第08講函數(shù)的奇偶性及周期性（解析版）

第8講函數(shù)的奇偶性及周期性1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．考點1函數(shù)的奇偶性[名師點睛]1.函數(shù)具有奇偶性包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域．(2)判斷f(x)與f(－x)的關(guān)系．在判斷奇偶性時，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．2.利用函數(shù)奇偶性可以解決的問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出．(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖像：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖像．(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值．[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.（4）f(x)＝【解】（1）由得x＝±3.∴f(x)的定義域為{－3，3}，此時f(x)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．（2）由得－1<x≤1.∵f(x)的定義域(－1，1]不關(guān)于原點對稱．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（3）由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域為[－2，0)∪(0，2]，關(guān)于原點對稱．此時，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．（4）當(dāng)x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．2．（2022·山東·青島二中高三期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R且滿足是奇函數(shù)，則f（2）=（

）A．－1 B．1 C．0 D．2【答案】C【解析】令，因為為奇函數(shù)，所以，故選：C.3．（2022·河南·高三階段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即．當(dāng)時，，．故選：C4．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由為奇函數(shù)，所以，所以，可得，解得，當(dāng)時，的定義域為，符合題意，當(dāng)時，的定義域為符合題意，故選：D[舉一反三]1．（2022·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1)【答案】C【解析】的圖象是由的圖象向右平移1個單位得出的，因此其圖象關(guān)于點對稱，只有把的的圖象向左平移1個單位，圖象才會關(guān)于原點對稱，所以只有，是奇函數(shù)．故選：C．2．（2022·山東菏澤·高三期末）設(shè)函數(shù)，的定義域分別為F，G，且.若對任意的，都有，則稱為在G上的一個“延拓函數(shù)”.已知函數(shù)，若為在上的一個延拓函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱對于選項A：是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不滿足條件，A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，無意義，則定義域不滿足條件，B錯誤；對于選項C：是偶函數(shù)，當(dāng)時，，滿足條件，C正確；對于選項D：當(dāng)時，無意義，則定義域不滿足條件，D錯誤；故選：C3．（2022·江蘇省昆山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：若為奇函數(shù)，則，令，則，即有，又為偶函數(shù)，可得，令，則；故選：C．4．（2022·北京四中高三階段練習(xí)）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【解析】由奇函數(shù)得，而得故選：C5．（2022·江蘇·二模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，所以，即解之得，經(jīng)檢驗符合題意.則由，可得故的解集為，故選：B.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，滿足，則（

）A． B． C． D．6【答案】B【解析】可化為：.記，定義域為R.因為，所以在R上單調(diào)遞增.又，所以為奇函數(shù).所以由可得：，所以2.故選：B7．（2022·湖北武漢·二模）若一個偶函數(shù)的值域為，則這個函數(shù)的解析式可以是___________.【答案】（答案不唯一）【解析】取，函數(shù)的定義域為且關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù).，即所以函數(shù)的值域為.故答案為：（答案不唯一，其它正確答案同樣給分）.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則_______．【答案】－3【解析】∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴m＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，故答案為：－3．9．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則___________.【答案】【解析】由題意，函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，則有，所以，可得.故答案為：10．（2022·上海寶山·二模）如果函數(shù)是奇函數(shù)，則__．【答案】【解析】設(shè)，.故答案為：11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.【解】（1）由?x2＝1?x＝±1，故函數(shù)f(x)的定義域為{－1，1}，關(guān)于原點對稱，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（2）因為f(x)有意義，則滿足≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)．（3）因為所以－2≤x≤2且x≠0，所以定義域關(guān)于原點對稱．又f(－x)＝＝，所以f(－x)＝f(x)．故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．12．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【解】(1)滿足，，.(2)由題意知，.當(dāng)時，.由是奇函數(shù)，，綜上，在上，13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，解得，.考點2函數(shù)的周期性[名師點睛]1．判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．2．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．[典例]1．（多選）（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）已知是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．最小正周期為4 B．C． D．【答案】BCD【解析】因為是偶函數(shù)，所以，又因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以的周期為，故A錯誤；又當(dāng)時，，所以，選項B正確；，選項C正確；，選項D正確.故選：BCD.2．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且當(dāng)時，，則______．【答案】【解析】因為，則，故可得，故的一個周期為，則，對，令，故可得.即.故答案為：.[舉一反三]1．（2022·湖北武漢·二模）定義在上的函數(shù)滿足，則下列是周期函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，定義在上的函數(shù)滿足，所以，所以是周期為的周期函數(shù).故選：D2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定義域為的偶函數(shù)滿足，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】解：因為函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，所以，又因為，所以，則，即，所以周期為，因為，，故選：C3．（2022·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且，則（

）A．2019 B．3 C．-3 D．0【答案】D【解析】因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，令x=0得：，即.因為，所以為周期T=3的周期函數(shù)，所以.故選：D4．（2022·江蘇·二模）已知是定義域為R的偶函數(shù)，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函數(shù)，則＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【解析】為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，即，即，即，關(guān)于對稱，又f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期為，∴，.故選：D.5．（多選）（2022·河北·模擬預(yù)測）若函數(shù)（）是周期為2的奇函數(shù)．則下列選項一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．2是函數(shù)的一個周期C．D．【答案】AC【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故A正確；函數(shù)是周期為2，所以的周期為4，故B錯誤；函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，，故C正確；，無法判斷的值，故D錯誤.故選：AC.6．（多選）（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知定義在上的單調(diào)遞增的函數(shù)滿足：任意，有，，則（

）A．當(dāng)時，B．任意，C．存在非零實數(shù)，使得任意，D．存在非零實數(shù)，使得任意，【答案】ABD【解析】對于A，令，則，即，又，；令得：，，，，則由可知：當(dāng)時，，A正確；對于B，令，則，即，，由A的推導(dǎo)過程知：，，B正確；對于C，為上的增函數(shù)，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，不存在非零實數(shù)，使得任意，，C錯誤；對于D，當(dāng)時，；由，知：關(guān)于，成中心對稱，則當(dāng)時，為的對稱中心；當(dāng)時，為上的增函數(shù)，，，，；由圖象對稱性可知：此時對任意，，D正確.故選：ABD.7．（2022·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)是以π為周期的奇函數(shù)，且，那么___________．【答案】【解析】由題可知，.故答案為：.8．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝2x，則＝________.【答案】－1【解析】因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f＝－f＝－f＝－1.故答案為：-1考點3函數(shù)的對稱性[名師點睛](1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖像關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱．[典例]1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模）定義在R上的函數(shù)滿足以下三個條件：①對于任意的實數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；③對任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：由題意，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又，所以，即，因為，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，，因為，且，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為對任意的，，，都有成立，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，故選：B.2．（2022·福建福州·三模）定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列選項中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則必有，所以，,,又因為滿足，取，所以，，，則，取，則，A對；故選：A[舉一反三]1．（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）若冪函數(shù)滿足，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．是單調(diào)函數(shù)C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于原點對稱【答案】C【解析】由題意得，即，故，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以，因此方程有唯一解，解為，因此，所以不是周期函數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)，關(guān)于點對稱，故選：C.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可得，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知，.由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合在上單調(diào)遞增可得在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：C3．（2022·山西太原·二模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線x=1對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】C【解析】因為，，所以，所以A不正確；因為，，所以，故B不正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故C正確；在的圖象上取一點，則其關(guān)于點的點為，因為，所以點不在函數(shù)的圖象上，故的圖象不關(guān)于點對稱，故D不正確.