第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析演示文稿

第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)優(yōu)選第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析目前二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，可以采用幾種不同的方法去分析系統(tǒng)的性能。

線性系統(tǒng)：時(shí)域分析法ch3，根軌跡法ch4，頻率法ch5

非線性系統(tǒng)：

多輸入多輸出系統(tǒng)：描述函數(shù)法，相平面法ch7

采樣系統(tǒng)：Z

變換法ch8狀態(tài)空間法目前三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

分析系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)亦即分析描述其運(yùn)動(dòng)的微分方程的解。以RC網(wǎng)絡(luò)為例：若穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量可見(jiàn)：不論哪種求解方法，也不論初始條件如何，均有：系統(tǒng)響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)§3-1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)

目前四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)典型輸入信號(hào)動(dòng)態(tài)性能需要通過(guò)其對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià)。因此在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要一個(gè)對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基準(zhǔn)---典型輸入信號(hào)。條件：1能反映實(shí)際輸入；2在形式上盡可能簡(jiǎn)單，便于分析；3使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。tf(t)01考查系統(tǒng)對(duì)恒值信號(hào)的跟蹤能力

系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)性能描述，而暫態(tài)響應(yīng)由暫態(tài)性能描述，故系統(tǒng)的性能指標(biāo)也就由穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和暫態(tài)性能指標(biāo)組成。

因?yàn)殡A躍輸入對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最一般也是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下的暫態(tài)性能滿足要求，則在其他形式下的輸入信號(hào)下，其暫態(tài)性能也會(huì)令人滿意。目前五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)A=1，稱單位斜坡函數(shù),記為t·1(t)

2.斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）

tf(t)0考查系統(tǒng)對(duì)勻速信號(hào)的跟蹤能力目前六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

3.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）A=1，稱單位拋物線函數(shù),記為tf(t)0考查系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)跟蹤能力目前七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

4.脈沖函數(shù)t

(t)0考查系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)下的恢復(fù)情況目前八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

各函數(shù)間關(guān)系：（5）正弦函數(shù)tf(t)0考查隨動(dòng)系統(tǒng)在波浪環(huán)境中的控制和跟隨能力目前九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

二.階躍響應(yīng)的時(shí)域性能指標(biāo)c(t)=ct(t)+css(t)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

1.暫態(tài)性能指標(biāo)

非振蕩階躍響應(yīng)過(guò)程衰減振蕩階躍響應(yīng)過(guò)程目前十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(1)延遲時(shí)間td：c(t)從0到0.5c(∞)的時(shí)間。(2)上升時(shí)間tr：c(t)第一次達(dá)到c(∞)的時(shí)間。無(wú)超調(diào)時(shí),c(t)從0.1c(∞)到0.9c(∞)的時(shí)間。(3)峰值時(shí)間tp：c(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間。(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts：c(t)衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)±2%或±5%所需的時(shí)間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號(hào)△表示，即△

=2%或△

=5%

。

快速性(5)超調(diào)量σp

%：c(t)最大峰值偏離穩(wěn)態(tài)值的部分，常用百分?jǐn)?shù)表示，描述系統(tǒng)的平穩(wěn)性。目前十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

穩(wěn)態(tài)誤差ess：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值。即系統(tǒng)響應(yīng)的實(shí)際值與期望值（即輸入量）之差。最后一節(jié)細(xì)講?，F(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。一上述各種性能指標(biāo)中，描述系統(tǒng)起始段的快慢；反映暫態(tài)過(guò)程振蕩的劇烈列程度；

總體上反映系統(tǒng)的表示系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程持續(xù)時(shí)間，快速性；反映系統(tǒng)復(fù)般以、和評(píng)價(jià)系統(tǒng)

響應(yīng)的穩(wěn)、快、準(zhǔn)。目前十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)凡是可用一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。T＝RC，時(shí)間常數(shù)。其典型傳遞函數(shù)及結(jié)構(gòu)圖為：3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)

系統(tǒng)中只有一個(gè)參數(shù)T,一階系統(tǒng)也叫慣性環(huán)節(jié)。目前十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)tc(t)

０T

2T3T4T

當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)稱作其單位階躍響應(yīng)。3.2.1單位階躍響應(yīng)

響應(yīng)曲線在[0，）的時(shí)間區(qū)間中始終不會(huì)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值，把這樣的響應(yīng)稱為非周期響應(yīng)。無(wú)振蕩0.6320.950.9820.8651.0目前十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)調(diào)整時(shí)間ts定義：︱c(ts)1︱=(取5%或2%)

一階系統(tǒng)響應(yīng)具備兩個(gè)重要的特點(diǎn)：①可以用時(shí)間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。②響應(yīng)曲線的初始斜率等于1/T。

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統(tǒng)的慣性。T越小慣性越小，響應(yīng)快！T越大，慣性越大，響應(yīng)慢。目前十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

1．與有確定關(guān)系，是表征系統(tǒng)響應(yīng)特征的唯一參數(shù)。2.初始速度：，若以等速上升到

1，所需時(shí)間正好為T(mén)。

一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定，將測(cè)得的曲線與下圖的曲線作比較，就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng)。此外，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開(kāi)始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間，就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。目前十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.2.2單位斜坡響應(yīng)

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但在時(shí)間上遲后了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T的斜坡函數(shù)。TT穩(wěn)態(tài)分量（跟蹤項(xiàng)+常值）暫態(tài)分量目前十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

表明過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應(yīng)曲線和斜坡響應(yīng)曲線：

在階躍響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而減小，最終趨于0，而在初始狀態(tài)下，位置誤差最大，響應(yīng)曲線的斜率也最大；無(wú)差跟蹤

在斜坡響應(yīng)中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間而增大，最終趨于常值T，在初始狀態(tài)下，位置誤差和響應(yīng)曲線的斜率均等于0。有差跟蹤。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTT目前十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)表明一階系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，其穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差。4．對(duì)斜坡響應(yīng)求導(dǎo)：即單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)是單位階躍響應(yīng)。2．初始速度：斜坡響應(yīng)（續(xù)）目前十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)單位脈沖響應(yīng)

[R(s)=1]

它恰是系統(tǒng)的閉環(huán)傳函，這時(shí)輸出稱為脈沖（沖激）響應(yīng)函數(shù)，以g(t)標(biāo)志。

求系統(tǒng)閉環(huán)傳函提供了實(shí)驗(yàn)方法，以單位脈沖輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)，測(cè)定出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，可以得到閉環(huán)傳函。對(duì)應(yīng)T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T目前二十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)1．一階系統(tǒng)不能跟蹤拋物線信號(hào)。2．對(duì)拋物線響應(yīng)求導(dǎo)：斜坡響應(yīng)。、單位拋物線響應(yīng)：目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)★這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，適用于任何線性系統(tǒng)，但不適用于非線性系統(tǒng)。

目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)線性定常系統(tǒng)的重要性質(zhì)

2.在零初始條件下，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)時(shí)間的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出對(duì)時(shí)間的積分，積分常數(shù)由零初始條件決定。

1.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為原來(lái)輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出則為原來(lái)輸出的導(dǎo)數(shù)。目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例1系統(tǒng)如圖所示，現(xiàn)采用負(fù)反饋方式，欲將系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間減小到原來(lái)的0.1倍，且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)Ko和KH的取值。

目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例2已知單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

試求

F(s),g(t),G(s)。

解．目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)化二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

二階系統(tǒng)有兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)ξ(阻尼比)和n(無(wú)阻尼振蕩頻率)

。二階系統(tǒng)的性能分析和描述，都是用這兩個(gè)參數(shù)表示的。3.3典型二階系統(tǒng)時(shí)域分析s(s+2ξn)R(s)C(s)n2

﹣+目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)微分方程式為：

對(duì)于不同的二階系統(tǒng)，阻尼比和無(wú)阻尼振蕩頻率的含義是不同的。

例如:RLC電路RCr(t)c(t)L目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

j

0二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即

s2+2ξns+n2=0其兩個(gè)特征根為：

上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比ξ

的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說(shuō)在s平面上有不同的分布規(guī)律。分述如下：s1s2ξ>1時(shí)，特征根為一對(duì)不等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過(guò)阻尼的。目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(3)

0<ξ

<1

時(shí)，特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于s平面的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼的。(2)ξ=1時(shí)，特征根為一對(duì)等值的負(fù)實(shí)根，位于s平面的負(fù)實(shí)軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的。

j

0s1=s2=

nns1s2

jd

ξn

j

0目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

j

0

(4)ξ=0時(shí)，特征根為一對(duì)幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無(wú)阻尼的等幅振蕩過(guò)程。

jn

j

0

(5)ξ<0時(shí)，特征根位于s平面的右半平面，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為幅值隨時(shí)間增加而發(fā)散。s1s2目前三十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

j

0s1s2

j

0s1=s2ns1s2

jd

ξn

j

0

j

0

jn

阻尼比取不同值時(shí)，二階系統(tǒng)根的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼無(wú)阻尼ξ<0

j

0s1s2目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

單位階躍響應(yīng)由式，其輸出的拉氏變換為式中s1，s2是系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)特征根。

對(duì)上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。阻尼比在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根在s平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面分別加以討論。目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)（1）欠阻尼情況0<ξ<1

j

ns1s2

jd

ξn0阻尼振蕩頻率目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)設(shè)直角三角形：則

目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由兩部分組成：穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在1(t)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差；瞬態(tài)響應(yīng)是阻尼正弦項(xiàng)，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率ωd，而其幅值則按指數(shù)曲線衰減，兩者均由參數(shù)ξ

和n決定。c(t)t01衰減振蕩衰減系數(shù)或振蕩阻尼系數(shù)目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)c(t)t0等幅振蕩

(2)無(wú)阻尼情況ξ=0目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)（3）臨界阻尼情況ξ=1

s1,2=n

此時(shí)響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的非周期上升過(guò)程，其變化率t=0，變化率為0；t>0變化率為正，c(t)單調(diào)上升；t→∞

，變化率趨于0。整個(gè)過(guò)程不出現(xiàn)振蕩，無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差＝0。tc(t)01目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

其中（4）過(guò)阻尼情況ξ>1目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)1、由兩項(xiàng)指數(shù)函數(shù)組成；2、曲線單調(diào)上升，無(wú)

0tc(t)1.0ts目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

響應(yīng)特性包含兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，且它們的代數(shù)和不會(huì)超過(guò)1，因而響應(yīng)是非振蕩的。調(diào)節(jié)速度慢。（不同于一階系統(tǒng)）

0tc(t)1.0ts目前四十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)∴響應(yīng)中兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，后一項(xiàng)很小∴后一項(xiàng)只在后的前期對(duì)響應(yīng)有影響，求時(shí)可忽略。的近似計(jì)算：3．則有目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)此時(shí)相當(dāng)于的慣性環(huán)節(jié)。

（一般）計(jì)算。當(dāng)響應(yīng)是非振蕩的。調(diào)節(jié)速度慢。（不同于一階系統(tǒng)）目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

過(guò)阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，對(duì)于一般要求時(shí)間響應(yīng)快的系統(tǒng)過(guò)阻尼響應(yīng)是不希望的。但在有些應(yīng)用場(chǎng)合則需要過(guò)阻尼響應(yīng)特性：例如（1）大慣性的溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等。（2）指示儀表、記錄儀表系統(tǒng)，既要無(wú)超調(diào)、時(shí)間響應(yīng)盡可能快。另外，有些高階系統(tǒng)可用過(guò)阻尼二階系統(tǒng)近似。目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)（5）不穩(wěn)定系統(tǒng)

ξ<0總結(jié)：

1）ξ<0時(shí)，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

2）ξ>＝1時(shí)，響應(yīng)與一階系統(tǒng)相似，無(wú)超調(diào)，但調(diào)節(jié)速度慢；

3）ξ＝0時(shí)，無(wú)過(guò)渡過(guò)程，直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)等幅振蕩；

4）0<ξ<1時(shí)，響應(yīng)有超調(diào)，但上升速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，合理選擇ξ可使響應(yīng)既快又平穩(wěn)，工程上把ξ＝0.707的二階系統(tǒng)稱為二階最優(yōu)系統(tǒng)；目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)45橫坐標(biāo)nt

，曲線只是的函數(shù)。=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)σp%3.3.4二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1.欠阻尼

用tr

,

tp

,σ

p

,

ts

四個(gè)性能指標(biāo)來(lái)衡量瞬態(tài)響應(yīng)的好壞。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(1)上升時(shí)間tr

：從零上升至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間，是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。tr越小，響應(yīng)越快。(2)

峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(3)超調(diào)量σp%：響應(yīng)曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示。目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

σp

%只是ξ

的函數(shù)，其大小與自然頻率ωn無(wú)關(guān)。ξ

σp(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts

：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過(guò)5%或2%所需要的時(shí)間。c(t)c()c()(tts)=0.2p=52.7%=0.4p=25.4%=0.6p=9.5%

=0.707p=4.3%目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

工程上，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以采用近似的計(jì)算方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05（或0.02）時(shí)，過(guò)渡過(guò)程即進(jìn)行完畢，于是得到目前五十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)其中為包絡(luò)線的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)0.1<ξ

<0.9

時(shí)，通常用下列二式近似計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)總結(jié)：各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ(ξ

一定范圍)必須必須必須(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

σp

只由ξ

決定必有目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-1單位負(fù)反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示(1)確定系統(tǒng)特征參數(shù)與實(shí)際參數(shù)的關(guān)系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，試計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解:(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較可得：K/T=n21/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(2)K=16，T=0.25時(shí)(=0.05)K/T=n21/T=2ntr=?tp=?ts=?σp=?目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)（3）若要求

當(dāng)T不變時(shí)：目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。

解：由系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，直接求出超調(diào)量和峰值時(shí)間。

σp=30%tp=0.1求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1c(t)t01.30.1目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)解：

Tp=0.785σp=e-2.355ts=1

目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)§3.2.3一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一階系統(tǒng)典型響應(yīng)

d(t)11(t)

t

一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)59橫坐標(biāo)nt

，曲線只是的函數(shù)。=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)總結(jié)：各性能指標(biāo)之間是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ(ξ

一定范圍)必須必須必須(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

σp

只由ξ

決定必有目前六十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)二階系統(tǒng)性能的改善1.誤差的比例－微分控制具有誤差比例－微分控制的二階系統(tǒng)如圖所示:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為(仍符合規(guī)律)式中

d

為系統(tǒng)的有效阻尼比。s(s+2n)R(s)C(s)n2

﹣+Tds++K(=1)目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

比例－微分控制的二階系統(tǒng)有時(shí)稱為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。與沒(méi)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相比，由于微分項(xiàng)的原因，初始快速性提高，超調(diào)量會(huì)增大一些，但整體響應(yīng)的速度會(huì)加快。t01c(t)c1(t)

可見(jiàn)，比例－微分控制的二階系統(tǒng)不改變系統(tǒng)的自然頻率，但是可以增大系統(tǒng)的有效阻尼比以抑制振蕩。同時(shí)為系統(tǒng)增加了一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)。若令Z=1/Td

c1(t)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。

c(t)沒(méi)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)以角度隨動(dòng)系統(tǒng)為例(a)比例控制[0，t1)系統(tǒng)阻尼小，修正轉(zhuǎn)矩過(guò)大；輸出超調(diào)[t1,t3)轉(zhuǎn)矩反向，起制動(dòng)作用，但慣性與制動(dòng)轉(zhuǎn)矩不夠大，仍超調(diào)[t3,t5)誤差又為正，修正轉(zhuǎn)矩又為正，力圖使輸出趨勢(shì)減小……(b)控制措施：附加誤差的微分量

[0，t2)內(nèi)減小正向修正轉(zhuǎn)矩，增大反向制動(dòng)轉(zhuǎn)矩；

[t2,t4)內(nèi)減小反向制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，增大正向修正轉(zhuǎn)矩

比例－微分控制的二階系統(tǒng)有時(shí)稱為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。與沒(méi)有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相比，由于微分項(xiàng)的原因，初始快速性提高，超調(diào)量會(huì)增大一些，但整體響應(yīng)的速度會(huì)加快。目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(2)(1)目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：式中為系統(tǒng)的有效阻尼比。2.輸出量的速度反饋控制輸出量的速度反饋控制也可以在不改變系統(tǒng)的自然頻率基礎(chǔ)上，增大系統(tǒng)的有效阻尼比，使超調(diào)量減小。s(s+2n)R(s)C(s)n2

﹣+Kfs﹣+與比例微分控制不同的是，輸出量的速度反饋控制沒(méi)有附加零點(diǎn)的影響，兩者對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善程度是不同的。目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.兩種控制方案的比較都為系統(tǒng)提供了一個(gè)參數(shù)選擇的自由度，兼顧了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和平穩(wěn)性。但是，二者改善系統(tǒng)性能的機(jī)理及其應(yīng)用場(chǎng)合是不同的。簡(jiǎn)述如下：（1）微分控制的附加阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)輸入端誤差信號(hào)的變化率，而速度反饋控制的附加阻尼作用來(lái)源于系統(tǒng)輸出量的變化率。微分控制為系統(tǒng)提供了一個(gè)實(shí)零點(diǎn)，可以縮短系統(tǒng)的初始響應(yīng)時(shí)間，但在相同阻尼程度下，將比速度反饋控制產(chǎn)生更大的階躍響應(yīng)超調(diào)量。目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

(2)比例－微分控制位于系統(tǒng)的輸入端，微分作用對(duì)輸入噪聲有明顯的放大作用。當(dāng)輸入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，不宜選用比例－微分控制。同時(shí)，由于微分器的輸入信號(hào)是低能量的誤差信號(hào)，要求比例－微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質(zhì)量的前置放大器。輸出速度反饋控制，是從高能量的輸出端向低能量的輸入端傳遞信號(hào)，無(wú)需增設(shè)放大器，并對(duì)輸入端噪聲有濾波作用，適合于任何輸出可測(cè)的控制場(chǎng)合。目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)典型輸入信號(hào)典型輸入信號(hào)。條件：1能反映實(shí)際輸入；2在形式上盡可能簡(jiǎn)單，便于分析；3使系統(tǒng)運(yùn)行在最不利的工作狀態(tài)。目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

準(zhǔn):(穩(wěn)態(tài)要求）穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差(穩(wěn)態(tài)誤差)要小

穩(wěn)：(基本要求)

系統(tǒng)受擾動(dòng)影響后能回到原來(lái)的平衡位置

延遲時(shí)間

td—階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值的50％所需的時(shí)間

上升時(shí)間

tr—階躍響應(yīng)從終值的10％上升到終值的90％所需的時(shí)間

有振蕩時(shí)，可定義為從0到第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間

峰值時(shí)間

tp—階躍響應(yīng)越過(guò)終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間

超調(diào)量

s％

—峰值超出終值的百分比

調(diào)節(jié)時(shí)間

ts—階躍響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5％誤差帶內(nèi)所需的最短時(shí)間

快:(動(dòng)態(tài)要求)

階躍響應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程要平穩(wěn)，迅速動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)G(s)，H(s)

一般是復(fù)變量s的多項(xiàng)式之比，故上式可記為3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)目前七十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

式中0<ξ

k<1

。即系統(tǒng)有q

個(gè)實(shí)極點(diǎn)和r

對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。稱為系統(tǒng)閉環(huán)特征根，或閉環(huán)極點(diǎn)。分子多項(xiàng)式的階次m不一般高于分母多項(xiàng)式的階次n。對(duì)上式進(jìn)行因式分解，可以表示為目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

取拉氏反變換，并設(shè)全部初始條件為零，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式：

于是，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換：式中；k

=arccosξ

k

；Ai、Bk是與C(s)在對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)上的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

上式表明，如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的各暫態(tài)分量都將隨時(shí)間的增長(zhǎng)而趨近于零，這時(shí)稱高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由pi，ξkk決定，也即閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)的分量衰減越快。

2）各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)由系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布決定。

3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)4）對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

條件：

1距離s平面虛軸較近，且周圍沒(méi)有其它的閉環(huán)零點(diǎn)；對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減緩慢，起主要作用。不會(huì)構(gòu)成閉環(huán)偶極子，產(chǎn)生零極點(diǎn)相消現(xiàn)象（相應(yīng)分量的系數(shù)很?。?。

2其實(shí)部的絕對(duì)值比其它極點(diǎn)小5倍以上。

應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。一般情況，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了這一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)近似估計(jì)。目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)試求階躍響應(yīng)。解：c(t)=11.1e

t+0.11e

10t

≈

11.1e

t主導(dǎo)極點(diǎn)是s=1

，這時(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù)近似為tc(t)01例3-4-1已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-4-2已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為試求階躍響應(yīng)。解：

j

01101.25c(t)=10.22e

t

0.78e

10tc(t)=11.1e

t+0.11e

10t目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)tc(t)010.220.780.78e

10t0.22e

t

（1）零點(diǎn)不影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分量的個(gè)數(shù)，也不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）零點(diǎn)改變了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的形狀；（3）過(guò)渡過(guò)程要快。零點(diǎn)起微分加快作用。

c(t)=10.22e

t

0.78e

10t目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響:1）極點(diǎn)決定系統(tǒng)固有運(yùn)動(dòng)屬性；

2）零點(diǎn)決定運(yùn)動(dòng)模態(tài)的比重；

3）若閉環(huán)零、極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，則對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響不大。反之，則影響較大。

4）增加閉環(huán)零點(diǎn)，將會(huì)提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。閉環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸，這種作用將會(huì)越顯著。

5）增加閉環(huán)極點(diǎn)，將會(huì)延緩系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，也即響應(yīng)速度變慢。且離虛軸愈近，其作用愈顯著。目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。穩(wěn)定的概念和定義

如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。（課本上單擺的例子）

a目前八十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，只有當(dāng)擾動(dòng)引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在取消擾動(dòng)后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。

目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都能穩(wěn)定，只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。

如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多小，當(dāng)擾動(dòng)取消后，無(wú)論經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，系統(tǒng)都不可能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。（課本上倒立擺的例子）

b目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)(t)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。根據(jù)定義輸入擾動(dòng)(t)，設(shè)擾動(dòng)響應(yīng)為Cn(t)。如果當(dāng)t→∞時(shí)，Cn(t)收斂到原來(lái)的平衡點(diǎn)，即有

那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

不失一般性，設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面（不包括虛軸）。

根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號(hào)。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

線性系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

首先給出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

式中，si（i=1,2,,

n）是系統(tǒng)的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論（韋達(dá)定理），下列關(guān)系式成立：目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件為：aiaj>0(i,

j=1,2,

,

n)即，閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)。如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。

1.勞斯判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。若不滿足，則不穩(wěn)定勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)表中：1）最左一列元素按s的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作用，不參與計(jì)算。

2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3）從第三行起各元素，是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。a0

a2a4…a1

a3a5…b1

b2b3…┋…ansnsn?1

sn?2

┋s1

s0

勞斯表的構(gòu)造：目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

條件：

1距離s平面虛軸較近，且周圍沒(méi)有其它的閉環(huán)零點(diǎn)；對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減緩慢，起主要作用。不會(huì)構(gòu)成閉環(huán)偶極子，產(chǎn)生零極點(diǎn)相消現(xiàn)象（相應(yīng)分量的系數(shù)很?。?/p>

2其實(shí)部的絕對(duì)值比其它極點(diǎn)小5倍以上。

應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響:1）極點(diǎn)決定系統(tǒng)固有運(yùn)動(dòng)屬性；

2）零點(diǎn)決定運(yùn)動(dòng)模態(tài)的比重；

3）若閉環(huán)零、極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，則對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響不大。反之，則影響較大。

4）增加閉環(huán)零點(diǎn)，將會(huì)提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。閉環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸，這種作用將會(huì)越顯著。

5）增加閉環(huán)極點(diǎn)，將會(huì)延緩系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，也即響應(yīng)速度變慢。且離虛軸愈近，其作用愈顯著。目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)(t)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。勞斯判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。若不滿足，則不穩(wěn)定勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。目前九十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)2.勞斯判據(jù)的應(yīng)用（1）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

例3-3

設(shè)有下列特征方程D(s)=s4+2s3+

3s2+4s+5=0，試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。解：勞斯表第一列元素符號(hào)改變了2次，∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s右半平面有2個(gè)根。s4s3s2s1s0135246155目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-4系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=s33s+2=0試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。對(duì)此情況，可作如下處理：s3s2s1s01302∞①用一個(gè)很小的正數(shù)ε來(lái)代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)∵ε→0+時(shí)，b1<0，勞斯表中第一列元素符號(hào)改變了兩次∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。

用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為：

D1(s)

=D(s)(s+3)=s4+

3s3

3s2

7s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/36206會(huì)得到相同的判斷結(jié)果目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-5

設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

D(s)=s4+

s3

3s2

s+2=0

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:該系統(tǒng)的勞斯表如下：第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征方程中存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對(duì)此情況，可作如下處理：s4s3s2s1s0132112200目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次，∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。通過(guò)解輔助方程可求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根：

s1=1和s2=1

。對(duì)本例題，可用長(zhǎng)除法求出另二個(gè)根，分別為s3=1和s4=2

。

用全零行的上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。s4s3s2s1s01321122

42F(s)=2s2+2

F(s)=4s目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)（2）分析參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響例3-6

已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。

解：系統(tǒng)特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。0<K<6s3s2s1s012

3K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)

K﹣+目前九十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)（3）確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

例3-7

檢驗(yàn)多項(xiàng)式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線s

=1的右邊？解：1)

勞斯表中第一列元素均為正∴系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2)令s=s1

1坐標(biāo)平移，得新特征方程為

2

s13+4

s12

s1

1=0s3s2s1s0213

10412.24-1ss1目前九十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號(hào)改變了一次，故系統(tǒng)在s1右半平面有一個(gè)根。因此，系統(tǒng)在垂直線s=1的右邊有一個(gè)根。s13s12s11s1021410.512

s13+4

s12

s1

1=0目前九十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控制信號(hào)的準(zhǔn)確度或抑制擾動(dòng)信號(hào)的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形成有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點(diǎn)漂移、老化及各種傳動(dòng)機(jī)械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。本節(jié)只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6

線性系統(tǒng)的誤差分析目前九十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

誤差的基本概念

1.誤差的定義誤差的定義有兩種：①?gòu)南到y(tǒng)輸入端定義，它等于系統(tǒng)的輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差，即

E(s)=R(s)B(s)

在實(shí)際當(dāng)中，各量均可測(cè)量，具有物理意義。G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)目前一百頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

②從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的期望值與實(shí)際值之差。E*

(s)=C*(s)C(s)由于C*(s)不可測(cè)量，故僅具有數(shù)學(xué)意義。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。

2.兩種定義的關(guān)系G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)目前一百零一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

將上圖等效成單位負(fù)反饋系統(tǒng)，兩圖比較可知，U(s)=1/H(s),C*(s)為輸出的期望值。因而，E*(s)是從輸出端定義的非單位反饋控制系統(tǒng)的誤差。

由此可見(jiàn)，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可以直接或間接地表示出從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。G(s)H(s)R(s)C(s)1H(s)E*(s)C*(s)﹣+G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)U(S)目前一百零二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

3.穩(wěn)態(tài)誤差ess定義：例3-8設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為：

當(dāng)r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：試求當(dāng)輸入信號(hào)分別為r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，

r(t)=t

，

r(t)=sinωt時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：

終值定理的條件：除原點(diǎn)外，在虛軸及s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)。目前一百零三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)解法二：e(t)=T(t－T)+T2e－t/T

(2)

當(dāng)r(t)=1(t)R(s)=1/s(3)當(dāng)r(t)=t

R(s)=1/s2目前一百零四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)(4)當(dāng)r(t)=sinωt

R(s)=ω/(s2+ω2)終值定理的條件不成立！

終值定理的條件：除原點(diǎn)外，在虛軸及s平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)。目前一百零五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.6.2控制系統(tǒng)類型不失一般性，閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可寫(xiě)為：υ

=0

稱為0型系統(tǒng)；υ

=1稱為Ⅰ型系統(tǒng)；υ

=2稱為Ⅱ型系統(tǒng)。等等在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：目前一百零六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)1.階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)：Kp

=

Kess=

A/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系統(tǒng)：Kp

=∞

ess=03.6.3在給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算分析目前一百零七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)2.單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令靜態(tài)速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)：Kv

=0ess=∞，0型系統(tǒng)無(wú)法跟蹤斜坡輸入

Ⅰ型系統(tǒng)：Kv

=

Kess=

B/K，有差跟蹤Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)：Kv

=∞

ess=0，無(wú)差跟蹤目前一百零八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

0型系統(tǒng)：Ka=0ess=∞Ⅰ型系統(tǒng)：Ka

=0ess=∞Ⅱ型系統(tǒng)：Ka

=

Kess=

C/KⅢ型及Ⅲ型以上系統(tǒng)：Ka

=∞

ess=0目前一百零九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)階躍、斜坡、加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差r(t)=Ct2/2r(t)=Btr(t)=A·1(t)靜態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)型別ess=C/Ka

ess=B/Kv

ess=A/(1+Kp)

KpKvKaυ∞∞A/(1+K

)

K

0

00∞C/K

00

∞∞

KПB/K

0

∞

K

0?目前一百一十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)目前一百一十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-9

已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入

r(t)=4+6t+3t2，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：圖（a），Ⅰ型系統(tǒng)

Kp=∞，

Kv=10/4

，Ka=0圖（b），Ⅱ型系統(tǒng)Kp=∞，

Kv=∞

，Ka=10/410s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）﹣+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）﹣+目前一百一十二頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-10設(shè)圖所示系統(tǒng)的輸入信號(hào)r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。解由圖求得系統(tǒng)的特征方程為R(s)-C(s)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖目前一百一十三頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)由特征方程列勞斯表

21+0.5K3KK要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須

K>0,1+0.5K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，當(dāng)0<K<6時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖可知，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為目前一百一十四頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

上述結(jié)果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當(dāng)K>6時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。r(t)=10+5t目前一百一十五頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

對(duì)恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動(dòng)作用下所受到的影響，因而用擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。3.6.4擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差目前一百一十六頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。

計(jì)算系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，同樣可以采用拉氏變換終值定理。例3-11控制系統(tǒng)如圖G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++目前一百一十七頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)試求系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）單位階躍給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)：Kp

=∞

ess=0

（2）單位階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)誤差的拉氏變換為

K1R(s)C(s)﹣+E(s)K2

s(Ts+1)N(s)++目前一百一十八頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，且滿足終值定理的使用條件。擾動(dòng)單獨(dú)作用時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為

（3）根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為目前一百一十九頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)例3-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。（1）Kt=0時(shí)系統(tǒng)的性能?

（2）Kt時(shí)，s,ts變化趨勢(shì)?

x=0.707時(shí),s,ts=？

（3）Kt，r(t)=t，ess變化趨勢(shì)?

x=0.707時(shí),ess=？解.(1)時(shí)

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定！(2)時(shí)(2)時(shí)

(3)目前一百二十頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)3.6.5提高系統(tǒng)控制精度的措施

上面的分析和例題可知：通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以提高系統(tǒng)精度，比如：增加積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或增大開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)；但積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)一般不能超過(guò)2個(gè)，K也不能任意擴(kuò)大，否則會(huì)造成動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。

解決的辦法是引入與給定或擾動(dòng)作用有關(guān)的附加控制作用，構(gòu)成復(fù)合控制系統(tǒng)。例3-12控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中試確定補(bǔ)償通道的傳遞函數(shù)，使系統(tǒng)在單位斜坡給定作用下無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。目前一百二十一頁(yè)\總數(shù)一百三十九頁(yè)\編于六點(diǎn)Gb(