數(shù)學(xué)模型總結(jié)

【數(shù)學(xué)建?！繑?shù)學(xué)模型總結(jié)四類基本型1優(yōu)化型數(shù)規(guī)模線性規(guī)劃、整數(shù)線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃。微方組型阻滯增長模型、傳播模型。圖與絡(luò)化題最短路徑問題、網(wǎng)絡(luò)最大流問題、最小費用最大流問題、最小生成樹問題、旅行商問題(TSP)、圖的著色問題。概模決策模型、隨機存儲模型、隨機人口模型、報童問題、鏈模型。組優(yōu)經(jīng)問維包題(MKP)背包問題個物品，對物i，體積w，背包容量為W。如何將盡可能i多的物品裝入背包。多維背包問題：物品對物i價值為體積背包容量W。ii如何選取物品裝入背包，是背包中物品的總價值最大。多維背包問題在實際中的應(yīng)用有：資源分配、貨物裝載和存儲分配等問題。該問題屬于問題。維派題(工作指派問題個工作可以工人分別完成工i成工作j的時間。如何安排使總工作時間最小。ij二維指派問題（常以機器布局問題為例機器要布置在個地方，機i與間的物流量為位置jl之間的距離d如何布置使費用最小。ikjl二維指派問題在實際中的應(yīng)用有校園建筑物的布局醫(yī)院科室的安排成組技術(shù)中加工中心的組成問題等。行問(旅行商問題：有個城市，城ij間的距離為d，找一條經(jīng)過個城ij市的巡回（每個城市經(jīng)過且只經(jīng)過一次，最后回到出發(fā)點得總路程最小。輛徑題(車輛路徑問題（也稱車輛計劃已知個客戶的位置坐標(biāo)和貨物需求，在1

p(1)(2)0【數(shù)學(xué)建模】數(shù)學(xué)模型總結(jié)p(1)(2)0可供使用車輛數(shù)量及運載能力條件的約束下每輛車都從起點出發(fā)完成若干客戶點的運送任務(wù)后再回到起點要求以最少的車輛數(shù)最小的車輛總行程完成貨物的派送任務(wù)。問題是VRP問題的特例。間業(yè)度題(車間調(diào)度問題：存在j個作m臺機器，每個工作由一系列操作組成，操作的執(zhí)行次序遵循嚴格的串行順序特定的時間每個操作需要一臺特定的機器完成每臺機器在同一時刻不能同時完成不同的工作同一時刻同一工作的各個操作不能并發(fā)執(zhí)行何求得從第一個操作開始到最后一個操作結(jié)束的最小時間間隔。2分類型判別分析是在已知研究對象分成若干類型并已經(jīng)取得各種類型的一批已知樣本的觀測數(shù)據(jù)在此基礎(chǔ)上根據(jù)某些準(zhǔn)則建立判別式然后對未知類型的樣品進行判別分析。聚類分析則是給定的一批樣品要劃分的類型實現(xiàn)并不知道正需要通過局內(nèi)分析來給以確定類型的。判分離別基本思想：首先根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計算各類的重心即分組類)的均值，判別準(zhǔn)則是對任給的一次觀測，若它與i類的重心距離最近，就認為它來自i類。至于距離的測定可以根據(jù)實際需要采用歐氏距離馬氏距離明科夫距離等。判法基本思想從兩個總體中抽取具有個指標(biāo)的樣品觀測數(shù)據(jù)借助方差分析的思想構(gòu)造一個判別函數(shù)或稱判別式y(tǒng)。其中系確定的原則是使兩iiii組間的區(qū)別最大，而使每個組內(nèi)部的離差最小。對于一個新的樣品，將它的p指標(biāo)值代人判別式中求出y值，然后與判別臨界值(或稱分界點(后面給出)進行比較就以判別它應(yīng)屬于哪一個總體在兩個總體先驗概率相等的假設(shè)下，判別臨界值一般?。簓y121最后用統(tǒng)計量來檢驗判別效果若則認為判別有效否則判別無效。以上描述的是兩總體判別，至于多總體判別方法則需要加以擴展。Fisher別法隨著總體數(shù)的增加立的判別式也增加而計算比較復(fù)雜。判別2

jj【數(shù)學(xué)建?！繑?shù)學(xué)模型總結(jié)jj基本思想：假定對所研究的對象有一定的認識，即假設(shè)個總體中，i個總G的先驗概率率密度函數(shù)為f()用公式計算觀測樣品Xiiiqf(x)來自第j個總體的后驗概率p(G/)(G/(p)jkhjqf(xjkii時，將樣本X為總。h步別

i基本思想與逐步回歸法類似，采用“有進有出”的算法，逐步引入變量，每次引入一個變量進入判別式同時考慮在較早引入判別式的某些作用不顯著的變量剔除出去。聚分聚類分析是一種無監(jiān)督的分類方法，即不預(yù)先指定類別。根據(jù)分類對象不同類分析可以分為樣本聚型變量聚R樣本聚類是針對觀測樣本進行分類變量聚類則是試圖找出彼此獨立且有代表性的自變量，而又不丟失大部分信息。變量聚類是一種降維的方法。統(tǒng)類（層類）基本思想開始將每個樣本自成一類然后求兩兩之間的距離將距離最近的兩類合成一類；如此重復(fù)，直到所有樣本都合為一類為止。適用范圍既適用于樣本聚類也適用于變量聚類并且距離分類準(zhǔn)則和距離計算方法都有多種，可以依據(jù)具體情形選擇。速類（K-均聚法基本思想：按照指定分類數(shù)目n，選擇n個初始聚類中心(i,ni計算每個觀測（樣本到各個聚類中心的距離按照就近原則將其分別分到放入各類中；重新計算聚類中心，繼續(xù)以上步驟；滿足停止條件時（如最大迭代次數(shù)等）則停止。使用范圍：要求用戶給定分類數(shù)目只適用于樣本聚類（Q型適用于變量聚類（R型步類（能類法基本思想：先進行預(yù)聚類，然后再進行正式聚類。適用范圍屬于智能聚類方法用于解決海量數(shù)據(jù)或者具有復(fù)雜類別結(jié)構(gòu)的聚類分析問題可以同時處理離散和連續(xù)變量自動選擇聚類數(shù)可以處理超大樣本量的數(shù)據(jù)。糊類析遺算、經(jīng)絡(luò)灰理聯(lián)的類法神網(wǎng)分方3評價型3

【數(shù)學(xué)建?！繑?shù)學(xué)模型總結(jié)層分法(AHP)基本思想是定性與定量相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策評價方法將決策的有關(guān)元素分解成目標(biāo)層準(zhǔn)則層和方案層并通過人們的判斷對決策方案的優(yōu)劣進行排序，在此基礎(chǔ)上進行定性和定量分析。它把人的思維過程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)為分析、決策、評價、預(yù)報和控制提供定量的依據(jù)?；静襟E構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建成對比較矩陣層次單排序及一致性檢驗（即判斷主觀構(gòu)建的成對比較矩陣在整體上是否有較好的一致性層次總排序及一致性檢驗（檢驗層次之間的一致性優(yōu)點它完全依靠主觀評價做出方案的優(yōu)劣排序所需數(shù)據(jù)量少決策花費的時間很短。從整體上看，AHP在復(fù)雜決策過程中引入定量分析，并充分利用決策者在兩兩比較中給出的偏好信息進行分析與決策支持有效地吸收了定性分析的結(jié)果又發(fā)揮了定量分析的優(yōu)勢從而使決策過程具有很強的條理性和科學(xué)性，特別適合在社會經(jīng)濟系統(tǒng)的決策分析中使用。缺點：用AHP進行決策主觀成分很大。當(dāng)決策者的判斷過多地受其主觀偏好影響，而產(chǎn)生某種對客觀規(guī)律的歪曲時，AHP的結(jié)果顯然就靠不住了。適用范圍尤其適合于人的定性判斷起重要作用的對決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計量的場合。要使AHP的決策結(jié)論盡可能符合客觀規(guī)律，決策者必須對所面臨的問題有比較深入和全面的認識另外當(dāng)遇到因素眾多規(guī)模較大的評價問題時該模型容易出現(xiàn)問題它要求評價者對問題的本質(zhì)包含的要素及其相互之間的邏輯關(guān)系能掌握得十分透徹，否則評價結(jié)果就不可靠和準(zhǔn)確。改進方法：(1)成對比較矩陣可以采用德爾菲法獲得。(2)如果評價指標(biāo)個數(shù)過多（一般超過9個用層次分析法所得到的權(quán)重就有一定的偏差，繼而組合評價模型的結(jié)果就不再可靠?？梢愿鶕?jù)評價對象的實際情況和特點利用一定的方法各原始指標(biāo)分層和歸類，使得每層各類中的指標(biāo)數(shù)少于9?；揖C評法灰關(guān)度析基本思想灰色關(guān)聯(lián)分析的實質(zhì)就是可利用各方案與最優(yōu)方案之間關(guān)聯(lián)度大小對評價對象進行比較排序關(guān)聯(lián)度越大說明比較序列與參考序列變化的態(tài)勢越一致，反之，變化態(tài)勢則相悖。由此可得出評價結(jié)果。基本步驟建立原始指標(biāo)矩陣確定最優(yōu)指標(biāo)序列進行指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化或無量綱化處理；求差序列、最大差和最小差；計算關(guān)聯(lián)系數(shù)；計算關(guān)聯(lián)度。優(yōu)點是一種評價具有大量未知信息的系統(tǒng)的有效模型是定性分析和定量分析相結(jié)合的綜合評價模型模型可以較好地解決評價指標(biāo)難以準(zhǔn)確量化和統(tǒng)計的問題可以排除人為因素帶來的影響使評價結(jié)果更加客觀準(zhǔn)確整個計算過程簡單，通俗易懂，易于為人們所掌握;數(shù)據(jù)不必進行歸一化處理，可用原始數(shù)據(jù)進行直接計算可靠性強評價指標(biāo)體系可以根據(jù)具體情況增減無需大量樣本，只要有代表性的少量樣本即可。缺點求樣本數(shù)據(jù)且具有時間序列特性對評判對象的優(yōu)劣做出鑒別，并不反映絕對水平故基于灰色關(guān)聯(lián)分析綜合評價具“相對評價全部缺點。適用范圍對樣本量沒有嚴格要求不要求服從任何分布適合只有少量觀測數(shù)據(jù)的問題應(yīng)用該種方法進行評價時指標(biāo)體系及權(quán)重分配是一個關(guān)鍵的問4

【數(shù)學(xué)建?！繑?shù)學(xué)模型總結(jié)題，選擇的恰當(dāng)與否直接影響最終評價結(jié)果。改進方法：(1)采用組合賦權(quán)法：根據(jù)客觀賦權(quán)法和主觀賦權(quán)法綜合而得權(quán)系數(shù)。(2)結(jié)合TOPSIS法：不僅關(guān)注序列與正理想序列的關(guān)聯(lián)

，而且關(guān)注序列與負理想序列的關(guān)聯(lián)

，依據(jù)公

計算最后的關(guān)聯(lián)度。模綜評法基本思想是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理將一些邊界不清不易定量的因素定量化多個因素對被評價事物隸屬等（或稱為評語集）狀況進行綜合性評價的一種方法合評判對評判對象的全體據(jù)所給的條件，給每個對象賦予一個非負實數(shù)評判指標(biāo)，再據(jù)此排序擇優(yōu)?；静襟E：確定因素集、評語集；構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣；確定指標(biāo)權(quán)重；進行模糊合成和做出評價。優(yōu)點：:學(xué)模型簡單，容易掌握，對多因素、多層次的復(fù)雜問題評判效果較好模糊評判模型不僅可對評價對象按綜合分值的大小進行評價和排序而且還可根據(jù)模糊評價集上的值按最大隸屬度原則去評定對象所屬的等級果包含的信息量豐富評判逐對進行對被評對象有唯一的評價值不受被評價對象所處對象集合的影響接近于東方人的思維習(xí)慣和描述方法因此它更適用于對社會經(jīng)濟系統(tǒng)問題進行評價。缺點并不能解決評價指標(biāo)間相關(guān)造成的評價信息重復(fù)問題隸屬函數(shù)的確定還沒有系統(tǒng)的方法而且合成的算法也有待進一步探討其評價過程大量運用了人的主觀判斷，由于各因素權(quán)重的確定帶有一定的主觀性，因此，總的來說，模糊綜合評判是一種基于主觀信息的綜合評價方法。應(yīng)用范圍廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟管理等領(lǐng)域綜合評價結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性依賴于合理選取因素、因素的權(quán)重分配和綜合評價的合成算子等。改進方法：(1)采用組合賦權(quán)法：根據(jù)客觀賦權(quán)法和主觀賦權(quán)法綜合而得權(quán)系數(shù)。經(jīng)絡(luò)合價基本思想是一種交互式的評價方法它可以根據(jù)用戶期望的輸出不斷修改指標(biāo)的權(quán)值，直到用戶滿意為止。因此，一般來說，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價方法得到的結(jié)果會更符合實際情況。優(yōu)點神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自適應(yīng)能力能對多指標(biāo)綜合評價問題給出一個客觀評價這對于弱化權(quán)重確定中的人為因素是十分有益的在以前的評價方法中傳統(tǒng)的權(quán)重設(shè)計帶有很大的模糊性同時權(quán)重確定中人為因素影響也很大隨著時間空間的推移各指標(biāo)對其對應(yīng)問題的影響程度也可能發(fā)生變化確定的初始權(quán)重不一定符合實際情況再者考慮到整個分析評價是一個復(fù)雜的非線性大系統(tǒng)必須建立權(quán)重的學(xué)習(xí)機制這些方面正是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢所在針對綜合評價建模過程中變量選取方法的局限性用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理可對變量進行貢獻分析進而剔除影響不顯著和不重要的因素以建立簡化模型可以避免主觀因素對變量選取的干擾。5

【數(shù)學(xué)建模】數(shù)學(xué)模型總結(jié)缺點：ANN在應(yīng)用中遇到的最大問題是不能提供解析表達式值不能解釋為一種回歸系數(shù)不能用來分析因果關(guān)系前還不能從理論上或從實際出發(fā)來解釋ANN的權(quán)值的意義。需要大量的訓(xùn)練樣本，精度不高，應(yīng)用范圍是有限的最大的應(yīng)用障礙是評價算法的復(fù)雜性人們只能借助計算機進行處理而這方面的商品化軟件還不夠成熟。適用范圍經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價模型具有自適應(yīng)能力錯性處理非線性、非局域性的大型復(fù)雜系統(tǒng)對學(xué)習(xí)樣本訓(xùn)練中需考慮輸入因子之間的權(quán)系數(shù)，ANN通過輸入值與期望值之間的誤差比較，沿原連接權(quán)自動地進行調(diào)節(jié)和適應(yīng)，因此該方法體現(xiàn)了因子之間的相互作用。改進方法：用組合評價法：對用其它評價方法得出的結(jié)果，選取一部分作為訓(xùn)練樣本一部分作為待測樣本進行檢驗如此對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練知道滿足要求為止，可得到更好的效果。3.5數(shù)包法(DEA)3.6組評法4預(yù)測模型定性研究與定量研究的結(jié)合的預(yù)測的發(fā)展趨勢際預(yù)測工作中，應(yīng)該將定性預(yù)測和定量預(yù)測結(jié)合起來使用，即在對系統(tǒng)做出正確分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)定量預(yù)測得出的量化指標(biāo)，對系統(tǒng)未來走勢做出判斷。4.1回分法基本思想據(jù)歷史數(shù)據(jù)的變化規(guī)律找自變量與因變量之間的回歸方程式，確定模型參數(shù)，據(jù)此預(yù)測?；貧w問題分為一元和多元回歸、線性和非線性回歸。特點：技術(shù)比較成熟，預(yù)測過程簡單；將預(yù)測對象的影響因素分解，考察各因素的變化情況從而估計預(yù)測對象未來的數(shù)量狀態(tài)回歸模型誤差較大外推特性差。適用范圍歸分析法一般適用于中期預(yù)測歸分析法要求樣本量大且要求樣本有較好的分布規(guī)律預(yù)測的長度大于占有的原始數(shù)據(jù)長度時用該方法進行預(yù)測在理論上不能保證預(yù)測結(jié)果的精度外能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的現(xiàn)象，有時難以找到合適的回歸方程類型。4.2時序分法基本思想預(yù)測對象的歷史數(shù)據(jù)按一定的時間間隔進行排列成一個隨時間變化的統(tǒng)計序列立相應(yīng)的數(shù)據(jù)隨時間變化的變化模型將該模型外推到未來進行預(yù)測。適用范圍方法有效的前提是過去的發(fā)展模式會延續(xù)到未來而這種方法對短期預(yù)測效果比較好而不適合作中長期預(yù)測一般來說若影響預(yù)測對象6

【數(shù)學(xué)建?！繑?shù)學(xué)模型總結(jié)變化各因素不發(fā)生突變利用時間序列分析方法能得到較好的預(yù)測結(jié)果若這些因素發(fā)生突變，時間序列法的預(yù)測結(jié)果將受到一定的影響?；疑A(yù)測法基本思想將一切隨機變量看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色變量不是從統(tǒng)計規(guī)律角度出發(fā)進行大樣本分析研究，而是利用數(shù)據(jù)處理方法(數(shù)據(jù)生成與還原)將雜亂無章的原始數(shù)據(jù)整理成規(guī)律性較強的生成數(shù)據(jù)來加以研究，即灰色系統(tǒng)理論建立的不是原始數(shù)據(jù)模型，而是生成數(shù)據(jù)模型。適用范圍測模型是一個指數(shù)函數(shù)待測量是以某一指數(shù)規(guī)律發(fā)展的，則可望得到較高精度的預(yù)測結(jié)果影響模型預(yù)測精度及其適應(yīng)性的關(guān)鍵因素是模型中背景值的構(gòu)造及預(yù)測公式中初值的選取。經(jīng)絡(luò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論有表示任意非線性關(guān)系和學(xué)習(xí)等的能力解決很多具有復(fù)雜的不確定性和時變性的實際問題提供了新思想和新方法。利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)功能用大量樣本對神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練調(diào)整其連接權(quán)值和閉值然后可以利用已確定的模型進行預(yù)測神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能從數(shù)據(jù)樣本中自動地學(xué)習(xí)以前的經(jīng)驗而無需繁復(fù)的查詢和表述過程自動地逼近那些最佳刻畫了樣本數(shù)據(jù)規(guī)律的函數(shù)而不論這些函數(shù)具有怎樣的形式且所考慮的系統(tǒng)表現(xiàn)的函數(shù)形式越復(fù)雜，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種特性的作用就越明顯。誤差反向傳播算(算法)的基本思想是通過網(wǎng)絡(luò)誤差的反向傳播，調(diào)整和修改網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值和閉值使誤差達到最小其學(xué)習(xí)過程包括前向計算和誤差反向傳播它利用一個簡單的三層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型就能實現(xiàn)從輸入到輸出之間任何復(fù)雜的非線性映射關(guān)系前網(wǎng)絡(luò)模型已成功地應(yīng)用于許多領(lǐng)域，諸如經(jīng)濟預(yù)測、財政分析、貸款抵押評估和破產(chǎn)預(yù)測等許多經(jīng)濟領(lǐng)域。優(yōu)點以在不同程度和層次上模仿人腦神經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及信息處理和檢索等功能對大量非結(jié)構(gòu)性精確性規(guī)律具有極強的自適應(yīng)功能具有信息記憶、自主學(xué)習(xí)知識推理和優(yōu)化計算等特點其自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)功能是常規(guī)算法和專家系統(tǒng)技術(shù)所不具備的時在一定程度上克服了由于隨