數(shù)值計算方法實驗分析報告

個人收集整理-僅供參考個人收集整理-僅供參考個人收集整理-僅供參考/個人收集整理-僅供參考重慶交通大學學生實驗報告實驗課程名稱數(shù)值計算方法開課實驗室數(shù)學實驗室學院理學院年級專業(yè)班信息與計算科學學生姓名李偉凱學號開課時間至學年第學期評分細則評分報告表述的清晰程度和完整性（分）程序設(shè)計的正確性（分）實驗結(jié)果的分析（分）實驗方法的創(chuàng)新性（分）總成績教師簽名鄒昌文實驗五解線性方程組的直接方法實驗（主元的選取與算法的穩(wěn)定性）問題提出：消去法是我們在線性代數(shù)中已經(jīng)熟悉的。但由于計算機的數(shù)值運算是在一個有限的浮點數(shù)集合上進行的，如何才能確保消去法作為數(shù)值算法的穩(wěn)定性呢？消去法從理論算法到數(shù)值算法，其關(guān)鍵是主元的選擇。主元的選擇從數(shù)學理論上看起來平凡，它卻是數(shù)值分析中十分典型的問題。實驗內(nèi)容：考慮線性方程組編制一個能自動選取主元，又能手動選取主元的求解線性方程組的消去過程。實驗要求：（）取矩陣，則方程有解。取計算矩陣的條件數(shù)。讓程序自動選取主元，結(jié)果如何？（）現(xiàn)選擇程序中手動選取主元的功能。每步消去過程總選取按模最小或按模盡可能小的元素作為主元，觀察并記錄計算結(jié)果。若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實驗的結(jié)果。（）取矩陣階數(shù)或者更大，重復(fù)上述實驗過程，觀察記錄并分析不同的問題及消去過程中選擇不同的主元時計算結(jié)果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用。（）選取其他你感興趣的問題或者隨機生成矩陣，計算其條件數(shù)。重復(fù)上述實驗，觀察記錄并分析實驗結(jié)果。實驗（線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)的估計）問題提出：理論上，線性代數(shù)方程組的攝動滿足矩陣的條件數(shù)確實是對矩陣病態(tài)性的刻畫，但在實際應(yīng)用中直接計算它顯然不現(xiàn)實，因為計算通常要比求解方程還困難。實驗內(nèi)容：中提供有函數(shù)“”可以用來估計矩陣的條件數(shù)，它給出的是按范數(shù)的條件數(shù)。首先構(gòu)造非奇異矩陣和右端，使得方程是可以精確求解的。再人為地引進系數(shù)矩陣和右端的攝動，使得充分小。實驗要求：（）假設(shè)方程的解為，求解方程，以范數(shù)，給出的計算結(jié)果。（）選擇一系列維數(shù)遞增的矩陣（可以是隨機生成的），比較函數(shù)“”所需機器時間的差別.考慮若干逆是已知的矩陣，借助函數(shù)“”很容易給出()的數(shù)值。將它與函數(shù)“()”所得到的結(jié)果進行比較。（）利用“”給出矩陣條件數(shù)的估計，針對（）中的結(jié)果給出的理論估計，并將它與（）給出的計算結(jié)果進行比較，分析所得結(jié)果。注意，如果給出了()和的估計，馬上就可以給出的估計。（）估計著名的矩陣的條件數(shù)。思考題一：（矩陣）設(shè)，其中，，（）對，計算的條件數(shù)；隨增大，矩陣性態(tài)如何變化？（）對，解方程組；設(shè)的最后一個元素有擾動，再求解（）計算（）擾動相對誤差與解的相對偏差，分析它們與條件數(shù)的關(guān)系。（）你能由此解釋為什么不用插值函數(shù)存在定理直接求插值函數(shù)而要用拉格朗日或牛頓插值法的原因嗎？相關(guān)函數(shù)提示：()生成行，列的零矩陣()生成行，列的元素全為的矩陣()生成階單位矩陣()生成行列()上均勻分布的隨機矩陣()返回由向量的元素構(gòu)成的對角矩陣()提取矩陣的下三角部分生成下三角矩陣()提取矩陣的上三角部分生成上三角矩陣()返回矩陣的秩()返回方陣的行列式()返回可逆方陣的逆矩陣[，]()返回方陣的特征值和特征向量()矩陣或向量的范數(shù)()矩陣的條件數(shù)[，，]()選列主元分解()平方根分解()生成階矩陣實驗程序：文件程序為：()('請輸入矩陣的階數(shù)')(*())(())(*())*()('條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：')()[]();[]('請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：')[]((()));;([],:)([],:)();('輸入列所選元素所處的行數(shù)：');([],:)([],:)();();()()(())*();();()()()();()(()()*())();（）⑴取矩陣的階數(shù)，自動選取主元：>>>>請輸入矩陣的階數(shù)條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：⑵取矩陣的階數(shù)，手動選取主元：①選取絕對值最大的元素為主元：>>請輸入矩陣的階數(shù)條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：②選取絕對值最小的元素為主元：>>請輸入矩陣的階數(shù)條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：（）取矩陣的階數(shù)，手動選取主元：①選取絕對值最大的元素為主元：>>請輸入矩陣的階數(shù)條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：②選取絕對值最小的元素為主元：>>請輸入矩陣的階數(shù)條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：（）取矩陣的階數(shù)，手動選取主元：選取絕對值最大的元素為主元：>>請輸入矩陣的階數(shù)條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：選取絕對值最小的元素為主元：>>請輸入矩陣的階數(shù).條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：（）該題目的程序如下所示()('請輸入矩陣的階數(shù)')()*()('條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：')()[]();[]('請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：')[]((()));;([],:)([],:)();('輸入列所選元素所處的行數(shù)：');([],:)([],:)();();()()(())*();();()()()();()(()()*())();\\(○)>>請輸入矩陣的階數(shù)：請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：顯然的是，該問題在主元選取與算出結(jié)果有著很大的關(guān)系，取絕對值大的元素作為主元比取絕對值小的元素作為主元時產(chǎn)生的結(jié)果比較準確，即選取絕對值小的主元時結(jié)果產(chǎn)生了較大的誤差，條件數(shù)越大產(chǎn)生的誤差就越大實驗體會：運用高斯消去法求解線性方程組問題的時候，主元的選取和相應(yīng)的消去法的選取決定了該算法的穩(wěn)定性，選取絕對值大的元素比選取絕對值比較小的元素作為主元時對結(jié)果產(chǎn)生的誤差影響比較小。并且增加條件數(shù)反而對結(jié)果的誤差產(chǎn)生更大的影響。并且在運算中要盡量避免出現(xiàn)運用小數(shù)作為除數(shù)，使數(shù)量級加大，令大數(shù)吃掉小數(shù)的情況發(fā)生。實驗（線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)的估計）問題提出：理論上，線性代數(shù)方程組的攝動滿足矩陣的條件數(shù)確實是對矩陣病態(tài)性的刻畫，但在實際應(yīng)用中直接計算它顯然不現(xiàn)實，因為計算通常要比求解方程還困難。實驗內(nèi)容：中提供有函數(shù)“”可以用來估計矩陣的條件數(shù)，它給出的是按范數(shù)的條件數(shù)。首先構(gòu)造非奇異矩陣和右端，使得方程是可以精確求解的。再人為地引進系數(shù)矩陣和右端的攝動，使得充分小。實驗要求：（）假設(shè)方程的解為，求解方程，以范數(shù)，給出的計算結(jié)果。（）選擇一系列維數(shù)遞增的矩陣（可以是隨機生成的），比較函數(shù)“”所需機器時間的差別.考慮若干逆是已知的矩陣，借助函數(shù)“”很容易給出()的數(shù)值。將它與函數(shù)“()”所得到的結(jié)果進行比較。（）利用“”給出矩陣條件數(shù)的估計，針對（）中的結(jié)果給出的理論估計，并將它與（）給出的計算結(jié)果進行比較，分析所得結(jié)果。注意，如果給出了()和的估計，馬上就可以給出的估計。（）估計著名的矩陣的條件數(shù)。程序代碼：保存文件名為：('')(*())()*()*()*()()()保存文件名為：()[]();[];();()()(())*();();()()();()(()()*())();保存文件名為：()'*;[]();[](^());((()))*((()))保存文件為：(*());()()()保存文件為：('')輸入矩陣的階數(shù)(*());隨機生成一個矩陣();假設(shè)知道方程組的解全為*;()*;()*;;;();()()()((())*())*((())(())()())()（）();()()()實驗結(jié)果及其分析：()>>***的計算結(jié)果為：()()給出對的估計是的理論結(jié)果是：結(jié)果相差：()討論：線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)有著很重要的關(guān)系，既矩陣的條件數(shù)是刻畫矩陣性質(zhì)的一個重要的依據(jù)，條件數(shù)越大，矩陣“病態(tài)”性越嚴重，在解線性代數(shù)方程組的過程中較容易產(chǎn)生比較大的誤差，則在實際問題的操作過程中，我們必須要減少對條件數(shù)來求解，把條件數(shù)較大的矩陣化成條件數(shù)較小的矩陣來進行求解。實驗體會：在本次實驗中，使我們知道了矩陣條件數(shù)對線性代數(shù)方程組求解的影響，條件數(shù)越大，對最后解的影響的越大，矩陣是一個很”病態(tài)”的矩陣，他的條件數(shù)隨著階數(shù)的增加而增大，每增加一階，條件數(shù)就增大一個數(shù)量級，在求解的過程中要盡量避免矩陣實驗六解線性方程組的迭代法實驗（病態(tài)的線性方程組的求解）問題提出：理論的分析表明，求解病態(tài)的線性方程組是困難的。實際情況是否如此，會出現(xiàn)怎樣的現(xiàn)象呢？實驗內(nèi)容：考慮方程組的求解，其中系數(shù)矩陣為矩陣，這是一個著名的病態(tài)問題。通過首先給定解（例如取為各個分量均為）再計算出右端的辦法給出確定的問題。實驗要求：（）選擇問題的維數(shù)為，分別用消去法、迭代法、迭代法和迭代法求解方程組，其各自的結(jié)果如何？將計算結(jié)果與問題的解比較，結(jié)論如何？（）逐步增大問題的維數(shù)，仍然用上述的方法來解它們，計算的結(jié)果如何？計算的結(jié)果說明了什么？（）討論病態(tài)問題求解的算法程序代碼：消去法程序：()('請輸入矩陣的階數(shù)')()構(gòu)造矩陣('條件數(shù)對應(yīng)的范數(shù)是范數(shù)：')()[]();[]('請輸入是否為手動，手動輸入，自動輸入：')[]((()));;([],:)([],:)();('輸入列所選元素所處的行數(shù)：');([],:)([],:)();();()()(())*();();()()()();()(()()*())();迭代法程序：('系數(shù)矩陣的階數(shù):');()構(gòu)造矩陣;();給定解();;*';由給定的解算出相應(yīng)的進行迭代;;;()()();;()()()*()();;;()()()*()();;;迭代程序：('系數(shù)矩陣的階數(shù):');對題中給定的矩陣進行消元();;();();;*';;;()()();;()()()*()();;;()()()*()();;;迭代程序：('系數(shù)矩陣的階數(shù):');('松弛因子：');對題中給定的矩陣進行消元();;();();;*';;;();()()();;()()()*()();;;()()()*()();;()()**();;實驗結(jié)果及其分析：給定各分量為的解，計算出右端作為問題。選擇問題的維數(shù)為時：用消去法求得的解與精確解一致；取初始向量為，用迭代方法迭代出現(xiàn)發(fā)散的不穩(wěn)定現(xiàn)象，無法求解；取初始向量為，用迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，但收斂非常緩慢，當?shù)螖?shù)取得相當大（次）時解仍在精確解附近波動；取初始向量為，用迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，當松弛因子去左右時收斂較迭代快一些，但仍非常緩慢。選擇問題的維數(shù)為時：用消去法求得的解與精確解相差很大，相差的量級。取初始向量為，用迭代方法迭代發(fā)散，無法求解；取初始向量為，用迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，但收斂非常緩慢，迭代次后，算得的值與精確值相差的量級。取初始向量為，用迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，但收斂非常緩慢。從上面的結(jié)果可以看出當病態(tài)問題的階數(shù)升高時作為直接法的消去法又能求解變成不能求解。而和迭代法在階數(shù)升高時仍能求解。但在階數(shù)較低時直接法能求得精確解而迭代發(fā)卻總存在一定的誤差?？梢娭苯臃ㄅc迭代法各有各的優(yōu)勢與不足。關(guān)于病態(tài)問題的求解，主要的方法是對原方程作某些預(yù)處理，以降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)?？梢圆扇⑾禂?shù)矩陣的每一行本別乘上適當常數(shù)的方法。即找到可逆的對角陣和使方程組化為理論上最好選擇對角陣滿足：實驗七非線性方程求根實驗（迭代法、初始值與收斂性）實驗?zāi)康模撼醪秸J識非線性問題的迭代法與線性問題迭代法的差別，探討迭代法及初始值與迭代收斂性的關(guān)系。問題提出：迭代法是求解非線性方程的基本思想方法，與線性方程的情況一樣，其構(gòu)造方法可以有多種多樣，但關(guān)鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的收斂速度。實驗內(nèi)容：考慮一個簡單的代數(shù)方程針對上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如在實軸上取初始值，請分別用迭代（）（）作實驗，記錄各算法的迭代過程。實驗要求：（）取定某個初始值，分別計算（）（）迭代結(jié)果，它們的收斂性如何？重復(fù)選取不同的初始值，反復(fù)實驗。請自選設(shè)計一種比較形象的記錄方式（如利用的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值選取的關(guān)系。（）對三個迭代法中的某個，取不同的初始值進行迭代，結(jié)果如何？試分析迭代法對不同的初值是否有差異？（）線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初始值選取的。比較線性與非線性問題迭代的差異，有何結(jié)論和問題。實驗過程：程序：對于第一個迭代方程的程序：保存為：;;('請輸入第一個函數(shù)的初值：');();;計算直線();計算迭代函數(shù)();[];(,'')('','')('()[()]^')輸出標題([],[],'',[],[],'')([])畫坐標軸[];畫蛛網(wǎng)圖，迭代過程為次()();決定始點坐標()(());決定終點坐標()(());();畫蛛網(wǎng)圖<按任意鍵逐次觀察前次迭代的蛛網(wǎng)圖()();將本次迭代的終點作為下次的始點[()];保存迭代點保存為：()(.*);保存為：()畫一次迭代的蛛網(wǎng)圖，改變調(diào)節(jié)箭頭的大小()()(()());畫出始點(()())終點(()())的有向折線段()();[()()];[()()];();(,'',''); ()(()())();()();([()()],[()()]);(,'','');([()()()],[()()()],'')對于第一個迭代方程的程序運行結(jié)果：（注：由于可以估計出方程的根，故選取根附近的值開始迭代）當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：對于第二個迭代方程的程序：保存為：;;('請輸入第二個函數(shù)的初值：');();;計算直線();計算迭代函數(shù)();[];(,'')('','')('()[()]^')輸出標題([],[],'',[],[],'')([])畫坐標軸[];畫蛛網(wǎng)圖，迭代過程為次()();決定始點坐標()(());決定終點坐標()(());();畫蛛網(wǎng)圖<按任意鍵逐次觀察前次迭代的蛛網(wǎng)圖()();將本次迭代的終點作為下次的始點[()];保存迭代點保存為迭代：()();保存為：()畫一次迭代的蛛網(wǎng)圖，改變調(diào)節(jié)箭頭的大小()()(()());畫出始點(()())終點(()())的有向折線段()();[()()];[()()];();(,'','');()(()())();()();([()()],[()()]);(,'','');([()()()],[()()()],'')對于第二個迭代方程的程序運行結(jié)果：（注：由于可以估計出方程的根，故選取根附近的值開始迭代）當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：當時程序運行如下圖：對于第三個迭代方程的程序：保存為：;;('請輸入第三個函數(shù)的初值：');();;計算直線();計算迭代函數(shù)();[];(,'')('','')('()[()]^')輸出標題([],[],'',[],[],'')([])畫坐標軸[];畫蛛網(wǎng)圖，迭代過程為次()();決定始點坐標()(());決定終點坐標()(());();畫蛛網(wǎng)圖<按任意鍵逐次觀察前次迭代的蛛網(wǎng)圖()();將本次迭代的終點作為下次的始點[()];保存迭代點保存為：()();保存為：()畫一次迭代的蛛網(wǎng)圖，改變調(diào)節(jié)箭頭的大小()()(()());畫出始點(()())終點(()())的有向折線段()();[()()