巧用向量解題

巧用向量解題張建峰高中新教材新增了平面向量的內容并作為獨立的章節(jié)來學習后，就成為高考的一個新內容也是高考的熱點。平面向量在圖象平移、定比分點、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何中應用都很廣泛，下面筆者就此進行探討。一.向量基礎知識向量的數(shù)量積定義：圧‘色=|繃引3訪。向量夾角公式：a與b的夾角為9,貝9 M闊。向量共線的充要條件：b與非零向量a共線O存在唯一的幾亡*，使/加。兩向量平行的充要條件：向量鳥=（乃平行0左莎_心冋二0。向量垂直的充要條件：非零向量區(qū)丄向量不等式：k卅創(chuàng)勻空+創(chuàng)，I訓創(chuàng)勻?創(chuàng)。向量的坐標運算：向量盤=（%乃），Ag曲，貝嚴￡=巧花+”旳。二.向量的應用1.利用向量證明等式對于某些恒等式證明，形式中含有曲厘_於或符合向量的坐標運算形式，可運用向量的數(shù)量積定義和向量坐標運算來證明。例1.已知a、B是任意角，求證：3心一處二皿皿付F—邛。

證明：在單位圓上，以X軸為始邊作角a,終邊交單位圓于A,以x軸為始邊作角B,終邊交單位圓于B,有。A=(d,血⑵，。丑=(C口叨，血旳即—罰二匚oe口即—罰二匚oe口coey?+sincesin/?成立利用向量證明不等式當求解問題中(式子)含有乘積或乘方時,可巧妙地利用向量數(shù)量積坐標表達式心也二冋花+兀兄，\a-b\^\\b\，構造向量解之。例2.陀'血血bG也是正數(shù)由數(shù)量積的坐標運算可得：游血二蠢+危。又因為l^wil^l勺麗十-Jed<勺麗十-Jed<V?-所以成立。利用向量求值對于求值問題，巧妙地運用向量的數(shù)量積定義構造等量關系，求出所需量的值。TOC\o"1-5"\h\zCOSQ+匚?！?—CO￡（a+ =—例3.已知 °，求銳角a、B。(1-cos/7)cosa+sinsina=—-cos/?解：由條件得 2設酬=(l-c：og￡,sin/7)?疋-(cog?sina)=—-cos/?,|??|=^J(l-cos/7)3+sin2=^2-2cosp則 2a=—同理3（因為a、B為銳角）。利用向量求函數(shù)值域巧妙構造向量，可以解決條件最值問題，特別是某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問題，用向量證明更有獨特之處。例4.若^^亠加二十,求x+P的最小值。，求解：構造向量?。ǖ褪袘鮪"(1,1)由期占勻觀|囲，可得=店41+蘭J(h+1)+0_2)血例4.若^^亠加二十,求x+P的最小值。，求解：構造向量小（低市戸n"(1,1)由期占勻觀|囲，可得=店41+蘭J(h+1)+0_2)血所嚴緩當且僅當少苛=旳_227時，斗+丫有最小值°例5.設x是實數(shù)，求C-2乳+2+J宀1°疋+別的最小值。解：因為擰-2+=肛1尸+巴=故可設応=〔^-1,1),h=(5-x,習所以A+創(chuàng)二4^/2所以當x=2時，-2;r+2+-10^+34取得最小值4芒。利用向量解決解析幾何問題平面向量和平面解析幾何是新老教材的結合點，也是近幾年高考所考查的熱點，解此類題應注重從向量數(shù)量積的定義和向量的加減法的運算入手，還應該盡量聯(lián)系向量與解析幾何的共同點，綜合運用解析幾何知識和技巧，使問題有效解決。22例6.過點叭作直線F交雙曲線孟_卩，1于人、B不同兩點，已知TTTOP=OA+OB（1） 求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（2） 是否存在這樣的直線》，使1°日日°劇若存在，求出'的方程；若不存在，說明理由。解：（1）設‘的方程為尸*+習，代入*—當2土1時，設丄01，卄），￡0齊乃）4^+1k2-1k-Ak2 Ak=g+2）+嘰+2）=狀心+也）+4用二百亍+4上二岱再將丁「弋入八1-F得（兀+卯一八4（*）上二°時，滿足（*）式。22當斜率不存在時，易知V◎滿足（*）式，故所求軌跡方程為0+2）=4，其軌跡為雙曲線。當必：±1時，'與雙曲線只有一個交點，不滿足題意。（2）因為〔°曰=1曲I,所以平行四邊形0APB為矩形，OAPB為矩形的充要條件是0A?cS=O，即“+PM二0。f_2, f—21