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第十第一部量代第二部分空間解析幾在 中數(shù)量關(guān)系坐標(biāo)方程()基本方法坐標(biāo)法第十三、向量的內(nèi)四、向量的外積和混合一、向量的概向量:既有大小又有方向的量稱為向量(又稱矢量).表示法:有向M1M2a,或a向量的模:向量的大小,記作M1 ,或a,或a(矢徑
起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量M自由向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量M 單位向量:1的向量
a或a零向量:模為0的向量 記作或0若向量ab大小相等方向相同,則稱ab相等,記作a=b;若向量ab方向相同或相反ab平行,記a∥b;規(guī)定零向量與任何向量平行a的模相同但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作-a;兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 則稱此個(gè)向量共面二、向量的運(yùn)(a(ab)a(bccbab平行四邊形法則 babaab三角abaa運(yùn)算規(guī)律交律結(jié)合
abb(ab)ca(bc)ab三角形法則可推廣到多個(gè)向量相.sa1a2a3a4s向量的減bab(a特別當(dāng)ba時(shí)aaa(a)三角不等ab abab ab
b
ba是一個(gè)數(shù)a的乘積是一個(gè)新向量a 規(guī)定:0a與a同向
0時(shí) a與a反
0時(shí) 0aaa總之 aa
可1aa運(yùn)算律結(jié)律
(a) a
1aa分配
(ab
aa
若a
則有單位向a
a
因此aa定理證:
設(shè)a為非零向量,則 ba”.設(shè)a∥b,?。健?/p>
(為唯一實(shí)數(shù)baab同向ba取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),ba同向,aba abab
再證數(shù)的唯一性設(shè)又有b=a,()aa0
0即 已知b=a,當(dāng)0時(shí) 當(dāng)0時(shí) a,b同 當(dāng)0時(shí) a,b反例1.M為ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)ABa,ADb試用a與bMAMBMCMD解 abAC2MC2 baBD2MD2 MA1(ab MB1(ba MC1(ab MD1(ba 設(shè)a,b是不共線的非零向量證明:ab與ab也不共證明
由已知,ab
ab假定ab與ab共則存在
(1)a1 時(shí),a1 則a與b共若1,b因此,無(wú)論1或1都與已 三、向引例設(shè)一物體在常力F作用下,沿與力夾角為的直線移動(dòng),位移為s, 則力F所做的功為FW sF MWF 定義給定向 和
OAa,OBb,B B 為向量a和 (ab
的夾角 (ab0
ab平行或共線,
a//b當(dāng)當(dāng)ab 2
ab垂直(正交)記ab 定義給定向量a和b稱|a||b|cos(ab) 向量a和b的內(nèi)積,記為ab或(aab內(nèi)積也稱為數(shù)量數(shù)量積的運(yùn)算 aa|a abba a(bc)abac (a)b(ab)a(b 0a 推論 若ab均為非零向量, cos(a,b)
a |a||b 當(dāng)(a,b 2
cosab)0
ab
若ab0, 即有a
|a|
或|b|
(a,b 2 推論 非零向量ab的充要條件
ab例3.證明三角形余弦c2a2b22ab CCBa CAb AB Cab)(a caab)(ac2(
)a bb2aa2
b22
ba
,b
b,c c2a2b22ab 例 若ab為非零向量,且|ab||ab|試證a 證由|ab||ab 可 (ab)(ab)(ab)(ab| 即所以從
a |b 2ab|a |b 2a ab a例 用向量方法證明三角
的三 交于一點(diǎn)C 在ABC設(shè)過(guò)A點(diǎn)與B點(diǎn)的高交于點(diǎn)O OCOABC,OBAC
OABC OA(OCOB)0,從 OBAC
OAOCOAOB; OBOCOBOA; (12)
OAOCOBOC,
OC(OBOA)亦即OCAB
ABC為相異點(diǎn)AB0.則或OC0或
OCOC0O
重合,即ACB 2從而可知 交于一投 投定 設(shè)OAa,OB C為B在直線OA上的垂足 則 稱為向量 在 上的投影向量BB|b|cos(a,b 稱為 在 上的投影(量 也稱為 在 方向上的分量
記為Prja 或(b)注
a,b
Prjab a,b2
BPrjabB ab|a||b|cos(a,b |a|Prja |b|Prjb
Prj a
ao |aPrjb
a bo|b四、向量的外積和混向量的外積(向量積、叉積定
a設(shè)a、b是兩個(gè)給定的互不a與b的外積是一個(gè)向量,記
的非零向量 aO O其大
|ab||a||b|sin(a, 其方向同時(shí)垂直于a、b 并且a,b 兩個(gè)非零向量 與
abcacaba | b|表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積向量積的運(yùn)算法
ab(ba
(反交換 (a)b(ab)a(b
(與數(shù)乘的結(jié)合律
abc aba (左分配律 (ab)
acb
右分配律向量的混合定義已知三向量abc,稱數(shù)abc為abc的混合ab.ab
abc (ab)
Pr c性 [a,b,c][b,c,a][c,a,b c abcbac 輪換不變性aacba以abc為棱作平行六面體,則底面積A
a
高h(yuǎn)
故平行六面體體積VAh a abc
cos (ab) 例 化簡(jiǎn)[(ab)(bc)](c 解abbc)]ca (abacbbbc)(ca (ab)c(ac)c(bc)c(ab)a(ac)a(bc)0000 0000(ab)c(bc) 2(ab)
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