人教B版必修第一冊(cè)221不等式及其性質(zhì)學(xué)案

其次章等式與不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)素養(yǎng)導(dǎo)引1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系,理解不等式的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解實(shí)數(shù)比擬大小的根本領(lǐng)實(shí),初步學(xué)會(huì)用作差法比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.(規(guī)律推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.熟悉并證明不等式的性質(zhì)及推論,能利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)潔的不等式.(數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律推理)一、不等式與不等關(guān)系及兩數(shù)大小比擬1．不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)：(1)不等符號(hào)<,>，≤，≥或≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系．2．比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法方法依據(jù)結(jié)論畫數(shù)軸比擬法①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)②假如點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,那么稱x為點(diǎn)P的坐標(biāo),并記作P(x)數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)時(shí),它所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)會(huì)變大作差比擬法假如ab>0,那么a>b假如ab<0,那么a<b假如ab=0,那么a=b確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系,只需確定它們的差ab與0的大小關(guān)系【批注】利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)留意所比擬的兩個(gè)(或幾個(gè))量必需具有相同的性質(zhì)才可以進(jìn)行比擬．[診斷](教材P60例1改編)M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，那么M________N．(用“>〞“<〞“＝〞填空)【解析】M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，M－N＝(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，故M>N.答案：>二、不等式的性質(zhì)與推論性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容留意性質(zhì)1可加性a>b?a+c>b+c可逆性質(zhì)2可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞0))?ac＞bcc的符號(hào)性質(zhì)3eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＜0))?ac＜bc性質(zhì)4傳遞性a>b,b>c?a>c同向性質(zhì)5對(duì)稱性a>b?b<a可逆推論1移項(xiàng)法那么a+b>c?a>cb可逆推論2同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞d))?a＋c＞b＋d同向推論3同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞d＞0))?ac＞bd同向同正推論4可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N,n>1)同正推論5可開方性a＞b＞0?eq\r(a)＞eq\r(b)同正[診斷]1．辨析記憶(對(duì)的打“√〞，錯(cuò)的打“×〞).(1)a＞b，c＞b?a＞c.(×)提示：取a＝2，b＝1，c＝3，易知錯(cuò)誤．(2)a＞b，c＞d?ac＞bd.(×)提示：a＝2，b＝－3，c＝1，d＝－2，易知錯(cuò)誤．(3)假設(shè)a＞b，那么ac2＞bc2.(×)提示：由不等式的性質(zhì)，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0時(shí)，a＞bac2＞bc2.(4)假設(shè)a＋c>b＋d，那么a>b，c>d.(×)提示：取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，滿意a＋c>b＋d，但不滿意a>b，故此說法錯(cuò)誤．2．設(shè)a<b<0，那么以下不等式中不成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)C．|a|>－b D．eq\r(－a)>eq\r(－b)【解析】選B.對(duì)于A，由于a<b<0，所以ab>0，所以eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)<0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以A成立，不符合題意；對(duì)于B，假設(shè)a＝－2，b＝－1，那么eq\f(1,a－b)＝－1，eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)，此時(shí)eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)，所以B不成立，符合題意；對(duì)于C，由于a<b<0，所以|a|>|b|＝－b，所以C成立，不符合題意；對(duì)于D，由于a<b<0，所以－a>－b>0，那么eq\r(－a)>eq\r(－b)，所以D成立，不符合題意．三、證明問題的常用方法方法定義綜合法從條件動(dòng)身，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最終得到結(jié)論的方法分析法從要證明的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最終，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(條件、定理、定義、公理等)為止反證法首先假設(shè)結(jié)論的否認(rèn)成立，然后由此進(jìn)行推理得到?jīng)_突，最終得出假設(shè)不成立．反證法是一種間接證明的方法【批注】反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突，這個(gè)沖突可以是與條件沖突，或與假設(shè)沖突，或與定義、定理、公理、事實(shí)等沖突．[診斷](教材P63例3改角度)命題：“?－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”為真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為【解析】由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－由于－3≤x≤2，所以－2≤－x≤3，所以－2≤3a－2≤3，即0≤a≤eq\f(5,3)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))0≤a≤\f(5,3))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))0≤a≤\f(5,3)))學(xué)習(xí)任務(wù)一作差法比擬大小(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1．(多項(xiàng)選擇題)(2022·濰坊高一檢測(cè))假設(shè)a，b，c∈R，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)ab≠0且a＜b，那么eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)B．假設(shè)0＜a＜1，那么a2＜aC．假設(shè)a＞b＞0且c＞0，那么eq\f(b＋c,a＋c)＞eq\f(b,a)D．a(chǎn)2＋b2≥2(a＋b－1)【解析】選BCD.A．當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故錯(cuò)誤；B．由于0＜a＜1，a2－a＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))＜0，所以a2＜a，故正確；C．由于a＞b＞0且c＞0，所以eq\f(b＋c,a＋c)－eq\f(b,a)＝eq\f(a〔b＋c〕－b〔a＋c〕,a〔a＋c〕)＝eq\f(ac－bc,a〔a＋c〕)＝eq\f(〔a－b〕c,a〔a＋c〕)＞0，故eq\f(b＋c,a＋c)＞eq\f(b,a)，所以C正確；D．由于a2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故正確．2．設(shè)實(shí)數(shù)a＝eq\r(5)－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－1，c＝eq\r(7)－eq\r(5)，那么()A．b>a>cB．c>b>aC．a(chǎn)>b>cD．c>a>b【解析】選A.eq\r(5)－eq\r(3)＝eq\f(2,\r(5)＋\r(3))，eq\r(3)－1＝eq\f(2,\r(3)＋1)，eq\r(7)－eq\r(5)＝eq\f(2,\r(7)＋\r(5))，由于eq\r(3)＋1<eq\r(3)＋eq\r(5)<eq\r(5)＋eq\r(7)，所以eq\f(2,\r(3)＋1)>eq\f(2,\r(5)＋\r(3))>eq\f(2,\r(7)＋\r(5))，即b>a>c.3．x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－eq\f(y2,4)，那么P與Q的大小關(guān)系為________．【解析】由于P－Q＝2x2－xy＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(y2,4)))＝x2－xy＋eq\f(y2,4)＋x2－2x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))eq\s\up12(2)＋(x－1)2≥0，所以P≥Q.答案：P≥Q比擬大小常用的方法1．作差法作差法比擬大小的步驟2．作商法一般步驟是：①作商；②變形；③推斷商與1的大小；④結(jié)論．通常適合非負(fù)數(shù)或式子之間的大小比擬．3．特值法假設(shè)是選擇題、填空題可以用特值法比擬大??；假設(shè)是解答題，可先用特值探究思路，再用作差或作商法推斷．留意：用作商法時(shí)要留意商式中分母的正負(fù)，否那么極易得出相反的結(jié)論．[閃問]作差法比擬大小時(shí)關(guān)鍵是推斷差的符號(hào)，常用的方法有哪些？提示：常用的方法有因式分解法、配方法、公式法、通分法、有理化法、分類爭(zhēng)論法等．學(xué)習(xí)任務(wù)二不等式性質(zhì)的應(yīng)用(規(guī)律推理)【典例】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，以下命題中的真命題是()A．假設(shè)a＞b，那么ac2＞bc2B．假設(shè)a＞b＞0，那么eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．假設(shè)a＜b＜0，那么eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．假設(shè)a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，那么a＞0，b＜0【解析】選D.方法一：由于c2≥0，所以c＝0時(shí)，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；a＜b＜0?－a＞－b＞0?－eq\f(1,b)＞－eq\f(1,a)＞0?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))?ab＜0.由于a＞b，所以a＞0且b＜0，故D為真命題．方法二：特別值排解法．取c＝0，那么ac2＝bc2，故A錯(cuò)．取a＝2，b＝1，那么eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1，有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯(cuò)．取a＝－2，b＝－1，那么eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯(cuò)．利用不等式性質(zhì)推斷命題真假的留意點(diǎn)1．運(yùn)用不等式的性質(zhì)推斷時(shí)，要留意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨便捏造性質(zhì)．2．解有關(guān)不等式的選擇題時(shí)，也可采納特別值法進(jìn)行排解，留意取值肯定要遵循如下原那么：一是滿意題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)潔，便于驗(yàn)證計(jì)算．(2022·哈爾濱高一檢測(cè))以下說法中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A．假設(shè)a2＞b2，ab＞0，那么eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)B．假設(shè)eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，那么a＞bC．假設(shè)b＞a＞0，m＞0，那么eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)D．假設(shè)a＞b，c＜d，那么a－c＞b－d【解析】選A.對(duì)A，取a＝－3，b＝－2，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故說法錯(cuò)誤；對(duì)B，由c2＞0，eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，所以a＞b，故說法正確；對(duì)C，eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ab＋bm－ab－am,b·〔b＋m〕)＝eq\f(m〔b－a〕,b·〔b＋m〕)，由b＞a＞0，m＞0，所以eq\f(m〔b－a〕,b·〔b＋m〕)＞0，所以eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，故說法正確；對(duì)D，由c＜d，所以－c＞－d，又a＞b，所以a－c＞b－d，故說法正確．【補(bǔ)償訓(xùn)練】假如a<0，b>0，那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．eq\r(－a)<eq\r(－b)C．a(chǎn)2<b2 D．|a|>|b|【解析】選A.由于a<0，b>0，B中eq\r(－b)無意義，B錯(cuò)誤；a＝－2，b＝2時(shí)，a2＝b2，|a|＝|b|，C，D均錯(cuò)誤．只有A正確，eq\f(1,a)<0<eq\f(1,b).【拓展延長(zhǎng)】倒數(shù)的性質(zhì)(1)假設(shè)a>b>0，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)假設(shè)0>a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b).即a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).學(xué)習(xí)任務(wù)三不等式的證明(規(guī)律推理)角度1利用綜合法證明不等式【典例】假設(shè)a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【證明】方法一：由于c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).由于e＜0，所以eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d)，不等式得證．方法二：eq\f(e,a－c)－eq\f(e,b－d)＝eq\f(e[〔b－d〕－〔a－c〕],〔a－c〕〔b－d〕)＝eq\f(e[〔b－a〕＋〔c－d〕],〔a－c〕〔b－d〕).由于a＞b＞0，c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.所以a－c＞0，b－d＞0，b－a＜0，c－d＜0.所以eq\f(〔b－a〕＋〔c－d〕,〔a－c〕〔b－d〕)＜0，又由于e＜0，所以eq\f(e[〔b－a〕＋〔c－d〕],〔a－c〕〔b－d〕)＞0，所以eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).本例條件不變的狀況下，求證：eq\f(e,〔a－c〕2)＞eq\f(e,〔b－d〕2).【證明】由于c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又由于a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,〔a－c〕2〔b－d〕2)，得eq\f(1,〔a－c〕2)＜eq\f(1,〔b－d〕2).又e＜0，所以eq\f(e,〔a－c〕2)＞eq\f(e,〔b－d〕2).角度2利用分析法或反證法證明不等式【典例】證明：eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2).【思路導(dǎo)引】依據(jù)問題特點(diǎn)可選用分析法證明，也可用反證法證明．【證明】方法一(分析法)：要證eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2)，只需證eq\r(7)＋eq\r(2)<eq\r(3)＋eq\r(6)，只需證(eq\r(7)＋eq\r(2))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2，綻開得9＋2eq\r(14)<9＋2eq\r(18)，只需證eq\r(14)<eq\r(18)，即證14<18，明顯成立，所以eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2).方法二(反證法)：假設(shè)eq\r(7)－eq\r(3)≥eq\r(6)－eq\r(2)，那么eq\r(7)＋eq\r(2)≥eq\r(3)＋eq\r(6)，兩邊平方得9＋2eq\r(14)≥9＋2eq\r(18)，所以eq\r(14)≥eq\r(18)，即14≥18，明顯不成立，所以假設(shè)錯(cuò)誤．所以eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2).利用不等式的性質(zhì)證明不等式考前須知(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題肯定要在理解的根底上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確?????地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨便構(gòu)造性質(zhì)與法那么．1．用反證法證明“a，b，c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2)〞時(shí)，假設(shè)內(nèi)容是________．【解析】“a，b，c三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2)〞的反面是“a，b，c都小于eq\f(1,2)〞．答案：a，b，c都小于eq\f(1,2)2．將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟補(bǔ)充完整：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________明顯成立，因此原不等式成立．【解析】用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步