數(shù)學(xué)第一學(xué)期

§2.1導(dǎo)數(shù)的概念－內(nèi)容回顧還可記為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:時(shí),切線方程:x=x0;法線方程:y=y0.時(shí),切線方程:

y=y0;法線方程:x=x0.=A=A分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，…f(x)在x0處可導(dǎo)已學(xué)求導(dǎo)公式:可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：反之不真．f(x)在x0處連續(xù);f(x)在x0處可導(dǎo)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

§2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則

第二章

一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:設(shè),則例如,(2)證:

設(shè)則有推論:(C為常數(shù))拼湊出u,v的導(dǎo)數(shù)定義(2)另證:

設(shè)則有(3)用插項(xiàng)的方法證:

見(jiàn)教材(v≠0)推論:(C為常數(shù))證:

設(shè)則有例1.解:例2.求證證:類(lèi)似可證:反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式…對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此其作用是…例3.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類(lèi)似可求得利用,則2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),證:在點(diǎn)

u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.例4.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)例5.設(shè)解:若μ允許x<0,若μ允許x=0(μ>0),在x=0處用定義考察.其中μ=1時(shí)，…；μ>1時(shí)，…；μ<1時(shí)，不可導(dǎo)．例6.設(shè)求解:思考:

若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P95)2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)例7.求解:例8.設(shè)解:求所以不存在(錯(cuò)誤)=0(錯(cuò)誤)事實(shí)上=…=0.內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則(見(jiàn)P95)注意:1)2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).1.設(shè)其中在因故正確解法:時(shí),下列做法是否正確?在求處連續(xù),思考與練習(xí)所以可導(dǎo)的充要條件為：可導(dǎo)的充要條件是()．２.３.設(shè)求解:

方法1

利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2

利用求導(dǎo)公式.作業(yè)P972(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);101.設(shè),問(wèn)a

取何值時(shí),f(x)在上可導(dǎo),并求出解:故時(shí)此時(shí)f(x)在上可導(dǎo),顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖冢瑒t有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).2.設(shè)故可導(dǎo),且為偶函數(shù).證明:為奇函數(shù).證：因?yàn)樗?.設(shè)為奇函數(shù).在的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)充要條件是下列四個(gè)極限中的[

]存在.(88年考研)4.設(shè)B在5.設(shè)D的某鄰域內(nèi)有