2023年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編：立體幾何

2023年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何三、解答題AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)〔理〕試題〔WORD版〕〕如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).(=1\*ROMANI)求證:(=2\*ROMANII)AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)〔理〕試題〔含答案〕〕如圖,四棱錐中,,,為的中點(diǎn),.(1)求的長(zhǎng);(2)求二面角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕如圖,在四面體中,平面,.是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且.(1)證明:平面;(2)假設(shè)二面角的大小為,求的大小.AABCDPQM〔第20題圖〕AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)〔理〕卷〔純WORD版〕〕如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點(diǎn),,為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值...COBDEACDOBE圖1圖2【答案】(Ⅰ)在圖1中,易得CDCDOBEH連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知,所以,所以,理可證,又,所以平面.(Ⅱ)傳統(tǒng)法:過作交的延長(zhǎng)線于,連結(jié),因?yàn)槠矫?所以,所以為二面角的平面角.結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而CDOxE向量法圖yzBCDOxE向量法圖yzB向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如下圖,那么,,所以,設(shè)為平面的法向量,那么,即,解得,令,得由(Ⅰ)知,為平面的一個(gè)法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值為.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)〔理〕試題〔含答案〕〕如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).(Ⅰ)證明B1C1⊥CE(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標(biāo)1〔理〕〕如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)證明AB⊥A1C(Ⅱ)假設(shè)平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C與平面BB1CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陜西卷〔理〕〕如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ)證明:A1C⊥平面BB1D1D(Ⅱ)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.【答案】解:(Ⅰ);又因?yàn)?在正方形ABCD中,.在正方形ABCD中,AO=1...(證畢)(Ⅱ)建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題.以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)C為X軸正方向,以O(shè)B為Y軸正方向.那么.由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一個(gè)法向量設(shè)平面OCB1的法向量為.所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷〔數(shù)學(xué)〕〔已校對(duì)純WORD版含附加題〕〕本小題總分值10分.如圖,在直三棱柱中,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn)(1)求異面直線與所成角的余弦值(2)求平面與所成二面角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)〔理〕WORD版含答案〔已校對(duì)〕〕如圖,四棱錐中,與都是等邊三角形.(=1\*ROMANI)證明:(=2\*ROMANII)求二面角的大小.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕如圖5,在直棱柱,,.(=1\*ROMANI)證明:;(=2\*ROMANII)求直線所成角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)〔理〕〔純WORD版含答案〕〕如圖,直棱柱中,分別是的中點(diǎn),.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求二面角的正弦值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考北京卷〔理〕〕如圖,