2023高一立體幾何15種題型方法全解+二級結(jié)論+高考題訓(xùn)練

2023高一立體幾何15種題型方法全解+二級結(jié)論+高考題訓(xùn)練高一立體幾何15種題型方法全解+二級結(jié)論+高考題訓(xùn)練15種基本題型【題型一】平行1：四邊形法證線面平行【題型二】平行2：中位線法證線面平行【題型三】平行3：做平行平面法證線面平行【題型四】平行4：難題--線面平行探索型【題型五】平行5：證面面平行【題型六】平行：難題面面平行探索性題型【題型七】垂直1：線面垂直【題型八】垂直2：面面垂直【題型九】垂直3：難題--垂直探索性題型【題型十】垂直4：翻折中的垂直【題型十一】體積1：常規(guī)求法和等體積轉(zhuǎn)化型【題型十二】體積2：難題多面體割補型【題型十三】體積3：難題--兩部分體積比型【題型十四】體積4：難題--動點型【題型十五】體積5：難題--最值型【題型一】平行1：四邊形法證線面平行【典例分析】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，CD的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)取中點G，連接FG，，證四邊形是平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定即可推理作答.（1）在正方體中，取中點G，連接FG，，如圖，而F是CD的中點，則，，又E是的中點，則，，因此，，，四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，平面.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律1.利用平移法做出平行四邊形2.利用中位線做出平行四邊形【變式演練】1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中點.（1）求證：平面PAD；（2）若，求三棱錐P-ACE的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取PA的中點F，連接EF，DF，利用平行四邊形證明，再由線面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)等體積法知，即可由棱錐體積公式求解.（1）取PA的中點F，連接EF，DF，∵點E，F(xiàn)分別為PB，PA的中點，∴，，又∵，，∴，，∴四邊形EFDC是平行四邊形，∴，又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；2.如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【分析】（1）只要證明AN所在平面ANE與平面PBC平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法計算二面角的余弦值；（3）用向量法計算直線與平面成角的正弦值，然后列方程求解．（1）證明：取CP中點F，連接NF、BF，因為F，N分為PC，PD的中點，則，且，又，且，，所以四邊形NABF是平行四邊形，，又面PBC，面PBC。所以AN∥平面PBC；【題型二】平行2：中位線法證線面平行【典例分析】.如圖，四棱錐中，側(cè)面底面，底面為梯形，，且，.交于點，為的重心.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接并延長交于點，連接，由已知條件可得，得，再由為的重心，，則有，從而可得，再由線面平行的判定可證得結(jié)論，（2）由已知可得和為正三角形，連接并延長交于點，有，則面，從而可得，然后由已知條件求解，（1）證明：在圖中：連接并延長交于點，連接.由底面為梯形，，，，則.又由為的重心，，則，所以.而平面，平面，所以平面.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律中位線法難點在于怎么“發(fā)現(xiàn)三角形”【變式演練】1.如圖，三棱臺，平面平面，側(cè)面是等腰梯形，,分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、三棱錐等積性、線面角的定義進(jìn)行求解即可.（1）證明：連接與交于點，連接，因為，所以由棱臺的性質(zhì)可知：，且，因為是的中點，因此，因此四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又是的中點，所以，而平面，平面，所以平面；2.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，M為PB上靠近B的三等分點.（1）求證：平面ACM；（2）求直線PD與平面ACM的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）以線面平行的判定定理去證明即可解決；（1）證明：如圖，連接BD，交AC于點N，連接MN.因為，，所以，又M為PB靠近B的三等分點，所以，所以，所以，又平面AMC，平面AMC，所以平面AMC.【題型三】平行3：做平行平面法證線面平行【典例分析】如圖，C，D分別是以AB為直徑的半圓O上的點，滿足，△PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90°，E為PA的中點.（1）求：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過證明平面平面來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值.（1）依題意，所以，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是的中點，是的中點，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律做出平行平面來證線面平行，屬于“麻煩的方法”，但是在證明后續(xù)的“探索性”題型時非常實用。授課時可以先用“中點型”培養(yǎng)“找面做面”的思維。【變式演練】1.在四棱錐中，，.（1）若E為PC的中點，求證：平面PAD.（2）當(dāng)平面平面ABCD時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決二面角.（1）取CD的中點M，連接EM，BM，由已知得，為等邊三角形，∴.∵，，∴，，∴.又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.∵E為PC的中點，M為CD的中點，∴.又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.∵，，∴平面平面PAD.∵平面BEM，∴平面PAD.2.如圖所示的四棱錐的底面是一個等腰梯形，，且，是△的中線，點E是棱的中點．

（1）證明：∥平面．（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值．（3）在（2）條件下，求點D到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）連接、，平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；（2）取的中點為，連接，證明出平面，，以為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離．（1）連接、，由、分別是棱、的中點，則，平面，平面，則平面．又，且，∴且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面．又，可得平面平面．又平面．∴平面．【題型四】平行4：難題--線面探索型【典例分析】在四棱錐中，底面是菱形，.（Ⅰ）若，求證：平面；（Ⅱ）若平面平面，求證：；（Ⅲ）在棱上是否存在點（異于點）使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）不存在.【分析】（Ⅰ）由是菱形可得；結(jié)合，由線面垂直的判定定理可得平面.；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,由面面垂直的性質(zhì)可得,結(jié)合可得結(jié)果；（Ⅲ）利用反證法，假設(shè)存在點（異于點）使得平面，可推出平面平面，從而可得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）因為底面是菱形。所以.又因為，，所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.因為平面平面，平面平面，平面，因為平面，所以.因為底面是菱形，所以.所以.（Ⅲ）不存在.下面用反證法說明.假設(shè)存在點（異于點）使得∥平面.在菱形中，∥，因為平面，平面，所以∥平面.因為平面，平面，，所以平面∥平面.而平面與平面相交，矛盾.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律1.常規(guī)題，對應(yīng)的點大多在中點處。2.要多訓(xùn)練非中點的題選?！咀兪窖菥殹?.如圖所示四棱錐中，底面，四邊形中，，，，．求四棱錐的體積；求證：平面；在棱上是否存在點異于點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）4；（2）見解析；（3）不存在.【解析】【分析】利用四邊形是直角梯形，求出，結(jié)合底面，利用棱錐的體積公式求解即可求；先證明，，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得平面；用反證法證明，假設(shè)存在點異于點使得平面證明平面平面，與平面與平面相交相矛盾，從而可得結(jié)論．【詳解】顯然四邊形ABCD是直角梯形，又底面平面ABCD，平面ABCD，在直角梯形ABCD中，，，，即又，平面；不存在，下面用反證法進(jìn)行證明假設(shè)存在點異于點使得平面PAD．，且平面PAD，平面PAD，平面PAD又，平面平面PAD.而平面PBC與平面PAD相交，得出矛盾．2.如圖，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，點是線段的中點.（1）求證：；（2）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析，2.【解析】【分析】（1）由已知可得是等邊三角形，是線段的中點，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，即可證明結(jié)論；（2）取的中點，可證，連接交于點，點即為所求的點.利用，可得，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）菱形，，，則是等邊三角形，又是線段的中點，∴.又平面平面，平面平面，所以平面.又∵平面，故.（2）取的中點，連接交于點，點即為所求的點.證明：連接，∵，，∴，所以與相交于點，∵是的中點，是的中點，∴，又平面，平面，∴直線平面.又∵，∴.【題型五】平行5：證面面平行【典例分析】如圖所示，在三棱柱中，分別是的中點，求證：（1）四點共面；（2）平面平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明，從而可得，即可證明，，，四點共面；（2）證明平面中有兩條直線、分別與平面中的兩條直線、平行，即可得到平面平面．【詳解】(1)分別是的中點，是的中位線，則，又，四點共面．(2)分別為的中點，，平面平面，平面，又分別是的中點，，，四邊形是平行四邊形，，平面平面，平面，又，平面平面，【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律面面平行的核心思維是“線面平行”?！咀兪窖菥殹?.如圖，在圓柱中，，分別是上、下底面圓的直徑，且，，分別是圓柱軸截面上的母線.（1）若，圓柱的母線長等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積.（2）證明：平面平面.【答案】（1）.（2）證明見詳解.【分析】（1）借助圓柱的母線垂直于底面構(gòu)造直角三角形計算可得半徑，然后可得表面積；（2）構(gòu)造平行四邊形證明，結(jié)合已知可證.（1）連接CF、DF，因為CD為直徑，記底面半徑為R，EF=2R。則又解得R=2圓柱的表面積.2）連接、、、由圓柱性質(zhì)知且且四邊形為平行四邊形又平面CDE，平面CDE平面CDE。同理，平面CDE又，平面ABH，平面ABH平面平面.2.如圖①，在梯形中，AB∥PC，△ABC與△PAC均為等腰直角三角形，＝90°，，D，E分別為PA，PC的中點．將△PDE沿DE折起，使點P到點P的位置（如圖②），為線段的中點．在圖②中解決以下兩個問題：（1）求證：平面GAC∥平面；（2）若直線PA與平面PABC所成的角為30°時，求三棱錐P－ACG的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接BE交AC于點M，連接GM，，可證得GM∥PE，根據(jù)線面平行的判定定理即可證得GM∥平面．同理可證得AC∥平面．由面面平行的判定定理即可證得結(jié)果.（2）利用等體積轉(zhuǎn)換可得計算即可得出結(jié)果.（1）連接BE交AC于點M，連接GM，，四邊形是正方形，M為BE的中點，又G為線段PB的中點，則GM∥PE，又平面，平面，所以GM∥平面．又D，E分別為PA，PC的中點，則DE∥AC，又平面，平面，所以AC∥平面．又GM∩AC=M，GM，AC?平面，所以平面GAC∥平面．【題型六】平行6：難題--面面平行探索性題型【典例分析】已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.（1）求證:；（2）在上是否存在點，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）設(shè),連接,根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得平面,所以.又,證得平面，進(jìn)而得到.（2）取中點，連并延長交于點，得，得平面，進(jìn)而得到平面平面，在中，得是中點，是中點，即可求解結(jié)論.試題解析：（1）設(shè),則為底面正方形中心，連接,因為為正四梭錐.所以平面,所以.又,且,所以平面；因為平面,故.（2）存在點，設(shè),連.取中點，連并延長交于點，∵是中點，∴,即，又，平面，平面，∴平面,平面，又，平面，∴平面平面，在中，作交于，則是中點，是中點，∴.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律找面的經(jīng)驗：任何一對互相平行平面，和第三個平面相交，交線互相平行【變式演練】1.在正方體中，、分別為、的中點，，，如圖.（1）若交平面于點，證明：、、三點共線；（2）線段上是否存在點，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）先得出為平面與平面的交線，然后說明點是平面與平面的公共點，即可得出、、三點共線；（2）設(shè)，過點作交于點，然后證明出平面平面，再確定出點在上的位置即可.【詳解】（1），平面，平面，所以，點是平面和平面的一個公共點，同理可知，點也是平面和平面的公共點，則平面和平面的交線為，平面，平面，所以，點也是平面和平面的公共點，由公理三可知，，因此，、、三點共線；（2）如下圖所示：設(shè)，過點作交于點，下面證明平面平面.、分別為、的中點，，平面，平面，平面.又，平面，平面，平面，，、平面，因此，平面平面.下面來確定點的位置：、分別為、的中點，所以，，且，則點為的中點，易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，，四邊形為正方形，且，則為的中點，所以，點為的中點，，因此，線段上是否存在點，且時，平面平面.2.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點.（1）求證：平面（2）直線上是否存在一點，使平面平面？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】(1)由題意利用線面垂直的判定定理證明題中的結(jié)論即可；（2）延長到點,使,此時平面平面.利用幾何關(guān)系結(jié)合面面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由線面垂直的定義可得：，由矩形的性質(zhì)可得：，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，故平面.（2）延長到點,使,此時平面平面.證明如下：連接，∵，∴點為的中點，又∵點為棱的中點，∴又底面為矩形，又∵點為延長線上的點,∴四邊形為平行四邊形又又∴平面平面【題型七】垂直1：線面垂直【典例分析】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF．（1）求證：AC⊥平面ABEF．（2）求多面體ABCDE與多面體ADEF的體積的比值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件及勾股定理先證線垂直，借助題設(shè)條件，運用性面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行推證；（2）利用可求三棱錐的體積，利用面面垂直的性質(zhì)得出多面體ABCDE的高，可求得其體積，從而可得答案.【詳解】（1）在中，所以，所以，所以，又因為平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD，所以平面ABEF.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律講透徹“三垂線定理”這個最常用的模型【變式演練】1.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點．（1）求證：AM∥平面PBC；（2）求證：BD⊥平面PBC．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）取的中點，連，，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）在等腰中梯形中，取的中點，連，，證得四邊形為菱形，進(jìn)而得．同理四邊形為菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根據(jù)線面垂直的判定可得平面．證明：（1）如圖，取的中點，連，，∵為的中點，為的中點，∴，．又，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點，連，．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．又，∴四邊形為菱形，∴．同理，四邊形為菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．2.如圖，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中點，求證：（1）平面；（2）平面.【答案】(1)見解析；（2）見解析【詳解】（1）取AB的中點M,連FM,MC，∵F、M分別是BE、BA的中點，∴FM∥EA,FM＝EA，∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA∴CD∥FM又DC＝a，∴FM＝DC∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴FD∥MC，∴FD∥平面ABC．（2）∵M(jìn)是AB的中點，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A，∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，F(xiàn)D⊥AF，∵F是BE的中點,EA＝AB，∴AF⊥EB，∴AF⊥平面EDB．【題型八】垂直2：面面垂直【典例分析】如圖，在以為頂點，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為2，是圓所在平面內(nèi)一點，且是圓的切線，連接交圓于點，連接，.（1）求證：平面平面；（2）若是的中點，連接，，當(dāng)二面角的大小為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）由是圓的直徑，與圓切于點，可得,由底面圓，可得，利用線面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，，可推出，利用線面垂直的判定定理可證平面，從而利用面面垂直的判定定理可證出平面平面.解：（1）是圓的直徑，與圓切于點，底面圓，∴，平面，∴.又∵在中，，∴∵，∴平面，從而平面平面.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律核心思維：尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）【變式演練】1.如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，，，，．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求多面體的體積.【答案】(I)證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（III）3.【分析】（Ⅰ）可證，從而得到平面．（Ⅱ）可證平面，從而得到平面平面【詳解】（Ⅰ）因為，且，則四邊形為平行四邊形，故．又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）連接．在等腰梯形中，，從而四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形，故.在梯形中，同理可證四邊形為平行四邊形，故.因為，從而，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故，因為，故平面.因為平面，故平面平面.2.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】(1)利用,可得平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面平面;(2)由底面，得平面平面．將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離有無最大值即可解決.【詳解】（1）證明:因為，為線段的中點，所以,因為底面，平面，所以,又因為底面為正方形，所以，,所以平面,因為平面，所以,因為，所以平面,因為平面，所以平面平面.【題型九】垂直3：難題--垂直探索性題型【典例分析】直三棱柱中，，，，點是線段上的動點.（1）當(dāng)點是的中點時，求證：平面；（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）【試題分析】（1）連接，交于點，連接，則點是的中點，利用三角形的中位線有,，由此證得線面平行.（2）當(dāng)時平面平面.利用，可證得平面，由此證得兩個平面垂直.利用等面積法求得的長.【試題解析】（1）如圖，連接，交于點，連接，則點是的中點，又點是的中點，由中位線定理得，因為平面，平面，所以平面.（2）當(dāng)時平面平面.證明：因為平面，平面，所以．又，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故點滿足.因為，，，所以，故是以角為直角的三角形，又，所以.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律使用好“逆向思維”這個證明垂直的捷徑方法：要證明的必然是成立的?！咀兪窖菥殹?.如圖，在三棱柱中，底面，，點是的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：∥平面．（Ⅲ）設(shè)，，在線段上是否存在點，使得?若存在，確定點的位置;若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）存在，為線段的中點，理由略．試題分析：（Ⅰ）通過證得，且，即可證得平面，即證；（Ⅱ）設(shè)與的交點為，連結(jié)，因為是的中點，是的中點，由三角形的中位線定理得∥，又由線面平行的判定定理即證∥平面；（Ⅲ）在線段上存在點，使得，且為線段的中點．證明如下：由已知得．由已知，為線段的中點，所以，可得平面．連接．因為平面，所以，易證，所以平面，即可得．試題解析：（Ⅰ）在三棱柱中，因為底面，底面，所以．又，，所以平面．而，則．（Ⅱ）設(shè)與的交點為，連結(jié)，E因為是的中點，是的中點，所以∥．因為平面，平面，所以∥平面．E（Ⅲ）在線段上存在點，使得，且為線段的中點．EM證明如下：因為底面，底面，所以．EM由已知，為線段的中點，所以．又，所以平面．取線段的中點，連接．因為平面，所以．由已知，由平面幾何知識可得．又，所以平面．又平面，所以．2.三棱錐中，，面面．（1）求長；（2）求三棱錐體積；（3）內(nèi)（含邊界）上是否存在點，使面．若存在點，求出點的位置；若不存在點，說明理由．【答案】（1）3；（2）；（3）存在，在棱上，且．【分析】(1)根據(jù)勾股定理可得,進(jìn)而可得,再用勾股定理計算即可.(2)作的中點,連接可知平面,再求解體積即可.(3)作于,再證明面即可.【詳解】（1）∵,∴.∵平面⊥平面,平面平面,平面,且,可知平面,.∴.（2）作的中點,連接,由題意知平面,∴.（3）作于,在上..∵平面,平面,∴,且,平面,平面,,∴平面,即存在,在棱上,且.【題型十】垂直4：難題--翻折中的垂直【典例分析】如圖①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起使AD＝，得到如圖②所示的四棱錐A﹣BCDE.（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P為AC的中點，求三棱錐P﹣ABD的體積.【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先證，即可求得平面，結(jié)合//，即可由線面垂直推證面面垂直；（Ⅱ）根據(jù)點是中點，則的體積為體積的一半，再轉(zhuǎn)化頂點求得的體積，則問題得解.【詳解】（Ⅰ）因為四邊形是菱形，且點為中點，又，故三角形為等邊三角形，則，又在三角形中，，滿足，故，又平面，故可得平面，又因為//，故可得平面，又平面，故可得平面平面.即證.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律翻折過程中，始終在同一個平面內(nèi)的點線關(guān)系“不變”【變式演練】1.如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中，E為DC中點，將它沿AE折成直二面角.（1）求證：平面BDE；（2）求四棱錐體積.【答案】（1）證明見解析；（2）1．【解析】【分析】（1）先證，由面面垂直（直二面角）得平面，再得線線垂直，然后可得線面垂直；（2）由直二面角即面面垂直，可求得到平面的距離，從而可求得體積．【詳解】（1）由題意，所以，所以，又二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，，所以平面BDE；2.如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足為E，，將沿EC折起到的位置，如圖2所示，使平面平面ABCE.（1）連結(jié)BE，證明：平面；（2）在棱上是否存在點G，使得平面，若存在，直接指出點G的位置不必說明理由，并求出此時三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點G為的中點，.【分析】（1）通過面面垂線的性質(zhì)定理，證得平面ABCE

，由此證得.利用勾股定理計算證明，從而證得平面.（2）通過線面平行的判定定理，判斷出點G為的中點.利用換頂點的方法，通過，來計算出三棱錐的體積.【詳解】1因為平面平面ABCE，平面平面，平面，所以

平面ABCE

，

又因為

平面ABCE，所以

，又，滿足，所以

，又

，所以

平面.2在棱上存在點G，使得平面，此時點G為的中點.，由1知，平面ABCE，所以

，又，所以

平面，所以CE為三棱錐的高，且在中，，G為斜邊的中點，所以

，所以

.故，在棱上存在點G，使得平面，此時三棱錐的體積為.【題型十一】體積1：常規(guī)求法和等體積轉(zhuǎn)化型【典例分析】如圖所示，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點．（1）證明：平面；（2）若M是AB的中點，證明：平面平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）利用得出平面.（2）通過證明平面，可證得平面平面.（3）利用等體積轉(zhuǎn)化求出即可.【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，平面，平面，平面（2）證明：在正方體中，,是中點，.平面，平面，則.平面，平面，且，平面.平面，∴平面平面（3）因為平面，所以點，點到平面的距離相等.故．【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律1.等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性。2.盡可能尋找在表面的三個點3.利用好“同底等高”和“同底比例高”。【變式演練】1.四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.（1）證明：AC⊥PD；（2）若PE＝2BE，求三棱錐P﹣ACE的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）過A作AF⊥DC于F，推導(dǎo)出AC⊥DA，AC⊥PA，從而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．（2）由VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱錐P﹣ACE的體積．【詳解】（1）過A作AF⊥DC于F，因為AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥PA，又PA，AD?平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AC⊥PD.（2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，所以，，所以三棱錐P﹣ACE的體積VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC.2.如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點．（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體N-BCM的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果．試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為.取的中點，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故.所以四面體的體積.【題型十二】體積2：難題--多面體割補型【典例分析】如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，，，，．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求多面體的體積.【答案】(I)證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（III）3.【分析】（Ⅰ）可證，從而得到平面．（Ⅱ）可證平面，從而得到平面平面（Ⅲ）可證幾何體是三棱柱，從而利用公式可求幾何體的體積.【詳解】（Ⅰ）因為，且，則四邊形為平行四邊形，故．又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）連接．在等腰梯形中，，從而四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形，故.在梯形中，同理可證四邊形為平行四邊形，故.因為，從而，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故，因為，故平面.因為平面，故平面平面.（III）設(shè)．由（Ⅰ）得平面且，由（Ⅱ）得，而平面，平面，故平面，因為，故平面平面，又，故四邊形為平行四邊形，故，所以，所以幾何體是三棱柱．由（Ⅱ）得平面，平面，故，所以.由（Ⅱ）得平面．所以多面體的體積為：．在等腰梯形中，，又為銳角，故，故，所以，所以，故多面體的體積為：.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律1.大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱錐+四棱錐2.多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”【變式演練】1.如圖，已知平面平面，B為線段中點，，四邊形為正方形，平面平面，，，M為棱中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）延長至使得，得到三棱柱，，再求出即為三棱柱的高，利用柱體、錐體的體積公式即可求解.【詳解】（1）由正方形知，，又平面平面，且交線為，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）延長至使得，則得到三棱柱，所求幾何體的體積，取的中點M，由條件為正三角形，∴，∴，由平面平面且交線為，∴平面，即為三棱柱的高，∵..所以.2.如圖，在多面體中，為矩形，為等腰梯形，，，，且，平面平面，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求多面體的體積.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取的中點.連接，，可證，，然后利用平面平面，可證平面.（Ⅱ）將多面體分為四棱錐和三棱錐兩部分，將轉(zhuǎn)化為，然后利用四棱錐和三棱錐的體積公式分別求出然后求和即可.解：（Ⅰ）如圖，取的中點.連接，.在矩形中，∵，分別為線段，的中點，∴.又平面，平面，∴平面.在中，∵，分別為線段，的中點，∴.又平面，平面，∴平面.又，平面，∴平面平面又平面，∴平面.（Ⅱ）如圖，過點作于.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.同理平面.連接，.在中，∵，，∴.同理.∵，∴等邊的高為，即.連接.∴.【題型十三】體積3：難題兩部分體積比【典例分析】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）連接，可得，利用面面垂直的性質(zhì)可證平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證，由，，可證，，利用線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）連接、，設(shè)，則，利用，可得，進(jìn)而解得的值，即可得出的值.【詳解】（1）連接，且是的中點，又平面平面，平面平面，平面，平面.平面，又為菱形，且、分別為棱、的中點，，，，又，，平面；（2）如圖，連接、，設(shè)，則，，又，，，解得，即.【經(jīng)驗總結(jié)】基本規(guī)律1.直接求體積，大多數(shù)是難度較大。2.利用等體積轉(zhuǎn)化（或者不等體積轉(zhuǎn)化）3.尋找合適的底面和平行高轉(zhuǎn)化。【變式演練】1.如圖，是邊長為3的正方形，平面，平面，.（1）證明：平面平面；（2）在上是否存在一點，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在點且滿足條件.【解析】試題分析：（1）根據(jù)，結(jié)合面面平行的判定定理可知兩個平面平行；（2）先求出整個幾何體的體積.假設(shè)存在一點，過作交于，連接，設(shè)，求得幾何體的體積，將其分割成兩個三棱錐，利用表示出兩個三棱錐的高，再利用體積建立方程，解方程組求得的值.試題解析：解：（1）∵平面，平面，∴，∴平面，∵是正方形，，∴平面，∵，平面，平面，∴平面平面.（2）假設(shè)存在一點，過作交于，連接，，設(shè)，則，設(shè)到的距離為，則，，∴，解得，即存在點且滿足條件.2.如圖，多面體中，，平面⊥平面，四邊形為矩形，∥，點在線段上，且.(1)求證：⊥平面；(2)若，求多面體被平面分成的大、小兩部分的體積比.【答案】（1）證明見解析(2)11:1【分析】（1）由勾股定理逆定理證得，再由面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直；（2）連接EB,AE.多面體被分為四個三棱錐，由它們之間的體積關(guān)系可求得比值．【詳解】（1）因為四邊形ABCD為矩形，所以CD=AB.為AB=DE=2，所以CD=DE=2.因為點G在線段CE上，且EG=2GC=AB，所以EC=AB=CD=所以，即又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD,DE平面CDE，所以DE⊥平面ABCD.(2)設(shè)三棱錐G-BCD的體積為1，連接EB,AE.因為EG=2GC,所以CG=EC,所以.易知又EF=2BC,BC∥EF，所以，故又，所以故故多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比為11:1.【題型十四】體積4：難題動點型【典例分析】如圖，是邊長為3的等邊三角形，四邊形為正方形，平面平面.點，分別為棱，上的點，且，為棱上一點，且.（Ⅰ）當(dāng)時，求證：平面；（Ⅱ）已知三棱錐的體積為，求的值.【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先連接，根據(jù)面面平行的判定定理，先證明平面平面，進(jìn)而可得出結(jié)論成立；（Ⅱ）取的中點為，連接，證明平面；再過點作于點，得平面，再由求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.解：（Ⅰ）連接，當(dāng)時，且，四邊形是平行四邊形，.，，，，，平面平面，又平面，平面.（Ⅱ）取的中點為，連接，則，平面平面，平面.過點作于點，則，平面，則..，.，即.【變式演練】1.如圖，四邊形ABCD為矩形，△BCF為等腰三角形，且∠BAE＝∠DAE＝90°，EA//FC.（1）證明：BF//平面ADE.（2）設(shè)，問是否存在正實數(shù)，使得三棱錐A﹣BDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在正實數(shù).【解析】【分析】（1）通過證明平面平面來證明BF//平面ADE；（2）設(shè)，，則，利用等體積法，則，可得關(guān)于的方程，求解可得.【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面故平面；（2），又，平面，設(shè)，，則，在矩形和中，有，，所以在中，邊上的高，又，所以，由等體積法得，即，∴，所以存在正實數(shù)，使得三棱錐的高恰好等于.2.如圖所示，在三棱錐中，平面，，，.（1）證明：平