固體物理課件第五章

固體物理課件第五章第一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五本章是從量子角度討論內(nèi)能熱容第二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五晶體的比熱實(shí)驗(yàn)規(guī)律下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來(lái)解釋晶體比熱的規(guī)律。(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB

(N為晶體中原子的個(gè)數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：晶體比熱的一般理論---晶體的平均內(nèi)能第三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。第四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五晶格比熱的

經(jīng)典理論:杜隆--珀替定律根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個(gè)原子，則總自由度為：3N。低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。它是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。但實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。第五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§1.點(diǎn)陣熱容C=dU/dT吸熱—>內(nèi)能增晶格振動(dòng)—>可用格波描述諧振子—>聲子數(shù)（反映格波的能量）。

反之，系統(tǒng)能量=“所有格波：對(duì)應(yīng)的能量（聲子數(shù)）之和”。(聲子數(shù)對(duì)應(yīng)于格波振幅)第六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五任一格波對(duì)應(yīng)于多個(gè)能量值(聲子數(shù))：如何確定該格波所對(duì)應(yīng)的能量值平均聲子數(shù)每個(gè)能量狀態(tài)出現(xiàn)的幾率不同第七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過程統(tǒng)計(jì)規(guī)律：聲子分布滿足波爾茲曼分布條件即能量出現(xiàn)的幾率：與能量稱反比。能量越高（聲子數(shù)越多），出現(xiàn)幾率越低。平均聲子數(shù)第八頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五令：附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過程第九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)色散關(guān)系：在動(dòng)量空間（k空間中）作出色散圖。將所有具相同ω的k連接起來(lái)，則形成一個(gè)平面。該平面稱為等能面，顯然所有在等能面上的k具有相同的（平均）聲子數(shù)。對(duì)平均聲子數(shù)<n>的說(shuō)明式中，<n>只與ωs、T有關(guān)。(與K無(wú)關(guān))

ωs是標(biāo)量。相同的ωs，可同時(shí)對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的

k。K分布的特點(diǎn):均勻分布,每k占有體積一定。第十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五如此，晶格振動(dòng)的總能量=所有諧振子對(duì)內(nèi)能的貢獻(xiàn)：可將各諧振子按照頻率進(jìn)行分類：將同頻率(ω)的格波歸為一組（即ω同，k不同，假設(shè)對(duì)應(yīng)的數(shù)目為數(shù)目為Z(ω)個(gè)）。則內(nèi)能表達(dá)式變?yōu)檎駝?dòng)模式（格波）數(shù)很多，求解不方便只與ω相關(guān)。ω相同平均聲子數(shù)相同相同的ω，不同的k，只是對(duì)應(yīng)的格波不同，但平均聲子數(shù)一樣，可放在一起。第十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五據(jù)此可引入“模式密度”概念：原來(lái)的計(jì)算方法：對(duì)所有格波逐個(gè)累加多且雜！現(xiàn)在的計(jì)算方法：相同的ω放在一起,數(shù)目用因子Z(ω)來(lái)表達(dá)，然后累加相對(duì)簡(jiǎn)潔！第十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.簡(jiǎn)正模式密度D(ω)的定義

定義:在頻率ω附近dω范圍內(nèi)共含有dZ個(gè)簡(jiǎn)正模式，則模式密度定義如下：引入簡(jiǎn)正模式密度后，則熱能可表示為：（有時(shí)也用單位體積、單位頻率間隔中的簡(jiǎn)正模式數(shù)）。它反應(yīng)的是單位頻率

間隔中所含有的簡(jiǎn)正模式數(shù)。指K空間中，ω附近相距dω兩等能面所包圍體積中含有的模式數(shù)第十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.模式密度的計(jì)算方法1).求波矢K的分布密度：k均勻分布2).a、求間距為dω的等能面內(nèi)所包含的體積b、或ω等能面內(nèi)擁有的總共模式數(shù)，再求導(dǎo)第十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個(gè)等頻率面間的波矢數(shù)1、ω表面積S?dk知道ω~k關(guān)系（規(guī)則表達(dá)式—電子）2、VdV～dk關(guān)系隱藏，無(wú)必要第十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五分布密度OR波矢密度簡(jiǎn)單解決！不要弄很復(fù)雜一維三維隱藏，無(wú)必要第十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五色散關(guān)系與模式密度qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。體積元包含的波矢數(shù)目：隱藏，無(wú)必要第十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五由梯度定義知:代入上式得三維一維隱藏，無(wú)必要第十八頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若在某些點(diǎn)（或某些頻率上）出現(xiàn)vg=0的情況，可能不會(huì)是發(fā)散的，但它的一階導(dǎo)數(shù)是發(fā)散的，此時(shí)D(ω)將出現(xiàn)奇點(diǎn)，稱為VanHove奇點(diǎn)。上面的計(jì)算只考慮了色散關(guān)系的一支，求出了模式密度，若有多支色散關(guān)系，則：隱藏，無(wú)必要第十九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五利用上式只要知道色散關(guān)系及聲子等能面的形狀就可求出模式密度，但是在一般情況下利用上式計(jì)算模式密度是非常困難的，上式只不過是一個(gè)理論公式而已。隱藏，無(wú)必要第二十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1：一維模式密度的計(jì)算分布密度×體積(長(zhǎng)度)其中，dZ是指K空間中相隔dω(對(duì)應(yīng)dk)厚度的(等能面)空間中所包含的體積。Vg為群速度，當(dāng)Vg=0，則模式密度發(fā)散，出現(xiàn)一個(gè)奇點(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)叫做一維模式密度的VanHove奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)，晶體的熱學(xué)性質(zhì)要出現(xiàn)反常。第二十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2：三維模式密度的計(jì)算分布密度×體積其中，dV是指K空間中相隔dω厚度等能面中所包含的體積。

顯然，dV與色散關(guān)系函數(shù)(相當(dāng)于等能面)息息相關(guān)！第二十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五假設(shè)ω~k關(guān)系是線性的，即：ω＝ck

例：等能面是球面形狀。

第二十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五可見，色散關(guān)系對(duì)模式密度有直接性的影響。根據(jù)對(duì)色散關(guān)系的不同預(yù)測(cè)情況，兩種常見模型第二十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五(1)、德拜模型(晶體低溫時(shí)的模型)模式密度球體分布德拜對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)(假設(shè)1)：這實(shí)際上是（低溫）長(zhǎng)聲學(xué)支模式將Vg帶入上頁(yè)D(ω)公式即得對(duì)應(yīng)的第二十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五附：若考慮同一振動(dòng)模式(k、ω相同)的不同振動(dòng)方向(縱波、橫波)的影響，則：對(duì)于縱波：對(duì)于橫波：可將三種模式合并:第二十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五函數(shù)圖形如下，是一個(gè)拋物線性函數(shù)：可見，隨ω增加，總模式數(shù)：→∞發(fā)散。第二十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五這個(gè)結(jié)果表明，總的模式數(shù)有無(wú)限多，而與晶體中的模式數(shù)與總自由度相同的結(jié)果相矛盾。第二十八頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五為了解決這個(gè)矛盾，德拜認(rèn)為不是所有的頻率的模式都存在，而存在著一個(gè)頻率上限ωD，稱為德拜截止頻率。超過ωD的振動(dòng)模式是不存在的，而頻率小于ωD的模式可用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理,ωD由總的3N個(gè)聲子模式自由度決定：（為初基晶胞數(shù)）則附：德拜假設(shè)2第二十九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五

kD是晶體中格波的最大波矢，以KD為半徑在波矢空間畫一個(gè)球，稱為德拜球，球內(nèi)應(yīng)包含所有的簡(jiǎn)正模式，即3N個(gè)模式，球外的短波振動(dòng)在晶體中是不存在的，而球內(nèi)的所有模式可用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波來(lái)處理，球內(nèi)的模式數(shù)應(yīng)為晶體中所有的模式數(shù)，即3N個(gè)。與德拜截止頻率相對(duì)應(yīng)的波矢定義為德拜截止波矢:第三十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)一個(gè)三維點(diǎn)陣常數(shù)為a的立方點(diǎn)陣，第1BZ為一邊長(zhǎng)為2π/a的立方體，第1BZ中有N個(gè)K（N為晶體中的初基晶胞數(shù)），按德拜模型（即對(duì)晶體使用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波的色散關(guān)系），K值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的聲子模式數(shù)也是3N個(gè)，因此德拜模型實(shí)際上用一個(gè)球代替了第1BZ，也就是說(shuō)本應(yīng)在第1BZ中取的K值，而現(xiàn)在是在德拜球內(nèi)取值，顯然，德拜球的體積應(yīng)等于第1BZ的體積，根據(jù)此模型，模式密度D(ω)～ω關(guān)系應(yīng)為：第三十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五愛因斯坦對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)：所有的簡(jiǎn)正模式都具有相同的頻率，即ω=ωE，頻率不是波矢的函數(shù)。這實(shí)際上對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)光學(xué)支模式。(2)、愛因斯坦模型若三個(gè)分支都用愛因斯坦模型，則：第三十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五點(diǎn)陣熱容先求晶格總能（不是晶體，不包括電子的貢獻(xiàn)），再對(duì)T求導(dǎo)第三十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若獲得U，則由熱能對(duì)溫度在體積一定時(shí)求偏微商，可得定容熱容2．點(diǎn)陣熱容第三十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五<1>愛因斯坦模型的熱容則愛因斯坦固體的熱能為：ω=ωE，即所有的模式有相同的振動(dòng)頻率課本中為1維，則3NN第三十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五<n>代表溫度T時(shí)一個(gè)振動(dòng)模式上的平均聲子數(shù)：第三十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五1)、愛因斯坦模型的高溫極限(kBT??ωE或T?hωE/kB）：

愛因斯坦熱容Cv～3NKB，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合(杜隆——珀替定律)Cv按指數(shù)規(guī)律急劇下降，但實(shí)際上固體的熱容是按T3規(guī)律下降，而不是指數(shù)下降，這個(gè)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果出入較大，主要是模型過于簡(jiǎn)化，即認(rèn)為所有簡(jiǎn)正模式具有相同的頻率，低溫下一起凍結(jié)，溫度升高時(shí)同時(shí)激發(fā)，因此導(dǎo)致熱容在低溫時(shí)急劇下降。2)、愛因斯坦模型的低溫極限

：，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。第三十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五<2>德拜模型的熱容模式密度：則點(diǎn)陣熱能為:直接導(dǎo)出結(jié)論即可，下頁(yè)ppt及課本（27-29）式無(wú)甚必要第三十八頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五由于?ω、kBT均具有能量的量綱，可令?ω=kBTω可見，在效果上每個(gè)不同的ω均對(duì)應(yīng)于某一溫度的大小當(dāng)ω=ωD時(shí)，所對(duì)應(yīng)的Tω=θ，θ即所謂的德拜溫度德拜溫度是一重要參數(shù)，實(shí)際上對(duì)應(yīng)于固體中所允許的最大KD或ωD的值（即限制條件）.補(bǔ)充：德拜溫度的定義第三十九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五德拜溫度表示固體熱學(xué)性質(zhì)主要參數(shù)。

一般在實(shí)驗(yàn)上不是通過θ求Cv，而是通過測(cè)出Cv求θ，因此若此模型正確的話,θ不應(yīng)是溫度的函數(shù)，但實(shí)際上由于德拜模型是近似模型，θ就是溫度的函數(shù)。Na

θ=158KSiθ=625KPbθ=88K金剛石θ=2230Kθ是由ωD定義，一般為102數(shù)量級(jí)。附：德拜溫度的意義第四十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五回到之前的內(nèi)能表達(dá)式第四十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五把上式?ν

用德拜溫度代替，得：第四十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五1)、德拜模型的高溫極限(T?θ，則x?1），此時(shí)德拜熱容：這時(shí)聲子的量子統(tǒng)計(jì)可用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)去代替。積分第四十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若溫度降低，當(dāng)T<<θ時(shí)，ω高的模式要凍結(jié)，而ω低的模式還處于激發(fā)狀態(tài)，因此德拜溫度ωD也可看做是所有模式都處于激發(fā)狀態(tài)轉(zhuǎn)到某些模式被凍結(jié)的溫度。根據(jù)前面所得熱能和熱容表達(dá)式：2)、德拜模型的低溫極限第四十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五低溫下的熱容：則低溫下的熱能為：多次采用分部積分法：上式中，利用了公式：積分：在低溫情況下，即T?θ時(shí)，則x?1，第四十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五低溫下熱容與溫度的三次方成正比，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)一致，主要原因是它的基本假設(shè)是長(zhǎng)聲學(xué)波模型，在低溫下只有頻率較低的長(zhǎng)波模式才是受熱激發(fā)的，而頻率高的短波模式都已凍結(jié)，在這些模式上布居的聲子數(shù)很少，用線性色散關(guān)系去處理問題，恰好與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的好，任何晶體在低溫下都可用德拜模型處理。

第四十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五

下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型說(shuō)明規(guī)律的由來(lái)：

在波矢空間中以德拜波矢為半徑畫一個(gè)球德拜低溫結(jié)果(Cv與T3成正比)的物理“解釋模型”第四十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五

當(dāng)T?θ時(shí),在德拜球內(nèi)受激發(fā)的模式有?ω≤KBT,即聲子能量小于KBT的才受激發(fā)，若當(dāng)熱能與聲子能量相等時(shí)的聲子波矢為KT(=KBT/?v),

在波矢空間以KT為半徑畫一個(gè)球，此球內(nèi)的模式是受激發(fā)的模式，在溫度T下能受激發(fā)的模式份數(shù)等于兩球體積之比（KT/KD）3這個(gè)比值實(shí)際上就是（T/θ)3?！摺嗟谒氖隧?yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五那么低溫下熱容：在低溫T下，能受激發(fā)的模式數(shù)為每個(gè)模式對(duì)熱能的貢獻(xiàn)都是KBT（屬于經(jīng)典激發(fā)）總的熱能為第四十九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五從以上講述中我們不難看到，固體物理中處理的是有大量粒子存在且粒子之間有強(qiáng)相互作用的體系，不可能精確求解，通常用一些簡(jiǎn)單的物理模型處理問題，簡(jiǎn)單模型包含了復(fù)雜問題的關(guān)鍵所在。因此在處理物理問題時(shí)要注意物理模型的選取，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，固體物理的發(fā)展史也可以說(shuō)是物理模型的演變史。

第五十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2.非簡(jiǎn)諧晶體相互作用第五十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五在這個(gè)近似下，格波都是獨(dú)立的，簡(jiǎn)正模式間無(wú)互作用。只取到平方項(xiàng)，則

簡(jiǎn)諧近似是把原子之間的互作用勢(shì)在平衡位置附近按泰勒級(jí)數(shù)展開：第五十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若考慮展開式的高次項(xiàng)，得到的模式不再是相互獨(dú)立的，此時(shí)也不能再定義獨(dú)立的聲子了，如果非簡(jiǎn)諧項(xiàng)相對(duì)于簡(jiǎn)諧項(xiàng)是一些比較小的量，此時(shí)可近似認(rèn)為格波是獨(dú)立的，但還要考慮格波間的相互作用，即可把高次項(xiàng)作為微擾來(lái)考慮，此時(shí)的聲子氣體就不再是理想氣體.第五十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若原子間的相互作用勢(shì)是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧勢(shì)，則聲子間無(wú)相互作用，沒有能量交換，若果真如此的話，那么一個(gè)晶體就不可能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，由外界干擾而激發(fā)產(chǎn)生的聲子數(shù)不會(huì)變化。但實(shí)際上聲子很快要進(jìn)入熱平衡分布，因此外界干擾而激發(fā)的聲子很快要消失掉，正是由于有非簡(jiǎn)諧作用的存在才可能有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。

第五十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.熱膨脹第五十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若兩個(gè)原子之間的互作用勢(shì)是簡(jiǎn)諧勢(shì)，則其圖形應(yīng)為嚴(yán)格的拋物線，隨振幅的增大，兩原子之間的平均距離不會(huì)增大(平均位移為0)，就不可能有熱膨脹，熱膨脹是由于原子之間互作用勢(shì)是不對(duì)稱（其圖形不是嚴(yán)格的拋物線）而引起的，由于原子間平均距離增大引起了熱膨脹。1.熱膨脹第五十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)（實(shí)際情況）第五十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五在非簡(jiǎn)諧情況下:第一項(xiàng)為簡(jiǎn)諧項(xiàng)，第二項(xiàng)引起勢(shì)能函數(shù)的不對(duì)稱性（即三次方項(xiàng)），本身是負(fù)值，因此勢(shì)能曲線一邊平緩，一邊陡峭。其中c’相當(dāng)于力常數(shù)這樣一個(gè)量，c’是δ的函數(shù)，隨δ的增大c’減小，fδ4表示大振幅下勢(shì)能的減小。再看第一項(xiàng)與第三項(xiàng)的和:第五十八頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五十九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五只考慮勢(shì)能函數(shù)的前三項(xiàng)時(shí)式中按玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，在溫度T下的平均位移為：（其中，x是相對(duì)于平衡位置的位移）第六十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五忽略高次項(xiàng)后得：考慮到位移是小位移，則：分子項(xiàng):第六十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五分母項(xiàng)分子分母分別代入可得原子間平均位移為：可見，<x>與g/c2值有關(guān)，正是由于勢(shì)能函數(shù)曲線的不對(duì)稱性，才導(dǎo)致了的變化。線膨脹系數(shù)：第六十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率第六十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五熱平衡1、聲子數(shù)達(dá)到平衡2、動(dòng)量平衡：各“微小區(qū)域”內(nèi)總動(dòng)量量為0第六十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率單位時(shí)間、單位面積上流過的熱能稱為熱能流密度：（負(fù)號(hào)表示J與dT/dx反向，即J與溫度梯度反向）

這就是熱傳導(dǎo)方程。宏觀角度：第六十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五微觀角度等效行為的說(shuō)明：聲子氣波傳播能量傳播碰撞能量傳遞（聲子吸收）波速(群速)能量傳播速度(群速)波到能量達(dá)到聲子產(chǎn)生聲子氣體通過（聲子通過速度）重新組織不同溫度<n>不同，等效于氣體濃度不一樣第六十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五我們引入聲子平均自由程的概念，即連續(xù)碰撞之間的平均距離，用氣體分子運(yùn)動(dòng)討論聲子對(duì)熱能的輸送。第六十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若lx代表平均自由程，則ΔT為在x方向走過范圍的溫度差，用c代表聲子熱容（一個(gè)聲子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)）。則C=nc（n為聲子濃度）。用v代表x方向聲子的群速度。則單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱流應(yīng)當(dāng)為：（能量傳播）（nvx:單位時(shí)間、單位面積上流過的聲子數(shù)，cΔT--聲子在一次碰撞中放出的熱能）在晶體中相距l(xiāng)x的兩點(diǎn)的溫度差應(yīng)為：第六十八頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五上式中利用了：τ稱為弛豫時(shí)間，即兩次碰撞之間的時(shí)間間隔）由于不同的聲子有不同的群速度值，并且在x、y、z三個(gè)方向V是均分的，考慮到這一點(diǎn)，Vx2則應(yīng)由<Vx2>代表。根據(jù)能量均分：能量均分，簡(jiǎn)言之三方向情況相同第六十九頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五因此對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)聲子:將上式與相比較可得這就是點(diǎn)陣熱導(dǎo)率的表達(dá)式。第七十頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五這是最主要的機(jī)制，也就是說(shuō)格波與格波之間的散射，一般有兩種情況：聲子的平均自由程決定于聲子的碰撞，其主要機(jī)制有：<1>聲子與聲子的碰撞第七十一頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五<2>聲子與樣品中雜質(zhì)、缺陷的碰撞即格波遇到晶體中雜質(zhì)缺陷時(shí)的散射，此時(shí)一般力常數(shù)要發(fā)生變化，對(duì)于純單晶體，這種機(jī)制是很少的。<3>聲子與樣品邊界的碰撞即格波在樣品邊界處的散射（勢(shì)能發(fā)生改變）。若同時(shí)考慮上述三種機(jī)制，則聲子總的自由程為：碰撞幾率：第七十二頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五若溫度T高，則聲子濃度n大，據(jù)玻色分布，在高溫情況下：頻率為ω的聲子數(shù)增大，則la減小，所以高溫下在低溫下：n隨溫度T降低按指數(shù)規(guī)律急劇下降，則la增大很快，當(dāng)溫度T下降到接近0K時(shí)，la→∞溫度的影響第七十三頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五

（D為常數(shù)）la→∞，此時(shí)聲子的平均自由程由決定，倘若試樣非常純凈，lb也很大，則聲子的平均自由程就由樣品的邊界決定，這種情況稱為尺寸效應(yīng)，此時(shí)點(diǎn)陣的熱導(dǎo)率：第七十四頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五聲子之所以進(jìn)入熱平衡分布，使得某一個(gè)區(qū)域的平均聲子數(shù)為<n>，要依靠聲子之間的碰撞，靠非簡(jiǎn)諧效應(yīng).前面我們已經(jīng)得到點(diǎn)陣的熱導(dǎo)率溫度為T時(shí)一個(gè)模式上的平均聲子數(shù)為：3.倒逆過程聲子與聲子在碰撞中交換能量，而聲子與樣品邊界或雜質(zhì)缺陷之間的碰撞是沒有能量交換的，是屬于彈性碰撞，這種碰撞對(duì)實(shí)現(xiàn)熱平衡是沒有貢獻(xiàn)的。第七十五頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩聲子發(fā)生碰撞的波矢選擇條件：G的選擇要使得K3在第1BZ之內(nèi)兩聲子湮沒，一聲子產(chǎn)生，能量守恒：G＝0正規(guī)過程G≠0倒逆過程。第七十六頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五正規(guī)過程對(duì)熱平衡是沒有貢獻(xiàn)的。這就意味著當(dāng)由于外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時(shí)，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，如果沒有這種機(jī)制，聲子就不可能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)碰撞前后的總動(dòng)量保持不變。正規(guī)過程：G=0第七十七頁(yè)，共八十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五正規(guī)過程不會(huì)使聲子團(tuán)定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量衰減，因?yàn)楸M管在碰撞過程中有的聲子湮滅，有的聲子