原子的量子態(tài)

原子的量子態(tài)第一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§２.1背景知識

經(jīng)典力學、經(jīng)典電磁場理論、經(jīng)典統(tǒng)計力學（1）“紫外災難”，經(jīng)典理論得出的瑞利－金斯公式，在高頻部分趨于無窮。（2）“以太漂移”，邁克爾遜－莫雷實驗表明，不存在以太。在物理學晴朗天空的遠處還有兩朵小小的、令人不安的烏云兩大困惑：“夸克禁閉”和“對稱性破缺

”十九世紀末二十世紀初物理學的發(fā)展取得極大的成就，描述宏觀物體運動規(guī)律的經(jīng)典力學、經(jīng)典電磁場理論以及統(tǒng)計力學已發(fā)展成熟。正是這兩朵小小的、令人不安的烏云導致整個近代物理學的誕生。

歷史往往有驚人的相似之處，正如楊振寧先生所說：二十世紀末二十一世紀初的今天，物理學也有兩大困惑：近代物理學也需要革命?。?！第二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五一、量子假說根據(jù)之一：黑體輻射黑體：能完全吸收各種波長電磁波而無反射的物體。且只與溫度有關，而和材料及表面狀態(tài)無關。1、基爾霍夫定律任何物體的輻射在同一溫度下的輻射本領和吸收本領成正比，問題：在實驗中如何測能量譜密度（，T）2、斯特藩定律黑體輻射的總本領與它的絕對溫度的四次方成正比實際上不存在“絕對黑體”，但有些物體可以看作黑體第三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五３、維恩定律－輻射能量分布定律

維恩位移律4、瑞利－金斯定律和紫外災難

從經(jīng)典能量按自由度均分定律第四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五５、普朗克的量子假說

對一定頻率的電磁波，物體只能以h為單位吸收或發(fā)射它，即吸收或發(fā)射電磁波只能以“量子”方式進行，每一份能量叫一能量子。h=6.6260755×10－34J·s

1900年10月19日，基爾霍夫的學生普朗克，在德國物理學會會議上提出了一個黑體輻射能量密度的分布公式：

這個公式是普朗克為了湊合實驗數(shù)據(jù)而猜出來的。當h>>kT時，它和維恩公式有完全一樣的形式；當h<<kT時，它又和瑞利－金斯公式一致，并經(jīng)過驗證和當時的實驗結果很好地符合。普朗克決定給公式一個合理的理論解釋，為此提出了能量子的概念。第五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五二、量子假說根據(jù)之二：光電效應（一）光電效應的實驗規(guī)律ab-V0OVI２、截止頻率或紅限頻率

１、遏止電勢－與入射光強無關－光電子的最大能量與光強無關OV0υoυ

只有當入射光頻率大于一定的頻率o時，才會產生光電效應第六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五3、馳豫時間－當>o，光一照上，幾乎立刻（<10－９s）觀測到光電子（二）光電效應的經(jīng)典解釋矛盾二：經(jīng)典的決定光電子能量是光強，光電效應的大于一定的頻率o時，才會產生光電效應。矛盾一：經(jīng)典的W－It，光電效應的W與光強無關矛盾三：經(jīng)典的馳豫時間50min，光電效應的不超過10－９s

只有當入射光頻率大于一定的頻率o時，才會產生光電效應

。光電子的能量只與光的頻率有關，與光強無關，光頻率越高，光電子能量越大。其中：W—入射光的能量；A—電子在金屬中的結合能（或電子的脫出功）第七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五愛因斯坦公式（三）光電效應的量子解釋輻射場是由光量子（光子）組成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有動量。2、遏止電勢與頻率成線性關系1、光電子獲得能量與光強無關，與頻率有關OV0υoυab-V0OVI3、當入射光頻率大于頻率o時，才會產生光電效應第八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五三、光譜的一般知識

（一）光譜光譜是電磁輻射（不論在可見區(qū)或在可見區(qū)外）的波長成分和強度分布的記錄；有時只是波長成分的記錄。光譜是研究原子結構的重要途徑之一。（二）光譜儀光譜儀：能將混合光按不同波長成分展開，把不同成分的強度記錄下來的儀器。

光譜儀的組成：光源、分光器、記錄儀，若裝有照相設備，則稱為攝譜儀。

不同波長的光線會聚在屏上的不同位置，因此譜線的位置就嚴格地與波長的長短相對應。（三）光譜的類別按波長分：紅外光譜、可見光譜、紫外光譜(波長減小，頻率增加)按產生分：原子光譜、分子光譜；按形狀分：線狀光譜、帶狀光譜和連續(xù)光譜第九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五（四）氫原子光譜的實驗規(guī)律人們很早就發(fā)現(xiàn)氫原子光譜在可見光區(qū)和近紫外區(qū)有很多譜線，構成一個很有規(guī)律的系統(tǒng)。譜線的間隔和強度都向短波方向遞減。其中四條譜線的波長為：

H線：6562.10?(紅色)

H線：4860.74?

（深綠）

H線：4340.10?

（青）

H線：4101.20?

（紫）第十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五（五）巴耳末經(jīng)驗公式

巴耳末（J.J.Balmer）的經(jīng)驗公式：在1885年,人們已經(jīng)觀測到氫原子光譜線達14條.第十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五如果取:則公式變?yōu)?n=3,4,5,…式中:RH=4/B,稱為里德伯常數(shù)RH=1.0967758×107m-1當1)、波長遵守巴耳末公式的這一系列譜線稱為巴耳末線系2)、波長間隔沿短波方向遞減3)、譜線系的系限，譜線系中最短的波長討論：第十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五（五）氫原子光譜的實驗規(guī)律

里德伯公式是一個普遍適用的方程，氫原子的所有譜線都可用這個公式來表示，其中RH=4/B，稱為里德伯常數(shù)，在此也是一個經(jīng)驗參數(shù)。式中m=1,2,3,…;對于每一個m,有n=m+1,m+2,m+3,…構成一個譜線系。

1889年，瑞典物理學家里德伯（J.R.Rydberg,1854-1919）提出：第十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五

m=1,n=2,3,4,…,此譜線系處于紫外區(qū)，1914年由T.Lyman發(fā)現(xiàn)，稱為賴曼系。

m=2,n=3,4,5,…,此譜線系處于可見光區(qū)，稱為巴爾末系。

m=3,n=4,5,6,…,此譜線系處于紅外區(qū)，1908年由F.Peschen發(fā)現(xiàn)，稱為帕邢系。

m=4,n=5,6,7,…,此譜線系處于紅外區(qū)，1922年由F.Brackett發(fā)現(xiàn)，稱為布喇開系。

m=5,n=6,7,8,…,此譜線系處于紅外區(qū)，1924年由H.A.Pfund發(fā)現(xiàn)，稱為普豐特系。第十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五結論：（1）氫光譜中任何一條譜線的波數(shù)，都可以寫成兩個整數(shù)決定的函數(shù)之差。（2）取m一定的值，n>m，可得到同一線系中各光譜的波數(shù)值。（3）改變公式中的m值，就可得到不同的線系。第十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五（六）光譜項，并合原則

里德伯公式準確地表述了氫原子光譜線系，而且其規(guī)律簡單而明顯，這就說明它深刻地反映了氫原子內在的規(guī)律性。最明顯的一點是，氫原子發(fā)射的任何一條譜線的波數(shù)都可以表示成兩項之差，即：其中，每一項都是正整數(shù)的函數(shù)，并且兩項的形式一樣。若我們用T來表示這些項值，則有

由上式可見，氫原子光譜的任何一條譜線，都可以表示成兩個光譜項之差。第十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五綜上所述，氫原子光譜有如下規(guī)律：（1）譜線的波數(shù)由兩個光譜項之差決定：（2）當m保持定值，n取大于m的正整數(shù)時，可給出同一光譜系的各條譜線的波數(shù)。（3）改變m數(shù)值，可給出不同的光譜線系。以后將會看到，這三條規(guī)律對所有原子光譜都適用，所不同的只是各原子的光譜項的具體形式各有不同而已。第十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§２.2玻爾模型一、經(jīng)典軌道和定態(tài)條件

氫原子中原子核帶有一個單元的正電，外邊有一個電子帶一個單元的負電荷，原子核和電子之間有庫侖力。因為氫原子核的質量比電子大1836倍，它們之間的相對運動可以近似看做只是電子繞原子核運動，原子核不動。由牛頓第二定律：

1、電子在原子核的庫侖場中的運動電子和原子核體系的相互作用勢能為：其中K是時的勢能，如果取時勢能為K=0則：電子繞原子核做圓周運動的動能為：第十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五電子軌道運動的頻率：則原子的能量為：大，有公式有：1）大。2）體系的能量出現(xiàn)負值是由于把時勢能為K=0的結果。3）公式只表示體系的能量E和電子運動的軌道半徑r的關系，對兩者沒有任何限制。2、經(jīng)典理論的困難

按照經(jīng)典電動力學我們知，當帶電粒子有加速度時，就會產生電磁輻射，發(fā)射的電磁輻射的頻率等于輻射體運動的頻率。原子中電子的軌道運動具有向心加速度，它就應連續(xù)輻射，由此推出：第十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五1）如果原子連續(xù)輻射，體系的能量就逐漸降低

由于體系的能量逐漸降低，電子運動的軌道半徑就連續(xù)地減少，這樣繼續(xù)下去，電子軌道將縮小到原子核為止。這樣可推出：原有原子都會變成原子核那么大，即半徑為10-15m數(shù)量級，才成為穩(wěn)定不變的。實驗測得：原子的半徑都是10-10m數(shù)量級所以，由經(jīng)典理論推出的結論與實驗不符合。2）由電動力學有，原子所發(fā)光的頻率等于原子中電子運動的頻率，由于電子繞核作圓周運動具有向心加速度，產生電磁輻射，體系的能量將不斷減少，電子運動的軌道半徑將連續(xù)減少，因而軌道運動的頻率連續(xù)增大，則所發(fā)光的頻率連續(xù)增大。實驗表明：原子光譜的譜線是分立的，代表一些分隔而有有一定數(shù)值的頻率。由此可見：利用經(jīng)典物理的理論無法解釋原子光譜的規(guī)律。第二十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五3、玻爾氫原子理論的提出

從各種實驗已證實原子的半徑是10-10m的數(shù)量級，所以電子軌道的半徑不會縮小到原子核那么大，電子一定在具有10-10m的數(shù)量級的半徑那樣的穩(wěn)定軌道上運動。

玻爾根據(jù)當時公認正確的量子論：即光能量總是一個單元的整數(shù)倍，而每一個單元是hv,這里v是光的頻率，h是普朗克常數(shù)。根據(jù)氫原子光譜的經(jīng)驗公式：m,n是整數(shù)公式兩邊同乘以hc則有：第二十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五式中:每次發(fā)射光的能量原子在輻射前后的能量之差如果原子在輻射前的能量是E2,經(jīng)輻射后能量變?yōu)镋1E1<E2則放出的能量為:如果原子的能量仍取負值,則有:第二十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五二、頻率條件

能量只與一個整數(shù)n有關

能量只能取一定的分立值在某一狀態(tài)上，無論電子有無加速度，其能量都是一定的

定態(tài)再進一步能量量子化

軌道半徑r是量子化的

分立的值rn

角動量

是量子化的。第二十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)原子體系的能量公式：則有電子運動的半徑：對于氫原子：Z=1，則有式中：n是整數(shù)，其余均為常數(shù)。由此可見：與能量聯(lián)系的電子軌道也是分隔的，它的半徑有一定的數(shù)值，不能連續(xù)變化。第二十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五在玻爾引入原子輻射的光的能量是量子化后，得到：1）、氫原子中的電子只能在一定大小的、彼此分隔的一系列軌道上運動；電子在每一個這樣的軌道上運動時，原子具有一定能量。2）、如果氫原子中的電子從一個大的軌道運動跳到小軌道上運動，原子的能量就從大到小，多余的能量就放出成為一個光子的能量。上述分別表達了存在于氫原子中的電子軌道的大小和相應的能量的數(shù)值，它們都與實驗值R相聯(lián)系，只是半經(jīng)驗公式，需要進一步推究到與原子內部運動相關的物理量的關系。玻爾根據(jù)上述實驗事實，提出原子中電子運動軌道必須如下量子化條件：式中：電子運動的動量電子運動的角動量如果取:則有:第二十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五三、角動量量子化

玻爾的這幾個假設是否正確？只有通過實驗檢驗。第二十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五四、氫原子的能級、半徑電子的軌道半徑只能是a1,4a1,9a1等玻爾半徑的整數(shù)倍，即軌道半徑是量子化的.玻爾理論的一個成功之處

處于定態(tài)時原子所允許的能量值。能量是量子化的實驗測得，氫原子的電離電勢為13.6V.實際上，理論和實驗符合,這是玻爾理論的又一成功之處。第二十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五由氫原子的能量可以求得波數(shù)對于氫原子:Z=1,則有里德伯常數(shù):取:則有:實驗值為:說明:1)、里德伯常數(shù)的實驗值和理論值很好地符合2）、波數(shù)的理論公式和前面總結的經(jīng)驗公式一致，理論圓滿解釋了實驗事實，它對原子內部結構情況的揭示取得了成功。3）、里德伯常數(shù)的實驗值和理論值存在微小差別，這種差別不是實驗誤差所致，還需進一步的理論解釋。第二十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五氫原子的軌道和能級即軌道半徑是量子化的,能量是量子化的.第二十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五說明:1).二圖中每一個能級和軌道的對應關系以同一量子數(shù)n表示出來。2）鄰近軌道的間隔隨n的增加而增加，而鄰近能級的間距隨n的增加而減少，最后趨近于0。3）圖中所劃的軌道是可能的軌道，能級是可能的能級。4）在任何一個時刻，一個原子中實現(xiàn)的只是一個軌道的電子運動，這個原子只具有與這個運動對應的一個數(shù)值的能量，即只是一個能級。5）電子從某一個軌道跳到另一個軌道稱為躍遷，也可以說原子從前一個狀態(tài)躍遷到后一個狀態(tài)。6）在進行實驗時，實際觀測的是大量原子，各種軌道的電子運動可以在不同的原子中分別實現(xiàn)，相應的各種能級在不同的原子上同時存在，各種軌道間的躍遷，可以在不同的原子中發(fā)生。7）躍遷的間隔大，所發(fā)光的波長就短，但隨躍遷間隔的增加，每次的能量增加量逐漸減少，趨于零。所以在每一譜線系中譜線的間隔，向短波方向遞減。第三十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五五、非量子化的狀態(tài)與連續(xù)譜在前面的討論中，我們把時的勢能定作0，則量子化的能級是負的，最大的量子化能量是0。那么有沒有能量是正的情況？

實驗發(fā)現(xiàn)在Balmer系的系限之外接著有一個連續(xù)帶，這是一些具有正的能量的原子產生的。

當有些電子離原子核很遠時，其動能為：這時相互作用勢能：則體系的總能量為：

當這電子向原子核接近時，它走的路徑按力學是一個雙曲線的一支，軌道不是閉合的。在軌道上任何一點的能量等于電子離原子核很遠時的能量（運動過程中能量守恒）第三十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五這時能量不是量子化的，可以是任何正值。

電子從這個非量子化軌道躍遷到另一個量子化的軌道，原子發(fā)射一個光子，其能量是：公式中：第一項可以是大于0的任何正值第二項相當于一個譜系限的能量

所以發(fā)光的頻率是連續(xù)變化的，它的數(shù)值從譜系限起向上增加，則這連續(xù)帶從譜系限起向短波方向延伸。第三十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五六、玻爾理論中的普遍規(guī)律玻爾理論是建立在物理學三方面的進展的基礎上：1）光譜的實驗資料和經(jīng)驗公式2）原子的核式結構模型3）量子論玻爾理論不僅成功解釋了氫原子的光譜規(guī)律，且具有普遍的意義。1）原子只能較長久地停留在一些穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)），原子在這些狀態(tài)時，不發(fā)出或吸收能量，各個定態(tài)有一定的能量，其數(shù)值彼此分隔。原子的能量不論通過什么方式發(fā)生改變，只能使原子從一個定態(tài)躍遷到另一個定態(tài)。2）原子從一個定態(tài)躍遷到另一個定態(tài)而發(fā)射或吸收輻射時，輻射的頻率一定。輻射的頻率決定于下式：第一條是原子的量子化的定態(tài)的陳述，第二條是輻射的頻率法則。第三十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§２.3實驗驗證之一一、氫原子光譜玻爾的氫原子理論成功的給出了里德伯常數(shù)的表達式和數(shù)值，這是玻爾理論的成功之三。而里德伯公式能成功地解釋氫光譜，也就是說玻爾理論在處理氫原子問題上是成功的，這是玻爾理論的成功之四。里德伯常數(shù)的理論和實驗存在微小差別，這種差別不是實驗誤差所致，還須進一步的理論解釋。（理論）（實驗）第三十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五玻爾理論的最主要成功之處是：（1）它從理論上滿意地解釋了氫光譜的經(jīng)驗規(guī)律—里德伯公式。（2）它用已知的物理量計算出了里德伯常數(shù)，而且和實驗值符合得較好。（3）它較成功地給出了氫原子半徑的數(shù)據(jù)。（4）它定量地給出了氫原子的電離能。第三十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五二、類氫離子的光譜1、類氫離子原子核外邊只有一個電子，而原子核帶有大于一個單元的正電荷的體系。如：一次電離的氦離子He+二次電離的鋰離子Li++三次電離的鈹離子Be+++2、類氫離子光譜的具體例子1）畢克林系

1897年天文學家畢克林（Pickering）在船艣座星的光譜中發(fā)現(xiàn)了一個很象Balmer的譜線。規(guī)律如下：（1）、Pickering系中每隔一個譜線和Balmer系的譜線差不多重合，但另有一些譜線位于Balmer系兩臨近線之間。（2）、Bickering系與Balmer系差不多重合的那些譜線顯然稍有波長的差別。（3）、里德伯指出Bickering系的表示公式為：n=2.5,3,3.5,…第三十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五2)、Bickering系的產生原因Bickering系從地上的氫是觀測不到的，早期人們認為這是由星體上一種特殊的氫所發(fā)出的。后來人們發(fā)現(xiàn)它是氦的離子He+所發(fā)出的。畢克林線系He+是一個電子和一個氦原子核構成的體系，按照玻爾理論有：設n1=4,n2=n=5,6,7,…n=5,6,7,…k=n/2=5/2,6/2,7/2,…第三十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五3)、He+的其它線系（1）4686系1914年福勒發(fā)現(xiàn)此線系n=4,5,6,7,…(2)其它系1916年Layman在遠紫外區(qū)發(fā)現(xiàn)另外二個系：n=3,4,5,…n=2,3,4,…4)、其他類氫離子的譜線Li++離子的譜線系：n1=1,2,3,…;n2=n1+1,n1+2,n1+3,…Be+++離子的譜線系：n1=1,2,3,…;n2=n1+1,n1+2,n1+3,…第三十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五三、里德伯常數(shù)的變化1、背景1）在類氫離子光譜中（如Bickering系）我們知道那些與氫原子譜線重合的線稍有波長的差別；2）從氫光譜的波數(shù)以及其他類氫離子光譜的波數(shù)的比較可見，假設量子數(shù)n1和n2的取值合適，不同光譜中的有些譜線好象應該能夠完全重合。實驗表明：情況并不是這樣。產生的原因只有由于各種原子或離子的里德伯常數(shù)的數(shù)值不同。2、里德伯常數(shù)的變化

在氫原子玻爾理論的推倒過程中，由于電子的質量遠小于原子核的質量，從而只考慮電子相對于原子核的運動，而沒有考慮原子核的運動，這樣一個原子體系運動圖象似乎有些簡單。第三十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五

實際情況是：原子核的質量雖然很大，但并不是無限大，它仍是運動的，不是電子繞原子核作園周運動，而是電子和原子核繞二者的質心運動。設：原子核的質量為M，距質心的距離為r1,運動速度為V電子的質量為m，距質心的距離為r2,運動速度為v由此有：則電子和原子核所受的向心力為：第四十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五設:電子和原子核運動的角速度為,則有:由此可得:取:為電子和原子核的折合質量則有:由體系的量子化條件有:第四十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五消去則有:和前面給出的原子的半徑公式比較,r的形式相同,只是用折合質量取代電子的質量m。原子體系的能量為：第四十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五由此可得：公式和前面給出的公式的形式完全一致，但上式中的r已非原來的數(shù)值，把上面給出的r帶入則有：由此可得光譜系公式：同樣除代替m外，其余與前面公式完全相同，由此則有里德伯常數(shù)：第四十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五當M=時，上式變?yōu)椋赫f明:1)在上節(jié)所討論的R的理論值,是相當于原子核質量無限大的R值。這完全與假設原子核不動，即原子核的質量和電子的質量相比無限大的結論相符合。2）各種原子的里德伯常數(shù)為：m是電子的質量，m=constant則：原子的里德伯常數(shù)隨原子核的質量M而變化3）如果實驗精確測定出原子的RA值，則可求出：較近期的測定為：則有：這個結果與上節(jié)理論計算所得的R值完全符合3、里德伯常數(shù)測定的應用氘原子的發(fā)現(xiàn)第四十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§2.4、夫蘭克-赫茲實驗與原子的能級一、激發(fā)電勢的測定1．實驗描述

原子內部能量的量子化，也就是原子的間隔能級的存在，除由光譜的研究可以推得外，還有別的方法可以證明。

1914年，J.Frank,G.Hertz用電子碰撞原子的方法使后者從低能級激發(fā)到高能級，從而證明了能級的存在。

玻璃容器中充以要測量的氣體，最初進行研究的是汞汽。電子由熱陰極K發(fā)出，在K與柵極G之間加電場使電子加速。在G與接收極A之間有一0.5V的反電壓，當電子通過KG空間，進入GA空間時，如果仍有較大能量，就能沖過反電場而達到電極A，成為通過電流計的電流。

如果電子在KG空間與原子碰撞，把自己一部分能量給了原子，使后者被激發(fā)，電子剩下的能量就可能很小，以致過柵極G后不足以克服反電勢而到達A，因而不流過電流計。第四十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五

把玻璃容器內的空氣抽出，注入少量的汞，維持適當?shù)臏囟龋梢缘玫綒鈮汉线m的汞汽。逐漸增加KG間的電壓，觀測電流計的電流變化。2、實驗結果1）、當KG間的電壓由0逐漸增加時，A極電流起初逐漸上升，當電壓達到4.1V時，電流突然下降，不久又上升。2）、當電壓達到9.0V時，電流突然下降，然后又上升。3）、當電壓達到13.9V時，電流突然下降，然后又上升。規(guī)律：三個電流突然下降時的電壓相差都是4.9V,但第一個和0相差卻是4.1V。這可能由于儀器上的接觸電勢的存在，伏特計上的讀數(shù)減低了一些，使整個讀數(shù)偏低0.8V?？紤]這個情況后我們得出：

當KG間電壓在4.9V的倍數(shù)時，電流突然下降。3、實驗結果解釋1）、當KG間電壓低于4.9V時，電子在KG空間被加速而取得的能量較低，此時如果與汞原子碰撞，還不足以影響汞原子的內部能量，所以不被汞原子吸收，這時隨電壓的增加到達柵極G且能夠克服反電勢的電子數(shù)增加。2）、當KG間的電壓達到4.9V時，電子如果與汞原子在柵極G處碰撞，有可能把獲得的全部能量傳遞給汞原子，使后者從基態(tài)被激發(fā)到最近的一個能量較高的狀態(tài)。這些電子因為把全部能量交給了汞原子，經(jīng)過G后就不能克服反電勢到達A極，所以A極電流下降。第四十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五3）、當KG間電壓大于4.9V時，隨電壓的增加，電子原子碰撞后除使汞原子由基態(tài)被激發(fā)到最近的一個能量較高態(tài)后，還留有足夠的能量可以克服反電勢而達到A極，且留有的能量隨V的增加而增加，所以電流又開始上升。4）、當KG間的電壓是4.9V的二倍時，電子在KG間可能經(jīng)過二次碰撞而失去能量，因而又造成電流的下降。同理，當KG間的電壓是4.9V的三倍時，電子在KG間可能經(jīng)過三次碰撞而失去能量，因而又造成電流的下降。4、汞的第一激發(fā)電勢電子在KG間電壓V作用下加速獲得的能量焦耳汞的第一激發(fā)電勢為：4.9eV汞的第一激發(fā)電勢的驗證：如果汞原子從第一激發(fā)態(tài)又躍遷到最低能級，則應有4.9eV的能量放出。放出光的波長為：第四十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五實驗上確實觀測到波長為2537埃的光譜。5、改進夫蘭克-赫茲實驗（較高激發(fā)電勢的測定）1）、實驗描述

1920年J.Frank,G.Hertz把原有儀器稍作改進，又能測得較高的激發(fā)電勢，這相當于把原子激發(fā)到更高的能級。

和原來儀器相比，在靠近陰極K處加了一個柵極G1，原來靠近A的柵極標記為G2，G1和G2是同電位的，電場強度為0。第四十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五

實驗發(fā)現(xiàn)當KG1間的電壓為4.68，4.9，5.29，5.78，6.73V等值時，電流計電流出現(xiàn)下降。

在原有儀器中，電子的加速和與原子的碰撞都在同一區(qū)域KG間進行，它的能量達到4.9eV后，就可能經(jīng)碰撞而損失，不易提高。在改進的儀器中，加速和碰撞分在兩個區(qū)域進行。電子在KG1間加速，但KG1間的距離近，小于電子在汞汽中的平均自由程，與汞汽原子碰撞的機會很小，然后在較大的區(qū)域G1G2間進行碰撞。2）、實驗結果3）、實驗結果解釋（1）當KG1間的電壓為4.9V時，電流出現(xiàn)下降，這是汞的第一激發(fā)電勢。（2）當KG1間的電壓為6.73V時，電流出現(xiàn)下降，表明汞原子的第二激發(fā)能級為6.73eV，實驗上也觀測到相應的由此激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時產生的光譜，波長為1849?。（3）對于其他激發(fā)電勢，無相應的光譜產生，表明這些狀態(tài)相應于汞原子的一些亞穩(wěn)態(tài)，汞原子處于亞穩(wěn)態(tài)時很難自發(fā)躍遷產生輻射。第四十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五（4）、原子吸收不同的能量后，被激發(fā)到不同的狀態(tài)。這些能量的數(shù)值是不連續(xù)的，表明原子內部的能量是量子化的，也證實原子能級的存在。二、電離電勢的測定1、基本概念1）、電離使原子中的電子離去的過程2）、電離電勢

電子在電場中加速，使它與原子碰撞剛足以使原子電離，則電子加速時跨過的電勢差稱為電離電勢。第五十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五2、實驗描述G.Hertz用來測量原子電離電勢的儀器如下：K：發(fā)射電子的熱陰極G：圓柱形金屬網(wǎng)A：圓柱形陽極

G與A接在同一電位上，G與K之間維持一定的電壓；G的上下各有一個底，下底中央開一個孔，孔上蓋一個金屬網(wǎng)G1。

K1是另一個發(fā)射電子的熱陰極。容器中的空氣抽出后，充入所研究的氣體，達到合適的氣壓。3、實驗步驟及結果1）、KG間維持一固定的電壓，逐漸增加陰極K的電流，由電流計觀測KG間的電流。

起初KG間的電流逐漸上升，后來停止增加。原因：由于K周圍空間電荷的作用，當K的電子發(fā)射量較大時，它周圍有大量的電子擁擠著，不能很快向A極疏散，這就限制了K上電子的發(fā)射，使發(fā)射量不再增加，所以KG間電流也不再增加。第五十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五2)、在K1G1間加壓，由小到大逐漸增加，陰極K1所發(fā)出的電子被加速射過G1網(wǎng)而進入G1G包圍的空間中。

起初電流計所示的KG電流不受影響，但一旦K1G1間電壓達到某一數(shù)值時，KG電流突然開始上升。4、實驗結果解釋

當K1G1間的電壓達到氣體的電離電勢時，電子射過G1，在G1附近的空間與氣體原子碰撞而使后者電離，這樣就有正離子和電子產生。在G1G網(wǎng)內的空間中，G1極對陰極K為正，所以電子向G1，而正離子移向陰極K，這些正離子在K附近中和了一部分空間電荷，就減輕了空間電荷對K極上電子發(fā)射的限制，因而發(fā)射電子數(shù)增加，KG電流也就增加。所以：KG電流的突然增加表示有電離的發(fā)生，也就是K1G1間電壓達到氣體的電離電勢。第五十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五第五十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§2.5、量子化通則玻爾在氫原子理論中，假定電子的軌道運動必須滿足量子化條件：n=1,2,3,…式中：ps=mv,是電子運動的動量q=2r,圓周的周長p=mvr,電子運動的角動量1、量子化通則在玻爾提出量子化條件不久，W.Wilson(1913)、石原（1915）A.Sommerfeld(1916)各自提出量子化通則：n=1,2,3,…這里：dq是位移或角移，p是與q對應的動量討論：1）對于作圓周運動的電子If:p是動量，則p=ps=Constant第五十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五If:p是角動量，則p=p=Constant2）對于輻射源的線振子，其能量為：n=1,2,3,….是振子運動的頻率，T是振子運動的周期對于線振子的運動：這里q是位移；是運動的角頻率則運動的速度為：第五十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五因為線振子的總能量En為：所以：由此可見：量子化通則既符合圓周運動量子化的事實，又可以從量子論直接推出，具有普遍的意義。它是量子化條件的一般表達式。第五十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§2.6電子的橢園軌道運動與氫原子能量的相對論效應

電子在原子核的庫侖場中運動正如行星繞太陽運動，是受著與距離的平方成反比的力。這樣的運動，按力學規(guī)律，一般應該是橢園軌道的運動。原子核如果假定不動，它處于橢園的一個焦點上，圓形軌道運動只是橢園軌道運動的特殊情況。在玻爾理論發(fā)表不久，1916年，A.Sommerfeld提出了橢園軌道理論。一、量子條件的引用與橢園軌道的特性1、Sommerfeld量子化條件

電子繞原子核在一個平面上作橢園運動是二自由度的運動。采用極坐標系：電子與核的距離為r,極角為。則電子在橢園軌道上運動時，r,都隨時間變化。動量：角動量：其中：—電子的角速度—垂直于r方向的速度分量—r方向的速度分量第五十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五則根據(jù)量子化通則有：n=1,2,3,…角量子數(shù)nr=0,1,2,3,…徑向量子數(shù)因為：

不隨變化，則有：所以：量子化條件為：2、橢園軌道的特征電子和原子核組成的體系的總能量：第五十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五電子在庫侖場中的橢園軌道方程為：a是橢園的長半軸，b是短半軸，c是焦距，是偏心率電子在中心場中運動，角動量守恒，則有：則有：對橢園軌道方程兩邊求導：所以：第五十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五利用積分公式：?。浩渲校簽橹髁孔訑?shù)又因為：所以：第六十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五因為電子在運動過程中能量守恒所以：第六十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五又因為：所以：其中：是氫原子中電子最小軌道半徑因為：所以：第六十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五討論：1）、電子做橢園軌道運動的能量僅與n有關，與n無關；半長軸a只取決于n,與n無關,所以n相同的軌道，能量相同，半長軸相同。2）、橢園軌道的半短軸b決定于n和n，對于同一n值，如果n不同，則半短軸不同。

因為n和n都是整數(shù)，對同一n值，有幾個n值，就有幾個不同半短軸的橢園軌道，它們的半長軸是相同的，卻具有相同的能量。3）、因為否則沒有角運動無徑向運動，軌道為園型

對一個n值，有n對nr和n值，其中有一對是n=n,nr=0,對應于一個圓形軌道，其余均為橢園，能級是n重簡并的。4）、對于n=1,2,3時電子的軌道運動如右圖所示：第六十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五第六十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五二、相對論效應對電子運動的影響1、相對論效應由相對論原理，物體的質量隨它的運動速度而改變m0—物體靜止時的質量；v—物體運動的速度c—光速物體運動的動能為：當v<<c時，2、對電子運動的影響

電子在橢園軌道中運動時，速度是變化的。為了保持角動量守恒，電子在接近原子核時運動的快，在遠離原子核時運動的慢。

所以電子的質量在橢園軌道運動中是一直在改變的，電子的軌道就不再是閉合的，好象橢園軌道有一個連續(xù)進動。第六十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五

n相同n不同的那些軌道，速度的變化也不同，因而質量的變化和進動情況不完全相同，這些軌道運動的能量也略有差別，n級簡并解除。在相對論情況下，氫原子的能量為：其中：則光譜項為：式中：1）、a的高次項a4,a6,…略去不計；2）、第一項是Bohr理論的結果；3）、第二項是相對論效應的修正，對同一n,不同n，其值不同，則對應不同的軌道運動和能量，能級簡并消除；4）、第二項的數(shù)值遠小于第一項的數(shù)值，所以相對論修正很小。第六十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五§2.7、史特恩-蓋拉赫實驗與原子空間取向的量子化

通過前面的討論我們知道原子中電子繞核運動的軌道的大小、形狀、電子運動的角動量以及原子的內部能量都是量子化的。本節(jié)我們將討論在磁場或電場中原子的電子軌道運動只能取一定的幾個方向，不能任意取向。一般講，在磁場或電場中，原子的角動量的取向也是量子化的，這種現(xiàn)象稱為空間量子化。一、電子軌道運動的磁矩1、經(jīng)典磁矩由電磁學有，一個載流線圈具有磁矩其中：A—線圈所圍的面積i—流過線圈的電流強度

—與電流i的環(huán)流方向成右手螺旋方向上的單位矢量2、電子軌道運動的磁矩

原子中電子繞原子核旋轉，相當于一個微型環(huán)型電流，也會產生磁矩，稱為電子的軌道運動磁矩。第六十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五如果電子繞原子核旋轉的周期為，則電流強度為：電子繞原子核作橢圓軌道一周所包圍的面積為：其中：是電子繞原子核運動的角動量，由于電子在有心力場中運動，角動量守恒。所以：則電子運動的軌道磁矩為：第六十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五由于的方向與角動量方向相反所以：電子的軌道運動磁矩與電子的軌道角動量方向相反。又因為：所以電子軌道運動磁矩的大小為=1，2，3，…其中：稱為玻爾磁子，是原子磁矩的基本單位，其單位為：安培.米2（J.T-1）第六十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五二、軌道取向的量子化理論

在Sommerfeld的原子模型中，電子在原子核的中心力場中作橢圓軌道運動，需要二個量子化條件來確定穩(wěn)定的橢圓軌道，原子體系能量和角動量的量子化特性。其中主量子數(shù)n決定原子的能量，角量子數(shù)n決定軌道的形狀和角動量的大小。

如果原子處在磁場中，那么由于磁場的作用，電子的軌道運動不在是平面運動，而是三維空間的曲線運動，原來同一平面內n不同的橢圓軌道將彼此分開。若外磁場很弱，幾乎趨近于0，它對電子的軌道運動的影響甚微，那么運動可以近似看作仍然是一個平面上的運動，但軌道平面是繞著磁場方向做緩慢旋進的，電子實際的運行軌跡實際是一個空間曲線。這樣的三維運動就必須滿足三個量子化條件。

設想原子先處在磁場中，然后磁場強度逐漸減到0，則原子相對于原磁場方向的取向保持，但旋進和相應的附加能量不在出現(xiàn)，可暫不考慮。這樣如果把電子運動仍做三維運動處理，實際是考慮在磁場下電子軌道的取向問題。采用球坐標系r,,來描述電子的三維運動，極軸在磁場方向上，原子核處在極點上。電子做橢圓軌道運動的軌道角動量為，方向垂直于軌道平面。在磁場方向的分量為,電子所處位置的矢徑與極軸的夾角為。第七十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五電子做軌道運動滿足的量子化條件是：電子在橢圓軌道上運動的量子化條件是=1,2,3,…在磁場方向上的投影為：也是一個守恒量，不隨而變化第七十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五第七十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五則：因為：都是整數(shù)，且所以有：由此可見：只能取幾個整數(shù)值，對一個值，只有個值，即有個值，有軌道取向。第七十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五三、史特恩—蓋拉赫實驗1、實驗描述

被測樣品銀放在電爐O內被蒸發(fā)，銀原子通過狹縫S1和S2后，形成細束。經(jīng)過一個不均勻的磁場區(qū)域，在磁場的垂直方向上進行。最后撞在相片P上。銀原子通過的區(qū)域是抽成真空的。2、實驗結果

銀原子經(jīng)過不均勻的磁場作用后分成兩束，相片上看見兩條黑斑。3、實驗結果解釋原子具有磁矩，在磁場中的行為象一個磁偶極子。如果磁場為勻強磁場，則原子只能受力偶矩作用使磁偶極子轉向沿磁場方向。

如果把原子放入不均勻的磁場中，則原子除受力矩作用而轉動外，還受到沿磁場方向合力的作用而平動。第七十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五假設磁場沿Z軸方向的變化率為，則具有磁矩的原子受到沿Z方向的力為：式中：原子磁矩在磁場方向上的分量；沿磁場方向的磁感應強度變化的梯度磁矩與磁場方向的夾角討論：1）、如果>0，當時，則力的方向沿磁場方向。2）、如果，當時，則力的方向和磁場方向相反。所以：磁場作用于磁矩上的力的大小和方向與有關。本實驗的主要目的是要觀測原子的磁矩在磁場中的取向情況，用不均勻的磁場是要把不同值的原子分出來。

由于原子在磁場中運動時受到磁場的作用力垂直于原子的進行方向，原子的路徑就發(fā)生偏轉。原子在磁場作用下在垂直于運動方向獲得的加速度為：第七十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五m—原子的質量假設原子沿垂直于磁場方向運動的水平初速度為v,原子通過不均勻磁場時的縱向距離L，則原子經(jīng)過不均勻磁場的時間為：因為夾縫S2與相片分別靠近不均勻磁場的前后邊界所以L近似為S2到p的距離則原子到達相片p時在平行于磁場方向偏離的距離為：討論：1）、如果原子磁矩=0,則S=0，原子射線穿過磁場時不受力的作用，準直地落在底片的中央O處，形成一條中央條紋。實驗表明：S0，則原子具有磁矩。第七十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期五2）、如果原子磁矩僅僅大小是量子化的（），而方向不受限制，則原子的磁矩和磁場方向可以有任意的夾角，則就不是量子化的，實驗測得的S值也不應該是量子化的，由于射線束中存在大量原子，幾乎連續(xù)分布，在相片上應出現(xiàn)相對于中央對稱分布的帶狀分布。3）、實驗結果是底片上得到二條分立的條紋，而且是對稱分布在準直位置O的上下兩邊。所以只能取大小相等符號相反的二個值。取值的量子化表明原子磁矩在磁場中的取向或者與磁場平行，或者與磁場相反，沒有中間的取向。這就充分證明了原子磁矩的空間取向是量子化的。4）、由于原子的磁矩的大小與原子的核外電子運動的軌道角動量的大小成正比，方向相反，所以原子磁矩的空間取向的量子化是電子軌道運動角動量的量子化，也是原子核外電子運動取向的空間量子化。5）、相片的兩條黑斑是略有寬度的，不是很細的線條。說明銀原子具有一個速度分布，所以S有小范圍的連續(xù)變化。6）、由電子軌道運動空間取向量子化理論