第18講水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（圓錐擺模型）及其臨界問(wèn)題（原卷版）

第18講水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（圓錐擺模型）及其臨界問(wèn)題1．（江蘇高考）如圖所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過(guò)相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上，不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）A．A的速度比B的大B．A與B的向心加速度大小相等C．懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小一.知識(shí)總結(jié)1．圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)物理量定義、意義公式、單位線速度描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(v)(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)(2)單位：m/s角速度描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(ω)(1)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)(2)單位：rad/s周期物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間(T)(1)T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2π,ω)，單位：s(2)f＝eq\f(1,T)，單位：Hz(3)n＝eq\f(1,T)，單位：r/s向心加速度(1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)(2)方向指向圓心(1)an＝eq\f(v2,r)＝rω2(2)單位：m/s22.圓周運(yùn)動(dòng)各物理量間的關(guān)系3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與變速圓周運(yùn)動(dòng)的區(qū)別與聯(lián)系勻速圓周運(yùn)動(dòng)變速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)線速度的大小不變，角速度、周期和頻率都不變，向心加速度的大小不變線速度的大小、方向都變，角速度變，向心加速度的大小、方向都變，周期可能變也可能不變受力特點(diǎn)所受到的合力為向心力，大小不變，方向變，其方向時(shí)刻指向圓心所受到的合力不總指向圓心，合力產(chǎn)生兩個(gè)效果：①沿半徑方向的分力Fn，即向心力，它改變速度的方向；②沿切線方向的分力Ft，它改變速度的大小運(yùn)動(dòng)性質(zhì)非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)(加速度大小不變，方向變化)非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)(加速度大小、方向都變化)二.圓錐擺模型及其臨界問(wèn)題1.圓錐擺模型的受力特點(diǎn)受兩個(gè)力，且兩個(gè)力的合力沿水平方向，物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2．運(yùn)動(dòng)實(shí)例運(yùn)動(dòng)模型向心力的來(lái)源圖示飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎圓錐擺物體在光滑半圓形碗內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)3．解題方法(1)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，確定向心力來(lái)源。(2)確定圓心和軌道半徑。(3)應(yīng)用相關(guān)力學(xué)規(guī)律列方程求解。4．規(guī)律總結(jié)(1)圓錐擺的周期如圖擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺線與豎直方向夾角為θ。受力分析，由牛頓第二定律得：mgtanθ＝meq\f(4π2,T2)rr＝Lsinθ解得T＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))＝2πeq\r(\f(h,g))。(2)結(jié)論①擺高h(yuǎn)＝Lcosθ，周期T越小，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，θ越大。②擺線拉力F＝eq\f(mg,cosθ)，圓錐擺轉(zhuǎn)得越快，擺線拉力F越大。③擺球的加速度a＝gtanθ。5．圓錐擺的兩種變形變形1：具有相同錐度角的圓錐擺(擺長(zhǎng)不同)，如圖甲所示。由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝eq\f(v2,r)知vA>vB。變形2：具有相同擺高、不同擺長(zhǎng)和擺角的圓錐擺，如圖乙所示。由T＝2πeq\r(\f(h,g))知擺高h(yuǎn)相同，則TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB。6.解決圓錐擺臨界問(wèn)題的技巧圓錐擺的臨界問(wèn)題，主要就是與彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題。(1)繩子松弛或斷開的臨界條件是：①繩恰好拉直且沒(méi)有彈力；②繩上的拉力恰好達(dá)最大值。(2)接觸或脫離的臨界條件是物體與物體間的彈力恰好為零。(3)對(duì)于火車轉(zhuǎn)彎、半圓形碗內(nèi)的水平圓周運(yùn)動(dòng)有兩類臨界情況：①摩擦力的方向發(fā)生改變；②發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。三.例題精講題型一：圓錐擺模型常規(guī)問(wèn)題例1．如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩（繩長(zhǎng)為L(zhǎng)），一端系著質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端懸于O點(diǎn)。重力加速度大小為g，當(dāng)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）A．細(xì)繩的拉力大小為2mω2lB．懸點(diǎn)O到軌跡圓心高度為2gC．小球的向心加速度大小為ωD．小球的線速度大小為2題型二：圓錐擺模型臨界問(wèn)題例2．質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長(zhǎng)為L(zhǎng)，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)繩的張力可能為零B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大C．當(dāng)角速度ω＞gLtanθD．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化四.舉一反三，鞏固訓(xùn)練有一種雜技表演叫“飛車走壁”，由雜技演員駕駛摩托車沿圓臺(tái)形表演臺(tái)的側(cè)壁高速行駛，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，圖中虛線表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h，下列說(shuō)法中正確的是（）A．h越高，摩托車對(duì)側(cè)壁的壓力將越大B．h越高，摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度將越大C．h越高，摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的周期將越小D．h越高，摩托車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力將越大火車軌道的轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，如圖所示。若已知某轉(zhuǎn)彎處軌道平面與水平面夾角為θ，彎道處的圓弧半徑為R。在該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的安全行駛的速度為v，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的安全行駛的速度為v=B．該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的安全行駛的速度為v=C．當(dāng)實(shí)際行駛速度大于v時(shí)，輪緣擠壓內(nèi)軌D．當(dāng)實(shí)際行駛速度小于v時(shí)，輪緣擠壓外軌3D地圖技術(shù)能夠?yàn)闊o(wú)人駕駛汽車分析數(shù)據(jù)，提供操作的指令.如圖所示為一段公路拐彎處的地圖，則（）A．若彎道是水平的，汽車拐彎時(shí)受到重力、支持力、摩擦力和向心力B．若彎道是水平的，為防止汽車側(cè)滑，汽車拐彎時(shí)收到的指令是讓車速大一點(diǎn)C．若彎道是傾斜的，為了防止汽車側(cè)滑，道路應(yīng)為內(nèi)（東北）高外（西南）低D．若彎道是傾斜的，為了防止汽車側(cè)滑，道路應(yīng)為外（西南）高內(nèi)（東北）低如圖所示是利用圓錐擺粗略驗(yàn)證向心力表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)裝置圖，已知小球質(zhì)量為m，小球距懸點(diǎn)的豎直高度為h，小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，用秒表測(cè)得小球運(yùn)動(dòng)n圈的時(shí)間為t，則下列說(shuō)法正確的是（）A．小球受到重力、拉力、向心力B．向心力的表達(dá)式Fn＝m4πC．小球所受的合外力為F合＝mgrD．小球轉(zhuǎn)動(dòng)越快，細(xì)線與豎直方向的夾角越小鐵路在彎道處的內(nèi)、外軌道高度是不同的，已知內(nèi)、外軌道平面與水平面的夾角為θ，如圖所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質(zhì)量為m的火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度等于gRtanθ，則（）A．內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓B．外軌對(duì)外側(cè)車輪輪緣有擠壓C．這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力等于mgD．這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力大于mg如圖所示，一輛汽車正通過(guò)一段彎道公路，視汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（）A．該汽車速度恒定不變B．汽車左右兩車燈的線速度大小相等C．若速率不變，則跟公路內(nèi)道相比，汽車在外道行駛時(shí)的向心力較小D．若速率不變，則跟晴天相比，雨天路滑時(shí)汽車在同車道上行駛時(shí)的向心力較小一球繞直徑勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，球面上有A、B兩點(diǎn)，則（）A．可能vA＜vB，也可能vA＞vBB．A、B兩點(diǎn)的向心加速度都指向球心OC．由a=v2r可知aAD．由a＝ω2r可知aA＜aB如圖所示，轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直于光滑平面，交點(diǎn)O的上方h處固定細(xì)繩的一端，細(xì)繩的另一端拴接一質(zhì)量為m的小球B，繩長(zhǎng)AB＝l＞h，小球可隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)并在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．要使球不離開水平面，轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速的最大值是（）A．12πg(shù)lB．πg(shù)hC．2π（多選）如圖所示，足夠大的水平圓臺(tái)中央固定一光滑豎直細(xì)桿，原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧套在豎直桿上，質(zhì)量均為m的光滑小球A、B用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿及光滑鉸鏈相連，小球A穿過(guò)豎直桿置于彈簧上。讓小球B以不同的角速度ω繞豎直桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0時(shí)，小球B剛好離開臺(tái)面。彈簧始終在彈性限度內(nèi)，勁度系數(shù)為k，重力加速度為g，則（）A．小球均靜止時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為L(zhǎng)-B．角速度ω＝ω0時(shí)，小球A對(duì)彈簧的壓力為mgC．角速度ω0=D．角速度從ω0繼續(xù)增大的過(guò)程中，小球A對(duì)彈簧的壓力不變（多選）如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體A、B、C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B、C的質(zhì)量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A和B、C離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為r、1.5r．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是（）A．B對(duì)A的摩擦力一定為3μmgB．B對(duì)A的摩擦力一定為3mω2rC．轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定滿足ω≤D．轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定滿足ω≤（多選）轉(zhuǎn)筆（PenSpinning）是一項(xiàng)用不同的方法與技巧、以手指來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)筆的休閑活動(dòng)，如圖所示．轉(zhuǎn)筆深受廣大中學(xué)生的喜愛(ài)，其中也包含了許多的物理知識(shí)，假設(shè)某轉(zhuǎn)筆高手能讓筆繞其上的某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列有關(guān)該同學(xué)轉(zhuǎn)筆中涉及到的物理知識(shí)的敘述正確的是（）A．筆桿上的點(diǎn)離O點(diǎn)越近的，做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度越小B．筆桿上的各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬(wàn)有引力提供的C．若該同學(xué)使用中性筆，筆尖上的小鋼珠有可能因快速的轉(zhuǎn)動(dòng)做離心運(yùn)動(dòng)被甩走D．若該同學(xué)使用的是金屬筆桿，且考慮地磁場(chǎng)的影響，由于筆桿中不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，因此金屬筆桿兩端一定不會(huì)形成電勢(shì)差某同學(xué)用如圖甲所示裝置做探究向心力大小與線速度大小的關(guān)系。裝置中光滑水平直桿隨豎直轉(zhuǎn)軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)滑塊套在水平光滑桿上，用細(xì)線將滑塊與固定在豎直轉(zhuǎn)軸上的力傳感器連接，當(dāng)滑塊隨水平桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，細(xì)線的拉力就是滑塊做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力。拉力的大小可以通過(guò)力傳感器測(cè)得，滑塊轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度可以通過(guò)速度傳感器測(cè)得。（1）要探究影響向心力大小的因素，采用的方法是。A．控制變量法B．等效替代C．微元法D．放大法（2）實(shí)驗(yàn)中，要測(cè)量滑塊做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑時(shí)，應(yīng)測(cè)量滑塊到（選“力傳感器”或“豎直轉(zhuǎn)軸”）的距離。若僅多次改變豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，測(cè)得多組力傳感器的示數(shù)F及速度傳感器的示數(shù)v，將測(cè)得的多組F、v值，在圖乙F﹣v2坐標(biāo)軸中描點(diǎn)，請(qǐng)將描出的點(diǎn)進(jìn)行作圖。若測(cè)得滑塊做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝0.2m，由作出的F﹣v2的圖線可得滑塊與速度傳感器的總質(zhì)量m＝kg（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。如圖甲所示是某同學(xué)探究做圓周運(yùn)動(dòng)的物體質(zhì)量、向心力、軌道半徑及線速度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)裝置，圓柱體放置在水平光滑圓盤上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。力傳感器測(cè)量向心力F，速度傳感器測(cè)量圓柱體的線速度v，該同學(xué)通過(guò)保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)半徑不變，來(lái)探究向心力F與線速度v的關(guān)系：（1）該同學(xué)采用的實(shí)驗(yàn)方法為。A．等效替代法B．控制變量法C．理想化模型法（2）改變線速度v，多次測(cè)量，該同學(xué)測(cè)出了五組F、v數(shù)據(jù)，如下表所示：v/（m?s﹣1）1.01.52.02.53.0F/N0.882.003.505.507.90該同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)分析后，在圖乙坐標(biāo)紙上描出了五個(gè)點(diǎn)。①作出F﹣v2圖線；②若圓柱體運(yùn)動(dòng)半徑r＝0.2m