).但是一個本原多項式,因此顯然各與有相同的次數(shù),這樣,f(x)可以分解成次數(shù)都小于n的兩個整系數(shù)多項式的乘積.德州細(xì)學(xué)伯院數(shù)攻學(xué)系定理2.廚8.焰3嫂(E堪is鉛en刺st妖ei辭n判斷嘆法)是一個整系數(shù)多項式.若是能夠找到一個素數(shù)p,使(i)最高次項系數(shù)不能被p整除,(i腿i)其余擴各項享的系挎數(shù)都框能被p整除,(iii)常數(shù)項不通被整除,那么魚多項血式f(x)在有握理數(shù)豎域上愉不可歐約.德州柔學(xué)念院數(shù)仰學(xué)系證若是多項式f(x)在有理數(shù)域上可約,那么由定理2.8.2,f(x)可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積:這里并且k<n,l<n,k

+l=n,由此得到因為被p整除,而p是一個素數(shù),所以整除.但不能被整除,所以不能同時被p整除.德州亞學(xué)駱院數(shù)停學(xué)系不妨假定整除而不被p整除.g(x)的系數(shù)不能全被p整除,否則f(x)=g(x)h(x)的系數(shù)將被p整除,這與假定矛盾.令g(x)中第一個不能被p整除的系數(shù)是.考察等式由于在這個等式中都被p整除,所以也必須被p整除.但p是一個素數(shù),所以中至少有一個被p整除.這是一個矛盾.德州告學(xué)芝院數(shù)煉學(xué)系設(shè)p是一個素數(shù).多項式叫做一個分圓多項式.(i)的最高次項系數(shù)而的常數(shù)項(ii)這里q(x)是一個整系數(shù)多項式.設(shè)

是一個整系數(shù)多項式.若是有理數(shù)是f(x)的一個根,這里u和v是互素的整數(shù),那么定理2.8.4德州誤學(xué)斑院數(shù)商學(xué)系證由于是f(x)的一個根,所以(2)這里q(x)的一殖個有發(fā)理系秒數(shù)多前項式.我們債有這里vx–u是一飄個本燭原多胖項式,因為u和v互素.另一圈方面,q(x)可以折寫成這里是一個有理數(shù)而是一個本原多項式.這樣德州服學(xué)錫院數(shù)攻學(xué)系這里r和s是互素的整數(shù)并且s>0,而vx–u和都是本原多項式.由此,和定理2.8.2的證明一樣,可以推得s=1而(3)

這里是一個整系數(shù)多項式.令那么由(3)得比較系數(shù),得這就是說另一方面,比較(2)和(3),得所以q(x)也是一個整系數(shù)多項式.德州窯學(xué)泰院數(shù)耽學(xué)系這個多項式的最高次項系數(shù)3的因數(shù)是常數(shù)項

–2的因數(shù)是所以可能的有理根是我們算出所以1與–1都不是f(x)的根.另一方面,由于都是整數(shù),所以有理數(shù)在試驗之列.求多項式的有理根.例德州墾學(xué)忽院數(shù)風(fēng)學(xué)系容易看出,－２不是的根,所以它不是的重根.應(yīng)用綜合除法:

–２|３515–２

–６2–623–13–１0所以–2是f(x)的一個根.同時我們得到－13－１－13－2德州唯學(xué)紡院數(shù)比學(xué)系至此已經(jīng)看到,商式不是整系數(shù)多項式,因此不必再除下去就知道,的根,所以它也不是f(x)的根.再作綜合除法:－13－１－1013030所以的一個根,因而它也是f(x)的一個根,容易看出,的重根.這樣,f(x)的有理根是德州扭學(xué)狀院數(shù)夜學(xué)系2.姨9多元部多項啦式一.內(nèi)容敢分布2.乘9.掘1基本晉概念2.僑9.泡2汗n元多期項式韻的字合典排宅列法2.圈9.錄3多項查式函受數(shù)二.教學(xué)豎目的1.掌握鐵多元兼多項達(dá)式的葛基本娃概念:單項大式,多項半式,系數(shù),同類妥項,次數(shù),單項呀式等熟及n元多占項式服環(huán)2.掌握件多元帶多項外式的葡運算:加法,乘法3.掌握我多項系式的沸字典甲排列英法,多項廳式函提數(shù).三.重點還、難追點n元多固項式覆的一膏般形戰(zhàn)式,多項灘式的紹字典爽排列內(nèi)法德州欄學(xué)鞏院數(shù)洲學(xué)系令是n個文字.形式如的表示式，其中是非負(fù)整數(shù)，叫做數(shù)環(huán)R上的一個單項式.數(shù)a叫做這個單項式的系數(shù).如果某一，那么可以不寫，約定因此，m(m<n)個文字的單項式總可以看成n個文字的單項式.特別，當(dāng)時，我們有德州椒學(xué)閃院數(shù)憲學(xué)系（1）我們還約定，.一些（有限個）單項式用加號聯(lián)結(jié)起來而得到的一個形式表達(dá)式是非負(fù)整數(shù)，叫做R上n個文字的一個多項式，或簡稱R上一個n元多項式.在不致發(fā)生混淆的情況下，也可以簡稱為多項式.我們常用符號等來表示R上n個文字的多項式.德州渣學(xué)間院數(shù)亦學(xué)系在一沙個n元多虹項式熄（1）里針，組序成這譽個多昂項式獲的單素項式敘叫做戴這個勤多項煉式的蒜項.各項疑的系怒數(shù)也鍬叫做獅這個華多項躲式的盯系數(shù).R上兩個單項式和叫做同類項，如果.兩個單項式說是相等，如果它們是同類項并且系數(shù)相等.現(xiàn)在住定義R上n元多貨項式池的運雷算.R上兩個n元多項式的和指的是把分別出現(xiàn)在這兩個多項式中對應(yīng)的同類項的系數(shù)相加所得到的n元多項式，記作f+g.德州蒙學(xué)銹院數(shù)蔥學(xué)系例如的和是為了定義兩個多項式的乘積，先定義兩個單項式的乘積.R上兩個n元單項式與的積指的是單項式德州期學(xué)欣院數(shù)惹學(xué)系現(xiàn)在設(shè)f與g都是R上n個文字的多項式.把f的每一項與g的每一項相乘，然后把這些乘積相加（合并同類項）而得到的一個n元多項式叫做f與g的積，記作fg.例如，多項式的乘積是這樣倚定義例的多怠項式樂的加蝴法和盞乘法河就是合中學(xué)呀代數(shù)奔里熟酷知的呆多項滅式的廊運算拋，并我且容嗓易看憂出，n元多躺項式著的運團算滿啞足下醋列條寇件：德州耕學(xué)衡院數(shù)幼學(xué)系設(shè)f,g,h都是某一數(shù)環(huán)R上n個文字的多項式，那么1）（加法的結(jié)合律）2)（加法的交換律）

3)（乘法的結(jié)合律）4）（乘法的交換律）

5）（分配律）

我們把一個數(shù)環(huán)R上一切n個文字的多項式所成的集合，連同如上定義的加法和乘法叫做R上n個文字的多項式環(huán)，簡稱上元多項式環(huán)，記作:.德州免學(xué)鬼院數(shù)座學(xué)系設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個不等于零的n元多項式.設(shè)（2），（3）是的兩個不同的項，那么在這兩項對應(yīng)的冪指數(shù)的差中，至少有一個不等于零.如果在這些差中，第一個不等于零的數(shù)是一個正數(shù)，換句話說，如果存在這樣一個i,

使得德州路學(xué)蓋院數(shù)牢學(xué)系那么就說，項（2）大于項（3），或者說，項（3）小于項（2）.對于的任意兩個不同的項，總有一個大于另一個，并且若項（2）大于項（3），而項（3）又大于另外一項（4）那么項（2）也大于項（4）.這樣，只要把兩項中較大的一項排在前面，多項式的各項就有了完全確定的次序.這種排列多項式的項的方法很象字典里字的排列法，所以通常把這種排列法叫做多項式的字典排列法.例如就是按字典排列法書寫的一個四元多項式.德州栗學(xué)急院數(shù)言學(xué)系數(shù)環(huán)R上兩個n元多項式與

的乘積的首項等于這兩個多項式首項的乘積.特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零.定理2.9.1數(shù)環(huán)R上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次的和.定理2.9.2設(shè)是數(shù)環(huán)R上一個n元多項式.如果對于任意都有，那么.定理2.9.3德州柱學(xué)張院數(shù)寸學(xué)系設(shè)與是數(shù)環(huán)R上n元多項式.如果對于任意都有那么.換句話說，如果由與的確定的多項式函數(shù)f與g相等，那么這兩個多項式相等.推論2.9.4德州乘學(xué)誰院數(shù)罩學(xué)系2.很10對稱術(shù)多項冤式一.內(nèi)容豬分布2.偷10秀.1對稱暗多項