第04課時(shí)圓和圓的位置關(guān)系及圓的綜合問(wèn)題（解析版）

第4課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合應(yīng)用編寫(xiě)：廖云波【回歸教材】1.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解2.相交兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程已知，①和圓，②用方程①-②，得．③③表示過(guò)圓和圓的交點(diǎn)的直線(xiàn)，即圓和圓公共弦所在的直線(xiàn)方程．圓系方程①過(guò)兩圓和的交點(diǎn)的圓系方程為(，其中不含圓)．②當(dāng)時(shí)，為兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程；當(dāng)兩圓相切時(shí)，為過(guò)兩圓切點(diǎn)的直線(xiàn)方程【典例講練】題型一圓與圓的位置關(guān)系【例1-1】已知，且圓，圓．分別求這兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】時(shí)外離；時(shí)外切；時(shí)相交，時(shí)內(nèi)切，時(shí)內(nèi)含．【解析】【分析】由兩圓的連心距與半徑的和差關(guān)系求解．【詳解】，，半徑為，，，，，，所以，時(shí)外離；時(shí)外切；時(shí)相交，時(shí)內(nèi)切，時(shí)內(nèi)含．【例1-2】已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．(1)求公共弦AB所在的直線(xiàn)方程；(2)求圓心在直線(xiàn)y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；(3)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．【答案】(1)x－2y＋4＝0(2)(3)【解析】【分析】（1）兩圓相減，可得公共弦所在直線(xiàn)方程；（2）首先設(shè)圓系方程（為常數(shù)），根據(jù)圓心在直線(xiàn)上，求，即可求得圓的方程；（3）面積最小的圓，就是以線(xiàn)段AB為直徑的圓，即可求得圓心和半徑.(1)將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線(xiàn)方程．(2)設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程為（為常數(shù)），則圓心坐標(biāo)為；又圓心在直線(xiàn)y＝－x上，故，解得，故所求方程為．(3)由題意可知以線(xiàn)段AB為直徑的圓面積最小．兩圓心所在直線(xiàn)方程為2x＋y＋3＝0，與直線(xiàn)AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為，由弦長(zhǎng)公式可知所求圓的半徑為．故面積最小的圓的方程為．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線(xiàn)有（）A．4條B．2條C．1條D．0條【答案】B【解析】【分析】利用已知條件判斷圓與圓的關(guān)系，進(jìn)而可以求解.【詳解】由，得圓，半徑為，由，得，半徑為所以，，，所以，所以圓與圓相交，所以圓與圓有兩條公共的切線(xiàn).故選：B.【練習(xí)1-2】已知圓與圓．(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程；(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】【分析】（1）將兩圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可證明；（2）將兩圓方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓心為，根據(jù)得到方程，即可求出，從而求出圓心坐標(biāo)與半徑，從而得到圓的方程.(1)證明：圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，，兩圓相交；(2)解：由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為；(3)解：由，解得，則交點(diǎn)為，，圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心為，則，即，解得，故圓心，半徑，所求圓的方程為．題型二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例2-1】已知點(diǎn)在圓上．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）的最大值為，最小值為.）（3）【解析】（1）設(shè)，則，t可視為直線(xiàn)的縱截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)縱截距的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的縱截距．由直線(xiàn)與圓相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得或．∴的最大值為，最小值為．（2）可視為點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，的最大值和最小值就是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該圓有公共點(diǎn)的斜率的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的斜率．設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為，由直線(xiàn)與圓相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得或．∴的最大值為，最小值為．【例2-2】平面上兩個(gè)點(diǎn)為A(－1，0)，B(1，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一點(diǎn)P，則|AP|2＋|BP|2的最小值為_(kāi)_______．【答案】20【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|OP|＝，∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最?。畬AC：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為(x－3)2＋(y－4)2＝4.∵點(diǎn)P為圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的點(diǎn)，∴|OP|min＝|OC|－r(r為半徑)．由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圓心C(3，4)，r＝2.∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即|OP|min＝3，∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.故答案為：20.【例2-3】已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓和圓的圓心分別為,則根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知為定值,再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知的最大值為與兩圓半徑的和即可.【詳解】由題,設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點(diǎn)為.又,.故,當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)取等號(hào).此時(shí)最大值為.故答案為：.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)，則，又在圓上，即，的軌跡方程為所以當(dāng)取最大值時(shí)，與相切，此時(shí),故答案為：【練習(xí)2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則∵，∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：又∵∴題型三與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題【例3-1】已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)圓與曲線(xiàn)的兩交點(diǎn)為M，N，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)C在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)設(shè)，，可得，代入圓化簡(jiǎn)即可；(2)聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線(xiàn)方程,再由弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果；(3)作關(guān)于軸得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與x軸交于Q點(diǎn)，根據(jù)時(shí)求解即可.(1)設(shè)，，點(diǎn)A在圓，所以有：，P是A，B的中點(diǎn)，，即，得P得軌跡方程為：；(2)聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線(xiàn)方程，設(shè)到直線(xiàn)MN得距離為d，則,所以，；(3)作出關(guān)于軸得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖所示；連接與x軸交于Q點(diǎn)，點(diǎn)Q即為所求，此時(shí)，所以的最小值為.【例3-2】已知圓M與圓N：相外切，與y軸相切原點(diǎn)O．(1)求圓M的方程；(2)若圓M與圓N的切點(diǎn)在第一象限，過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線(xiàn)與圓M分別交于P，Q兩點(diǎn)，且兩直線(xiàn)互相垂直，求證：直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)M：或M：(2)證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)圓M的方程為，由兩圓外切建立等式：，求解值可得圓的方程.（2）由切點(diǎn)在第一象限可知圓M：，設(shè)OP所在直線(xiàn)方程為，與圓聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，把k換做，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)斜式計(jì)算直線(xiàn)PQ方程化簡(jiǎn)可求出過(guò)定點(diǎn).(1)由題意知，圓M與y軸相切原點(diǎn)O，所以設(shè)圓M的方程為，因?yàn)閳AM與圓N：相外切，且N：，所以，所以或，所以M：或M：；(2)由題意知M：，設(shè)OP所在直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，得，，同理把k換做，可得，，所以PQ所在直線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)為：故直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)．歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn)．設(shè)圓的半徑為，圓心在直線(xiàn)上．(1)若圓心也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；(2)若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）求出圓心的坐標(biāo)，設(shè)出切線(xiàn)的方程，利用圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑可求出相應(yīng)的參數(shù)值，即可得出所求切線(xiàn)的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由已知可得，分析可知圓與圓有公共點(diǎn)，可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)解：聯(lián)立，解得，即圓心，所以，圓的方程為.若切線(xiàn)的斜率不存在，則切線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)與圓相離，不合乎題意；所以，切線(xiàn)的斜率存在，設(shè)所求切線(xiàn)的方程為，即，由題意可得，整理可得，解得或.故所求切線(xiàn)方程為或，即或.(2)解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，由題意可知，圓與圓有公共點(diǎn)，所以，，即，解得.所以，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五十三）】【課時(shí)作業(yè)（五十三）】A組基礎(chǔ)題1．已知點(diǎn)P，Q分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．4B．5C．7D．10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；所以?xún)蓤A的圓心距，兩圓外離，所以，故選：A.2．已知點(diǎn)A（2，0），B（0，﹣1），點(diǎn)是圓x2+（y﹣1）2＝1上任意一點(diǎn)，則面積最大值為（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及圖形求出圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值，由此可求面積的最大值.【詳解】由已知，要使的面積最大，只要點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離最大．由于AB的方程為1，即x﹣2y﹣2＝0，圓心（0，1）到直線(xiàn)AB的距離為d，故P到直線(xiàn)AB的距離最大值為1，所以面積的最大值為，故選：D．3．在圓中，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出最短、最長(zhǎng)弦，即可得解；【詳解】解：圓，即，圓心為，半徑，又，所以過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦，最短弦，且最短弦與最長(zhǎng)弦互相垂直，所以；故選：B4．已知圓：和圓：有且僅有4條公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意圓、相離，則，分別求圓心和半徑代入計(jì)算．【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑根據(jù)題意可得，圓、相離，則，即∴故選：A．5．已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，如圖所示，顯然當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有最小值，最小值為原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即，故選：D6．已知A，B為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律將題意轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到的中點(diǎn)的距離最值問(wèn)題即可得解.【詳解】設(shè)M是AB的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，，所以．又，所以，所以．故選：C.7．過(guò)圓C:外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，若PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最小值為（）A．1B．C．2D．3【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)P的軌跡為圓，再由圓心到直線(xiàn)的距離減去半徑即可得出最小值.【詳解】∵過(guò)圓C:外一點(diǎn)向圓C引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，由PA⊥PB可知，四邊形CAPB為邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，所以點(diǎn)的軌跡E是以C(1,0)為圓心，為半徑的圓，圓心到直線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)的最短距離為，故選：B8．圓與圓外切，則實(shí)數(shù)_________．【答案】9【解析】【分析】由題意分別求兩圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切可得，代入運(yùn)算求解．【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則根據(jù)題意可得：，即，∴故答案為：9．9．寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線(xiàn)的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線(xiàn)為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線(xiàn)為m時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線(xiàn)為n時(shí)，易知切線(xiàn)方程為，故答案為：或或.10．如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，那么的最大值是______．【答案】2＃＃＋2【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示，兩點(diǎn)間距離，結(jié)合圖形理解運(yùn)算．【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為∵，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形可得故答案為：．11．已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】令，由題可得，即得.【詳解】令，則，代入，可得，∴，解得，即的取值范圍為.故答案為；.12．設(shè)P為曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，Q為曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，則稱(chēng)的最小值為曲線(xiàn)，之間的距離，記作.若，，則___________.【答案】【解析】【分析】求出圓心距，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性得出.【詳解】由可得故答案為：13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）．(1)若直線(xiàn)l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=AB，求直線(xiàn)l的方程；(2)圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0(2)存在，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2【解析】【分析】（1）根據(jù)l∥AB，可得直線(xiàn)l的斜率為1，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x-y+m=0，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合題意，即可求得m值，即可得答案.（2）設(shè)P（x，y），則，根據(jù)題意，化簡(jiǎn)可得x2+（y-1）2=4，根據(jù)圓心距可得兩圓的位置關(guān)系，即可得答案.(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心C（2，0），半徑為2．因?yàn)閘∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直線(xiàn)l的斜率為．設(shè)直線(xiàn)l的方程為x-y+m=0，則圓心C到直線(xiàn)l的距離為．因?yàn)?，而，所以，解得m=0或m=-4，所以直線(xiàn)l的方程為x-y=0或x-y-4=0．(2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），則，所以PA2+PB2=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．因?yàn)椋詧A（x-2）2+y2=4與圓x2+（y-1）2=4相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．B組能力提升1．設(shè)M為圓外一點(diǎn)，過(guò)M引圓的切線(xiàn)，兩切點(diǎn)分別為P和Q，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】作圖，利用圖中的幾何關(guān)系，運(yùn)用三角函數(shù)和向量數(shù)量積定義即可求解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，則，，在中，，則，解得，，，解得，；故選：A.2．在棱長(zhǎng)為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則AP的最大值為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】先證明平面，由條件確定點(diǎn)的軌跡，由此可求AP的最大值.【詳解】因?yàn)椋?平面，，所以，同理可證，又，，所以平面，設(shè)與平面相交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)槠矫妫运?，又，則，即點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，因?yàn)?，平面，所以，又為等邊三角形，?所以，所以AP的最大值為．故答案為：.3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，已知圓的直徑，定直線(xiàn)到圓心的距離為，且直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，點(diǎn)是圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)