圓的一般方程【核心知識精講精研】高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊　

2.4.2圓的一般方程第二章直線和圓的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解圓的一般方程的特點，會由一般方程求圓心和半徑．(重點)2．會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題．(重點)3．靈活選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的方程．(難點)

核心素養(yǎng)1．通過圓的一般方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助圓的一般方程的求解及其應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．問題引入圓的一般方程我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了曲線與方程的關(guān)系,也已經(jīng)認(rèn)識了直線方程的多種形式,剛剛學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,現(xiàn)給出一個二元二次方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F為常數(shù)),請問這個方程在什么條件下是一個圓的方程?新知探索圓的一般方程1.圓的一般方程一般地,如果平面直角坐標(biāo)系中☉C的圓心為C(a,b),半徑為r(r>0),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為展開化簡:即令則這就是圓的一般方程，滿足的條件為：新知探索圓的一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：即：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：所以必須滿足：圓的方程為時，它的圓心：半徑為：新知探索圓的一般方程的說明方程條件圖形x2＋y2+Dx+Ey+F=0D2＋E2-4F<0沒有圖形D2＋E2-4F=0表示一個點D2＋E2-4F>0表示圓對方程的說明：新知探索圓的一般方程的特征思考1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程有什么不同？思考2：求圓的一般方程實質(zhì)上是求圓的一般方程中的哪些量？只要求出一般方程中的D、E、F圓的方程就確定了．圓的一般方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征明顯．思考3：所有二元二次方程均表示圓嗎？不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0時才表示圓.[答案]

(1)√

(2)√

(3)×小試身手1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何一個圓的方程都能寫為一個二元二次方程． ()(2)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化． ()(3)方程表示圓心為，半徑為的圓． (1)正確．圓的方程都能寫成一個二元二次方程．(2)正確．圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程是可以互化的．(3)錯誤．當(dāng)，即時才表示圓．典例精析題型一：圓的一般方程的概念例1.若方程x2＋y2+2mx-2y＋m2+5m=0表示圓，求：(1)實數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑．寫成(x+m)2＋(y-1)2＝1-5m.(2)將方程x2＋y2+2mx-2y＋m2+5m=0解：(1)據(jù)題意知即解得：故m的取值范圍為故圓心坐標(biāo)為(－m,1)，半徑規(guī)律方法題型一：圓的一般方程的判斷形如的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：1．由圓的一般方程的定義令，成立則表示圓，否則不表示圓．2．將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．典例精析題型二：求圓的一般方程例2.圓C過點A(1,2)，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長為6，求圓C的方程．解：設(shè)所求圓的方程為∵圓過A(1,2)，B(3,4)，∴D＋2E＋F＝－5，①3D＋4E＋F＝－25.②令y＝0，得設(shè)圓C與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為則

即D2－4F＝36.③由①②③得D＝12，E＝－22，F(xiàn)＝27，或D＝－8，E＝－2，F(xiàn)＝7.故所求圓的方程為x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.規(guī)律方法應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程1．如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；2．如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).題型二：待定系數(shù)法求圓的方程典例精析例3.過點A(8,0)的直線與圓x2＋y2＝4交于點B，則AB中點P的軌跡方程為________.題型三：與圓有關(guān)求動點的軌跡方程解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，點B為，由題意，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化簡得(x－4)2＋y2＝1，則AB中點P的軌跡方程為(x－4)2＋y2＝1．典例精析例4.已知Rt△ABC中，A(－1,0)，B(3,0)．求：直角頂點C的軌跡方程．題型三：與圓有關(guān)求動點的軌跡方程解：(1)方法一：(直接法)設(shè)C(x，y)，則因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即化簡得x2＋y2－2x－3＝0.由于A、B、C不共線，所以y≠0.故頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二：(定義法)設(shè)線段AB的中點為D，則D(1,0)．由題意知.所以點C的軌跡是以D為圓心，以2為半徑的圓，其方程為(x－1)2＋y2＝4.由于直角頂點C不在直線AB上，所以y≠0.故頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

規(guī)律方法題型三：求與圓有關(guān)的軌跡方法求與圓有關(guān)的軌跡的方法1．直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；2．定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；3．幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．跟蹤練習(xí)解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝5，則圓心坐標(biāo)為(1，－2)，∵直線2x＋y＋m＝0過x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心．∴2－2＋m＝0得m＝0．故選D.1.若直線2x＋y＋m＝0過圓x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心，則m的值為()A．2

B．－1

C．－2

D．0跟蹤練習(xí)2.(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,1]解析:(1)因為x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則16+4-4×5k>0,所以k<1.故選A.(2)當(dāng)圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面積最小時,m的取值是(

)A.4 B.3C.2 D.1(2)∵圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0,∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,從而對于圓C的半徑r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以當(dāng)m=1時,r2取得最小值,從而圓C的面積πr2在m=1時取得最小值.故選D.跟蹤練習(xí)3.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解:(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得解得∴△ABC外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0,跟蹤練習(xí)3.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解:(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0,∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.跟蹤練習(xí)4.已知點P在圓C:x2+y2-8x-6y+21=0上運動,求線段OP的中點M的軌跡方程.解：設(shè)點