考點25二項式定理及其應(yīng)用（核心考點講與練）-2023年高考數(shù)學一輪復(fù)習核心考點講與練（新高考專用）原卷版

考點25二項式定理及其應(yīng)用（核心考點講與練）1.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N+)；(2)通項公式：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)增減性二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N+)時，是遞增的當k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N+)時，是遞減的二項式系數(shù)最大值當n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值當n為奇數(shù)時，中間的兩項與取得最大值3.各二項式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.1.與二項展開式有關(guān)問題的解題策略（1）求展開式中的第n項，可依據(jù)二項式的通項直接求出第n項．（2）求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可．（3）已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù)．2.（1）二項式系數(shù)：二項展開式中各項的二項式系數(shù)為：C(k＝0，1，2，…，n)．（2）二項式定理給出的是一個恒等式，對于a，b的一切值都成立．因此，可將a，b設(shè)定為一些特殊的值．在使用賦值法時，令a，b等于多少時，應(yīng)視具體情況而定，一般取“1、－1或0”，有時也取其他值．3.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝．4.二項式定理及通項的應(yīng)用(1)對于二項式定理，不僅要掌握其正向運用，而且應(yīng)學會逆向運用與變形運用.有時先作適當變形后再展開較為簡便，有時需適當配湊后逆用二項式定理.(2)運用二項式定理一定要牢記通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但用二項式定理展開后，具體到它們展開式的某一項時是不相同的，一定要注意順序問題.(3)在通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.2.因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意給字母賦值是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法.賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.求展開式的指定項1.（2021山東師范大學附屬中學高三上期中）在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為65，則常數(shù)項為______.2.（2021吉林省樺甸市四中高三上10月月考）若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（）A. B. C. D.3.（2021新疆克拉瑪依市高三第三次模擬檢測）若二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為128，則該二項式展開式中含有項的系數(shù)為（）A.1344 B.672 C.336 D.1684．（2021安徽省懷寧中學高三上模擬測試）的展開式中項的系數(shù)為（）A.140B．C．D.11205.（2021北京市第十三中學高三上期中）在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.二項式系數(shù)的性質(zhì)或各項系數(shù)1．若二項式的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值的和為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（）A．B．C．D．2.（2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習）已知的展開式中各項系數(shù)的和為3，則該展開式中常數(shù)項為（）A.80 B.160 C.240 D.320二項式系數(shù)的性質(zhì)及各項系數(shù)和1.．（多選題）若，則下列選項正確的是（）A．B．C．D．2.已知，則（）A. B.C. D.1.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅰ））的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A.5 B.10C.15 D.202.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅲ））的展開式中常數(shù)項是__________（用數(shù)字作答）．一、單選題1.（2022·全國·模擬預(yù)測）在的展開式中，記項的系數(shù)為，若，則展開式中所有項的系數(shù)和為（）A.648 B.1296 C.1944 D.38882.（2022·山東淄博·一模）若，則（）A.-448 B.-112 C.112 D.4483.（2022·福建漳州·一模）已知二項式的展開式的所有項的系數(shù)和為32，則的展開式中常數(shù)項為（）A. B. C. D.二、多選題4.（2022·福建龍巖·一模）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（）A.展開式共有7項 B.二項式系數(shù)最大的項是第4項C.所有二項式系數(shù)和為128 D.展開式的有理項共有4項5.（2022·全國·模擬預(yù)測）若，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，、為整數(shù)，則B.是正整數(shù)C.是的小數(shù)部分D.設(shè)，若、為整數(shù)，則6.（2022·河北·模擬預(yù)測）已知的展開式的常數(shù)項為16，則（）A. B. C.展開式中各項的系數(shù)之和為216 D.展開式中的系數(shù)為127.（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，則（）A. B.C. D.三、填空題8.（2022·海南·模擬預(yù)測）在的展開式中，的系數(shù)是___________.9.（2022·福建漳州·二模）已知的展開式中的系數(shù)為____________10.（2022·天津·一模）在的展開式中，的系數(shù)是___________.11.（2022·北京·模擬預(yù)測）在的展開式中，常數(shù)項為______.（用數(shù)字作答）12.（2022·湖南·雅禮中學一模）展開式中的常數(shù)項為______.13.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，若，則___________.14．（2022·北京·二模）二項式的展開式中的系數(shù)為21，則__________.15．（2022·廣東湛江·二模）的展開式中常數(shù)項為___________.16．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)，則______．17．（2022·浙江·模擬預(yù)測）若的二項展開式中各項的二項式系數(shù)和為64，則___________；展開式中常數(shù)項為___________.18．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）(1)若數(shù)列的通項公式為，則該數(shù)列中的最小項的值為__________．(2