第1課時(shí)　數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式【 知識(shí)精講+備課精思+拓展提升 】 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

§4.1第1課時(shí)數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

第四章數(shù)列問題引入古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將1，4，

9，16等數(shù)稱為正方形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以擺成一個(gè)正方形，如右圖所示：依據(jù)這個(gè)規(guī)律我們很容易就能知道，下一個(gè)正方形數(shù)應(yīng)該是25，再下一個(gè)是36，等等。你知道嗎？通過尋找數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律，可以產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。.新知探索數(shù)列的定義新知探索數(shù)列的定義提示：按照一定的順序排列．新知探索數(shù)列的定義梳理

(1)按照

排列的

稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的

.數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的

(通常也叫做

)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的

……排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的

.(2)數(shù)列的一般形式可以寫成

，簡記為

.一定順序一列數(shù)項(xiàng)第1項(xiàng)首項(xiàng)第2項(xiàng)

第n項(xiàng)a1，a2，a3，…，an，…{an}新知探索數(shù)列的定義注意：(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.(2)符號(hào){an}和an是不同的概念,{an}表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).新知探索數(shù)列的分類[提出問題]問題：觀察上面4個(gè)例子中對(duì)應(yīng)的數(shù)列，它們的項(xiàng)數(shù)分別是多少？這些數(shù)列中從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的大小關(guān)系又是怎樣的？提示：數(shù)列1中有6項(xiàng)，數(shù)列2中有4項(xiàng)，數(shù)列3、4有無窮多項(xiàng)；數(shù)列1中每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，數(shù)列2中的項(xiàng)大小不確定，數(shù)列3中每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，數(shù)列4中每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)．新知探索數(shù)列的分類梳理(1)按項(xiàng)數(shù)分類，項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做

數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做

數(shù)列.(2)按項(xiàng)的大小變化分類，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做

；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做

；各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做

；從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做

.有窮無窮遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列新知探索數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.點(diǎn)睛：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.典例精析題型一：數(shù)列的分類例1下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()解A、B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意.√典例精析題型一：數(shù)列的分類反思與感悟處理數(shù)列分類問題的技巧(1)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng).若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.(2)遞增數(shù)列與遞減數(shù)列①觀察從第2項(xiàng)起，數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的大小關(guān)系，依據(jù)定義進(jìn)行判斷；②由數(shù)列的圖象可知，只要這些點(diǎn)每個(gè)比它前面相鄰的一個(gè)高(低)，則圖象呈上升(下降)趨勢，即數(shù)列遞增(減).典例精析題型二：歸納通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：解(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是

序號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，

偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，典例精析題型二：歸納通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(3)9,99,999,9999；解

(3)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N*.(4)2,0,2,0.(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是2，偶數(shù)項(xiàng)是0，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*.典例精析題型二：歸納通項(xiàng)公式反思與感悟要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化，哪些部分隨序號(hào)的變化而變化，確定變化部分隨序號(hào)變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系.典例精析題型三：數(shù)列的通項(xiàng)公式典例精析題型三：數(shù)列的通項(xiàng)公式反思與感悟要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化，哪些部分隨序號(hào)的變化而變化，確定變化部分隨序號(hào)變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系.典例精析題型四：數(shù)列的圖象例4已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的圖象：(1)an＝(－1)n·n；(2)an＝n2.解

列表法給出這兩個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)：它們的圖象為：n12345an＝(－1)n·n－12－34－5an＝n21491625典例精析題型四：數(shù)列的圖象反思與感悟基于數(shù)列的函數(shù)特點(diǎn)，數(shù)列可以看成以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)，其通項(xiàng)公式可以看成解析式，則數(shù)列也可用列表與圖象來進(jìn)行表示．跟蹤練習(xí)√1.以下四個(gè)數(shù)中,哪個(gè)數(shù)是數(shù)列{n(n+1)}中的一項(xiàng)(

)A.380 B.39 C.32 D.23解析:n(n+1)是這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,即an=n(n+1).∵380=19×20=19×(19+1),∴380是該數(shù)列中的第19項(xiàng),或者令n(n+1)=380,得n=19,是整數(shù),符合題意.故選A.跟蹤練習(xí)√2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是(

)A.19 B.20 C.21D.22解析:觀察數(shù)列可得規(guī)律1+1=2,1+2=3,2