2021年福建省莆田市高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷(二模)解析版

2021年福建省莆田市高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試卷（二模）已知集合，，則A. B.

C. D.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則A.10 B. C.8 D.“平均增長量”是指一段時間內(nèi)某一數(shù)據(jù)指標(biāo)增長量的平均值，其計(jì)算方法是將每一期增長量相加后，除以期數(shù)，即如圖是我國年GDP數(shù)據(jù)，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，年我國GDP的平均增長量為A.萬億元 B.萬億元 C.萬億元 D.萬億元已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則A.2 B.6或 C.或10 D.2或已知等差數(shù)列滿足，則的值為A. B.6 C. D.12甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開往“黃金沙灘“站方向的3路公交車線路圖如圖所示甲將在“供水公司”站之前的任意每一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車.假設(shè)每人自“管委會”站開始在每一站點(diǎn)下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為

A. B. C. D.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象大致如圖所示，則A. B. C. D.若非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則與最接近的整數(shù)是A.3 B.4 C.5 D.6在直三棱柱中，各棱長均為2，E，F(xiàn)分別為線段AB，的中點(diǎn)，則A.平面平面

B.

C.直線AF和所成角的余弦值為

D.該棱柱外接球的表面積為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn).在雙曲線的右支上存在點(diǎn)P滿足，且線段的中點(diǎn)B在y軸上，則A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的方程可以是

C. D.的面積為若函數(shù)，則A.是周期函數(shù) B.在上有4個零點(diǎn)

C.在上是增函數(shù) D.的最小值為看連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間I上的任意n個點(diǎn)，，…，，恒有，則稱在Ⅰ上滿足性質(zhì)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足性質(zhì)M，且過點(diǎn)，，，，的圖象與線段AD圍成封閉圖形的面積記為，則A.

B.可以為

C.

D.設(shè)，，為單位向量，且，則與夾角的余弦值是______.在的展開式中，若x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則______.“敕勒川，陰山下.天似穹廬，籠蓋四野.”的特征，詩中的“穹廬”即“氈帳”，屋頂近似圓錐，為了烘托節(jié)日氣氛，計(jì)劃在屋頂安裝燈光帶.某個屋頂?shù)膱A錐底面直徑長8米，母線長6米，其中一條燈光帶從該圓錐一條母線的下端點(diǎn)開始，沿側(cè)面經(jīng)過與該母線在同一軸截面的另一母線的中點(diǎn)，環(huán)繞一圈回到起點(diǎn)，則這條燈光帶的最短長度是______米.已知函數(shù)，當(dāng)______時，的最小值為______.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，

求的值；

求的周長.

在①，且；②，，成等差數(shù)列，且；③為常數(shù)這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.

問題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，_______，其中

求的通項(xiàng)公式；

記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：

已知正方形ABCD的邊長為2，沿AC將折起至位置如圖，G為的重心，點(diǎn)E在邊BC上，且

證明：平面PAB；

若，求二面角的余弦值.

某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有A、B兩個等級、三道工序的加工結(jié)果直接決定該儀器的產(chǎn)品等級：三道工序的加工結(jié)果均為A級時，產(chǎn)品為一等品；第三工序的加工結(jié)果為A級，且第一、第二工序至少有一道工序加工結(jié)果為B級時，產(chǎn)品為二等品；其余均為三等品.每一道工序加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤單位：萬元如表二所示.

表一工序第一工序第二工序第三工序概率表二等級一等品二等品三等品利潤2385用表示一件產(chǎn)品的利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

因第一工序加工結(jié)果為A級的概率較低，工廠計(jì)劃通過增加檢測成本對第一工序進(jìn)行改良，假如改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加萬元即每件產(chǎn)品利潤相應(yīng)減少x萬元時，第一工序加工結(jié)果為A級的概率增加問該改良方案對一件產(chǎn)品利潤的期望是否會產(chǎn)生影響？并說明理由.

曲線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比等于，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，

求C的方程；

求證：內(nèi)切圓的圓心在定直線上.

函數(shù)，

若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

證明：當(dāng)時，

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：集合，

又或，

所以

故選：

先分別求出集合A，B，然后利用集合交集的定義求解即可．

本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】B

【解析】解：，

，

，

則，

故選：

利用復(fù)數(shù)的原式法則、模的計(jì)算公式即可得出．

本題考查了復(fù)數(shù)的原式法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】C

【解析】解：當(dāng)時，

，

故選：

由已知圖中的數(shù)據(jù)分別求出四期的增長量，作和后除以4得答案即可．

本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】D

【解析】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，

圓的圓心為，半徑為3，

由準(zhǔn)線與圓相切，可得，

解得或，

故選：

求得拋物線的準(zhǔn)線方程，圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件，可得p的方程，解方程可得所求值．

本題考查拋物線和圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓相切的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】A

【解析】解：，

，解得

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

則

故選：

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】C

【解析】解：甲、乙下車的所有可能情況有：，

若乙在管委會站下車，則甲在興海池至北埭東環(huán)站任意一站下車，共有7種可能；

若乙在地稅分局站下車，則甲在興海池至北埭東環(huán)站任意一站下車，共有6種可能；

…

乙在管委會站下車，則甲在興海池至北埭東環(huán)站任意一站下車，共有7種可能；

蓮池沙灘站下車，則甲在興海池至北埭東環(huán)站下車，共有1種可能．

甲比乙后下車的概率為：

故選：

先求出基本事件總數(shù)，再分類討論乙的下車情況，由此能求出甲比乙后下車的概率．

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)，

則，

由圖象可知，函數(shù)先遞增，再遞減，然后再增，且當(dāng)時，取的極小值，

函數(shù)既有即大值，也有極小值，

有兩個根，即，

，

，，且，

又，則，

又，

，

，

故選：

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及結(jié)合圖象中的函數(shù)單調(diào)性的可得a，b，c的大小關(guān)系．

本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)，則，，，

所以，

故選：

設(shè)，則，，，然后利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及基本不等式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．

9.【答案】ABD

【解析】解：在直三棱柱中，各棱長均為2，E，F(xiàn)分別為線段AB，的中點(diǎn)，

對于A，，，，，

平面平面，故A正確；

對于B，，，，AB，平面，

平面，平面，，故B正確；

對于C，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EC為y軸，EF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，

設(shè)直線AF和所成角為，

則，

直線AF和所成角的余弦值為，故C錯誤；

對于D，過的重心G作平面ABC的垂線GO，在GO上取，

則O是該棱柱外接球的球心，連接OC，

，球半徑，

該棱柱外接球的表面積為，故D正確．

故選：

對于A，由，，得平面平面；對于B，由，，得平面，從而；對于C，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EC為y軸，EF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線AF和所成角的余弦值為；對于D，過的重心G作平面ABC的垂線GO，在GO上取，則O是該棱柱外接球的球心，連接OC，求出球半徑，由此能求出該棱柱外接球的表面積．

本題考查命題真假的判斷，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．

10.【答案】AC

【解析】解：如圖，，，

為線段的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，，

，

由雙曲線定義可得，，

設(shè)，則，，

，即，

又，，則，故A正確；

，則，雙曲線的漸近線方程為，

選項(xiàng)B的漸近線方程為，故B錯誤；

對于C，為的中點(diǎn)，，

則，即，

即，①

而，兩邊平方并整理得，，②

聯(lián)立①②可得，，，即，故C正確；

，故D錯誤．

故選：

由已知可得，設(shè)，再由已知結(jié)合雙曲線定義可得a，b，c與m的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率及漸近線方程，從而判斷A與B；由O為的中點(diǎn)，得，兩邊平方后結(jié)合雙曲線定義聯(lián)立求得判斷C；進(jìn)一步求出的面積判斷

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

11.【答案】BC

【解析】解：函數(shù)，

對于A：函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯誤；

對于B：，令，在上，

求得，，，，故B正確；

對于C：當(dāng)時，，

所以，

由于，所以且，故，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D：由于，

當(dāng)時，，故D錯誤．

故選：

直接利用函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上滿足性質(zhì)M，

且過點(diǎn)，，，，

如圖所示：

所以：，故A正確，

由于函數(shù)的圖像比線段AB要低，第一條邊比線段CD要低，就是凹形，

所以的圖象與線段AD圍成的封閉圖形面積要大于梯形ABCD的面積，

即，故C正確；

在上有單調(diào)遞增部分，故B錯誤；

由于函數(shù)的圖象比線段BC低，是凹的，所以不一定小于2，故D錯誤．

故選：

直接利用信息關(guān)系式，函數(shù)的性質(zhì)，凹函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷A、B、C、D的結(jié)論．

本題考查的知識要點(diǎn)：主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，

若，則有，

變形可得：，

則有，

故答案為：

根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，由，變形可得，變形可得的值，即可得答案．

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】5

【解析】解：在的展開式中，若x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64，

設(shè)…，

令，則，①

令，則；②

①-②得，，，

解得，

故答案為：

設(shè)出解析式，給展開式中的x分別賦值1，，可得兩個等式，兩式相減，再除以2得到答案．

本題考查了二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題，可設(shè)出解析式，用賦值法代入特殊值，相加或相減即可，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：將側(cè)面沿母線SA展開，A點(diǎn)對應(yīng)于點(diǎn)，軸截面對應(yīng)的另一條母線為SB，SB的中點(diǎn)為C，連接AC、，

則為燈光帶的最短長度，如圖所示：

因?yàn)椋酌鎴A的直徑為8，則半徑為4，

所以，所以，

又，由余弦定理得，

解得，所以，

所以燈光帶的最短長度為米

故答案為：

將側(cè)面沿母線SA展開，A點(diǎn)對應(yīng)于點(diǎn)，軸截面對應(yīng)的另一條母線為SB，SB的中點(diǎn)為C，連接AC、，為燈光帶的最短長度，結(jié)合圖形計(jì)算即可．

本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖以及余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

16.【答案】

8

【解析】解：設(shè)：，

所以，

所以，

令，整理得，解得或，

當(dāng)時，，故函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，故函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，

即，解得時，函數(shù)的最小值為

故答案為：

首先利用換元法，對函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行變換，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．

本題考查的知識要點(diǎn)：換元法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由，得，

，，

，，，，

，

故，

則；

，，解得：，

由得：，故，

由，解得：，

由余弦定理得：，

則，故，

故的周長是

【解析】根據(jù)A，B的關(guān)系求出，根據(jù)同角的基本關(guān)系求出，，從而求出的值；

根據(jù)正弦定理以及余弦定理求出三角形的三邊長，從而求出三角形的周長即可．

本題考查了正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查平面向量問題，是中檔題．

18.【答案】解：若選條件①：

由可得：，

，，即，

又，

數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，

；

若選條件②：

，，成等差數(shù)列，

，即，即，即，

，，

又，，

，

，

數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，

；

若選條件③：

為常數(shù)，

當(dāng)時，有，兩式相減整理得：，

又，

數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，

；

證明：由可得：，，

…，

又…，

兩式相減得：…，

整理得：，

，

又，

，故在上單調(diào)遞增，

，

【解析】若選條件①：先由所選條件推導(dǎo)出：，再由即可說明數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)公式；

若選條件②：先由所選條件推導(dǎo)出：，然后求得，從而有，即可說明數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)公式；

若選條件③：先由所選條件推導(dǎo)出：，進(jìn)而有數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)公式；

先由求得，進(jìn)而求得，再利用錯位相減法求得其前n項(xiàng)和，最后利用單調(diào)性證明結(jié)論即可．

本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義及基本量的計(jì)算、錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用、單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．

19.【答案】證明：連結(jié)CG交AP于點(diǎn)F，連結(jié)GE，BF，

因?yàn)镚為的重心，所以，

又因?yàn)椋裕?/p>

故，又平面PAB，平面PAB，

故平面PAB；

解：因?yàn)?，，所以?/p>

又在中，F(xiàn)為AP的中點(diǎn)，

所以為等腰三角形，所以，

延長PG交AC于點(diǎn)O，則，

所以，所以，

又因?yàn)椋?/p>

所以O(shè)B，OC，OP互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，，

因?yàn)镋為BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，

因?yàn)镚為的重心，故，

設(shè)平面GEC的法向量為，

因?yàn)椋?/p>

故，則，

令，則，

同理可得平面AEC的法向量為，

則有

故二面角的余弦值為

【解析】連結(jié)CG交AP于點(diǎn)F，連結(jié)GE，BF，利用重心的性質(zhì)以及相似比的性質(zhì)，可得，由線面平行的判定定理證明即可；

利用等腰三角形、正方形的性質(zhì)以及勾股定理，可證明OB，OC，OP互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可．

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面平行的判定定理的應(yīng)用，在求解空間角的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．

20.【答案】解：依題意，一等品的概率為，

二等品的概率為，

三等品的概率為，

所以的分布列如下：

238

5

P

的數(shù)學(xué)期望萬元；

由題意，改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加，

第一工序加工結(jié)果為A級的概率增加，

一等品概率為，

二等品概率為

，

三等品概率為，

而一件一等品利潤變?yōu)槿f元，二等品利潤變?yōu)槿f元，三等品利潤變?yōu)槿f元，

所以

，

因?yàn)?，所以萬元，

所以改良方案對一件產(chǎn)品利潤的期望會產(chǎn)生影響，降低了利潤期望．