新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)勾股定理知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題

新教八級(jí)冊(cè)股理章識(shí)和型習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：１．勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，b，邊為，么a

勾股定理的由來勾股定理也叫高定理在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股邊稱為弦早三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出勾三，股四五形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方２勾定的明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：

DHF

方法一：正形

正方形A

，

14ab2

，化簡可證．

方法二：

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積角三

角形的面積與小正方形面積的和為大方形面

D積為

a

所以

b

三：

梯形

11(a，c2

，化簡得證

３勾定的用范勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系適用于直角三角形于角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征而應(yīng)用勾股定理時(shí)必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形４勾股理應(yīng)①知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中則a，，a②道直角三角形一邊可得另外兩邊之間數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５勾定的定理如果三角形三邊長a，b，滿足a，么這個(gè)三角是直角三角形，其中c為斜邊①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通“數(shù)轉(zhuǎn)化為形來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和

與較長邊的平方

作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為邊的三角形直角三角形；若

a

，時(shí)以b，三邊的三角形是鈍角三角形若a

，時(shí)以a，c為邊的三角形是銳角三角形；②定理中，，c及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，滿a，么以，為邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)能成斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形６勾數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)中abc為正整數(shù)時(shí)，稱，b，為組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如,4,5；；5,12,13；等③用含字母的代數(shù)式表示勾股數(shù)：

nn

（2,正整數(shù)n,2n為正整數(shù)）,2,m（m為正整數(shù)）７勾定的用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在用勾股定理時(shí)必須把握直角三角形的前提條件了直角三角形中斜和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．８．股理定理應(yīng)勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形在具體推算過程中應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．９勾定及逆定的用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決．常見圖形：

D

C

30°

DB

B

A10互命的念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。二、經(jīng)例精題一直考勾定例１在ABC中⑴已知AC，BC．求的⑵已知17，AC，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理解：⑴

BC

+1.5=（x+1.5=（x）⑵BCAB

AC

題二利勾定測長例1如梯子的底端離建筑物9米么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解：是一道大家熟知的典型“知二求題實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC+BC=AB,即AC+9=15,以AC=144,以AC=12.例2如8），水池離岸邊D點(diǎn)1.5的處，立長著一根蘆葦，出水部分BC的是0.5米，把蘆葦拉到岸，它的頂端好落到，并求水池的深度解：例題一樣先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題可知△中∠ACD=90°在Rt△ACD中只知道CD=1.5是典型的利用勾股定知求一的型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解如圖2，根據(jù)勾股定理AC+CD=AD設(shè)水深A(yù)C=x米那AD=AB=AC+CB=+0.5x

解之得x=2.故水深為2米題三：勾股理逆理用—例3如3，正方形ABCD中，是BC邊的中點(diǎn)F是AB上點(diǎn)，且

FB

AB

那么△是角三角形嗎？為么？解：道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，F(xiàn)B

AB

可以設(shè)AB=4，那么BE=CE=2a,AF=3,BF=,那么在eq\o\ac(△,Rt)AFD、eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長反過來再利用勾股定理逆定理去判DEF是否是直角三角形。

詳細(xì)解題步驟如下：解設(shè)正方形ABCD的邊為4a,則BE=CE=2aa,BF=在eq\o\ac(△,Rt)CDE中，=CD+CE=(4a)+(2a同理EF=,DF=在△中，+DE=5a+20a==DF∴△是角三角形，且∠DEF=90.注本利了次股理是握股理必習(xí)。題四：利用股理線長—例4如圖4，已知方形ABCDAB=8cm,BC=10cm,在邊CD上一點(diǎn)E，eq\o\ac(△,將)折疊使點(diǎn)恰落在BC邊的點(diǎn)，求CE的長.解：題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是詳解過如：解根據(jù)題意得eq\o\ac(△,Rt)ADE≌△∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE設(shè)xcm，則DE=EF=CD－CE=8－x在eq\o\ac(△,Rt)ABF中勾股定理得：AB+BF=AF，8+BF=10，∴∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在eq\o\ac(△,Rt)ECF中勾股定理可得：EF=CE+CF，即8－x=x+4

關(guān)鍵。∴64－xx

=2+16∴x=3(cm),即CE=3cm注本接來可折的度求疊分面。題五利勾定逆理斷直—例5如圖5師想要檢測桌子的表面AD邊否垂直與AB邊D邊他測得AD=80cm，AB=60cmBD=100cmAD邊與AB邊垂嗎怎樣去驗(yàn)證邊與CD邊是垂直？

解：于實(shí)物一般比較大長度不容易用直尺來方測量們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖4，矩形ABCD表桌面形狀，在上截AM=12cm,在AD上取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長度)，結(jié)MN測量MN的長。①如果MN=15,則+AN,所AD與AB邊直；②如果MN=≠15,則9=81+144=225,225,即≠所以A不是角。利用勾股定理解決實(shí)際問題——例6有一個(gè)傳感器制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的方燈剛好打開？解：先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈米是腳先距離燈5米可想而知應(yīng)該是頭先離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示A點(diǎn)示控制燈，BM表人的高度BCMN,BC⊥AN當(dāng)頭B點(diǎn)）離A有5米時(shí)，求BC的長度。已知米所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米即要走到離門4米時(shí)候燈剛好打開。題六：旋轉(zhuǎn)題例如eq\o\ac(△,，)ABC是角三角形BC是邊將ABP繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能eq\o\ac(△,與)AC′合，若AP=3，PP′的長。變式1：如圖，P是邊三角形ABC一點(diǎn)PA=2,PB=

,PC=4,求△ABC的長分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將BPA點(diǎn)逆時(shí)針選6°，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角變式2、如圖，△為等腰直角角形，BAC=90，E、是C上點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究

、CF2EF

間的關(guān)系，并說明理.題七關(guān)于折題例、圖，矩形紙片A的，E為BC上點(diǎn)，將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的.變式：如圖是的線，∠°，把△沿線AD翻，C落在點(diǎn)’的位置，

BC=4,求BC的長題八關(guān)于股理實(shí)中應(yīng)用

例1、如圖，公路MN和路PQ在處交匯，點(diǎn)A處一所中米，點(diǎn)A到路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米內(nèi)會(huì)受到噪音影響，么拖拉機(jī)在公路MN上PN方行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是千/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題九關(guān)于短問例5、如右圖－19壁虎在一座底面半徑為2米高為米油罐的下底邊沿A處發(fā)在自己的正上方油罐邊緣的B處一害蟲決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害（π3.14結(jié)果保留1位數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長為3cm的方，把所有面都分為個(gè)正方形，其邊長都是，設(shè)只螞蟻每秒爬行，它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)的B點(diǎn)最少要花幾秒鐘？三、課訓(xùn)：一、填空題．如圖(，在高，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少________．D

CB

E

DOC

第4題圖

A

圖(

A

F第題圖

B2．種盛飲料的圓柱形杯（如圖得內(nèi)部底面半徑為2.5㎝高為12，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出㎝問吸管要做㎝。已如eq\o\ac(△,，)ABCC點(diǎn)O為ABC的條角平分線的交點(diǎn)⊥OEACOFAB點(diǎn)D、、分別是垂足，且BC=，CA6cm，點(diǎn)O到三邊，AC和BC的離分別等于

cm．在一棵樹的10米高處有兩猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘的A處另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹_____________________。5.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每級(jí)的長寬和高分別為20dm、3dm、

A202dm，和B是這臺(tái)階兩個(gè)相的端點(diǎn)A有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程_____________.

2

3二、選擇題．已知一個(gè)eq\o\ac(△,Rt)的邊長分別為和，則第三邊長的平方（）AB、、7D7或．eq\o\ac(△,Rt)一直角邊的為，另兩邊為自然數(shù)，則eq\o\ac(△,Rt)的周長（）A、132D、不能確定．如果eq\o\ac(△,Rt)兩直角邊的比為∶12則斜邊上的高與斜邊的比為（）A∶B∶12、12D60∶4．已知eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠°若a+b=14cmc=10cm則eq\o\ac(△,Rt)的面積是（）AB、、D、60cm5．等腰三角形底邊上的高為8，長為，則三角形的面積為（）AB、48、40D、32

B

6某市在舊城改造中計(jì)在內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境知種皮每平方米售價(jià)a元，購買這種草皮至少需要（）A450a元B、225a元C、元D、元

A

ED20m

30m150°第6題圖

B

第7題圖

F

C7．已知，如圖長方形ABCD中，，AD=9cm，此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重，折痕為EF，ABE的面積為（）AB、D．在△ABC中AB=15，AC，高AD=12則ABC的長為ABC或32D37或9.如，正方形網(wǎng)格中的ABC若小方格邊長為，則ABC是（）

C

B（）角三角形銳三角形鈍角三角形以上答案都不對(duì)

A三、計(jì)算1、如圖AB是直公路l同的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是300m和，村莊之間的距離為d(已知d=400000m)，現(xiàn)要公路上建一汽車?？空?，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？BAl2、如圖1-3-11，有一塊塑料矩模板ABCD長為10cm，寬為，你手中足夠大的直角三角PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊（