江蘇省蘇州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)Word版含解析

蘇州市2021-2022學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，學(xué)生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、調(diào)研序列號(hào)填寫在答題卡上.2．做答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4．學(xué)生必須保持答題卡的整潔.調(diào)研結(jié)束后，將調(diào)研卷和答題卡一并收回.一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】為純虛數(shù)，，，選A.2．設(shè)集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【解析】，，個(gè)元素.3．已知圓錐的高為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為，側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)半圓，即，，，，選A.4．在中，，點(diǎn)在邊上，則“”是“為中點(diǎn)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“”，不妨設(shè)，，則，則滿足條件有兩個(gè)，一個(gè)是中點(diǎn)，一個(gè)是點(diǎn)，不充分.為中點(diǎn)，，則，必要.“”是“是中點(diǎn)”的必要不充分條件，選B.5．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，選C.6．北京時(shí)間年月日時(shí)分，神舟十三號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，受到國(guó)際輿論的高度關(guān)注.為弘揚(yáng)航天精神、普及航天知識(shí)、激發(fā)全校學(xué)生為國(guó)爭(zhēng)光的榮譽(yù)感和責(zé)任感，某校決定矩形以“傳航天精神、鑄飛天夢(mèng)想”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)有兩隊(duì)報(bào)名參加，兩隊(duì)均由兩名高一學(xué)生和兩名高二學(xué)生組成，比賽共進(jìn)行三輪，每輪比賽兩隊(duì)都隨機(jī)挑選兩名成員參加答題，若每位成員被選中的機(jī)會(huì)均等，則第三輪比賽中被兩隊(duì)選中的四位學(xué)生不會(huì)來(lái)自同一年級(jí)的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】四個(gè)學(xué)生來(lái)自同一年級(jí)的概率為，四個(gè)學(xué)生不全來(lái)自同一年級(jí)的概率為，選C.7．已知，則下列不等式一定成立的是A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，A錯(cuò).，，，B錯(cuò).，，，，，，，，C對(duì).選C.8．若斜率為的直線與拋物線和圓分別交于和兩點(diǎn)，且，則當(dāng)面積最大時(shí)的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】法一：，則的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)此點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，取最大值，，令，，，，，選D.法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，，，設(shè)直線方程為，，，中點(diǎn)，，選D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．折紙發(fā)源于中國(guó).世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車（如圖）是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線部分剪開(kāi)成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂點(diǎn)仍落在該對(duì)角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如圖，則A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如圖，，則與不平行，A錯(cuò).設(shè)，，B對(duì).，C對(duì)，D對(duì)，選BCD.10．下列命題正確的是A．若為復(fù)數(shù)，則B．若為向量，則C．若為復(fù)數(shù)，且，則D．若為向量，且，則【答案】AD【解析】令，，，，，，A對(duì).，，B錯(cuò).，，，C錯(cuò).選AD.11．已知函數(shù)，則A．，函數(shù)在上均有極值B．，使得函數(shù)在上無(wú)極值C．，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D．，使得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】，時(shí)，，無(wú)極值，A錯(cuò)，B對(duì).時(shí)，在上，，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).時(shí)，在恒成立，在時(shí)，，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).時(shí)，，或0，在，.時(shí)，，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，C對(duì)，D錯(cuò).12．甲同學(xué)投擲骰子次，并請(qǐng)乙同學(xué)將向上的點(diǎn)數(shù)記錄下來(lái)，計(jì)算出平均數(shù)和方差.由于記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個(gè)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為，方差在區(qū)間內(nèi)，則這五個(gè)點(diǎn)數(shù)A．眾數(shù)可能為 B．中位數(shù)可能為C．一定不會(huì)出現(xiàn) D．出現(xiàn)的次數(shù)不會(huì)超過(guò)兩次【答案】ACD【解析】法一：，眾數(shù)為，平均數(shù)為，方差，A對(duì).若中位數(shù)為，設(shè)五次數(shù)據(jù)為，即，，，，矛盾，B錯(cuò).若出現(xiàn)了，則其它四次和為，即數(shù)據(jù)為，矛盾，C對(duì).若出現(xiàn)次，則其它2次和為4，這2次為，，D對(duì).法二：設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，，不妨取，，，則，A正確.對(duì)于B，不妨設(shè)，都中位數(shù)為3，則，，不可能為，B錯(cuò).對(duì)于C，若出現(xiàn)，則，與矛盾，故不可能出現(xiàn)，C正確.對(duì)于6，假設(shè)出現(xiàn)2的次數(shù)超過(guò)2次，則至少有次.不妨設(shè)，，，這與矛盾，故D正確.選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．記數(shù)列的前項(xiàng)積為，寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式：__________.①是遞增的等比數(shù)列；②.【答案】（答案不唯一）【解析】，，.不妨設(shè)，則，.14．設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，則到直線的最小距離是__________.【答案】【解析】的斜率為，設(shè)，切點(diǎn)，，，切點(diǎn)到的距離.15．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于雙曲線的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】法一：設(shè)的中點(diǎn)為，為中點(diǎn).為中位線，，則.，則，，..法二：秒殺令，則，如圖，由《網(wǎng)課》解幾公式“12”知，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為即也在上，而，則，.16．已知直三棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為，則__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面積為_(kāi)_________.（本小題第一空2分，第二空3分）【答案】；【解析】法一：取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連，平面為平面，，，，三棱錐外接球半徑，如下圖建系，，，，，設(shè)平面的法向量，，，不妨設(shè)，則，球心到平面距離，，.法二：秒殺一圖（1） 圖（2） 圖（3）由《幾公式秒殺》課程知：截面過(guò)四等分點(diǎn)，由體積公式“”知，而，.由課程推論“”知，棱柱外接球球心在中點(diǎn)，其中為中點(diǎn)，如圖知，外接球半徑，如圖（3）知，截面半徑，.法三：秒殺二由《網(wǎng)課》幾秒殺公式與推論知，截面過(guò)四等分點(diǎn)，由“公式”知：由《網(wǎng)課》公式“12”知：，建立空間坐標(biāo)系，，，，，，.法四：設(shè)為上靠近的四等分點(diǎn)，則，平面即為平面，.取中點(diǎn)，則三棱柱外接球球心為中點(diǎn)，外接球半徑，到平面的距離即為到的距離，截面面積.故應(yīng)填：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題（2）的橫線上，并解答下列題目.在中，已知角的對(duì)邊分別為，且，.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，__________，求的面積.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）【解析】（1）由，得，由正弦定理得.因?yàn)?，所以，所以，?（2）選①，設(shè)，.因?yàn)?，所?由余弦定理得，解得.所以，所以的面積.選②，因?yàn)?，所?由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得.所以，所以的面積.選③，因?yàn)?，所?由，解得，所以.由余弦定理得，解得.所以，所以的面積.18．（12分）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對(duì)任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列中，，.（1）求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【解析】（1）法一：由，，相減得，所以周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，由，，得，所以.法二：由，，相減得，所以是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，從而的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為的等差數(shù)列，所以所以.（2）法一：由，，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，法二：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，19．（12分）年月國(guó)務(wù)院印發(fā)《全民健身計(jì)劃》，《計(jì)劃》中提出了各方面的主要任務(wù)，包括加大全民健身場(chǎng)地設(shè)施供給、廣泛開(kāi)展全民健身賽事活動(dòng)、提升科學(xué)健身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會(huì)組織活動(dòng)、促進(jìn)重點(diǎn)人群健身活動(dòng)開(kāi)展和營(yíng)造全民健身社會(huì)氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身運(yùn)動(dòng).某瑜伽館在月份隨機(jī)采訪了名市民，對(duì)于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查.愿意不愿意合計(jì)男性女性合計(jì)（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān)？附：（2）為了推廣全民健身，某市文化館計(jì)劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動(dòng)，在全市范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出人，再?gòu)娜酥须S機(jī)抽取人免費(fèi)參加.市文化館撥給瑜伽館一定的經(jīng)費(fèi)補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案為：男性每人元，女性每人元.求補(bǔ)貼金額的分布列及數(shù)學(xué)期望（四舍五入精確到元）【解析】（1）由已知得.所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān).（2）調(diào)查的人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出人，其中男性人數(shù)為，女性人數(shù)為.記補(bǔ)貼金額為，則可能為，，.，，，則的分布列為數(shù)學(xué)期望（元）.20．（12分）如圖，在四面體中，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn).（1）若平面，求線段的長(zhǎng)；（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的大小.【解析】（1）因?yàn)槊?，面，面面，所?又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且，所以.因?yàn)槭且渣c(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以.在直角中，.（2）法一：連接，因?yàn)樵诘冗呏?，為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槭且渣c(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，所以，所以為二面角的平面角，所以.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接.因?yàn)?，，，面，所以?又因?yàn)槊?，所?又因?yàn)?，面，所以面，所以為與面所成的角.因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以為線段的的中點(diǎn).所以，且，所以，所以與面所成角的大小為.法二：連接.因?yàn)樵诘冗呏?，為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槭且渣c(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn).所以，所以為二面角的平面角，所以.以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，.因?yàn)?，，，所以，所以，，所以?設(shè)平面的法向量為，則即解得，取其中一個(gè)法向量為.因?yàn)?，所以，設(shè)與平面所成的角為，則.又，所以，即與面所成角的大小為.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)（不含短軸端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.【解析】（1）法一：設(shè)，，，，，曲線的方程為.法二：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意可得，所以曲線的方程為.（2）法一：設(shè)點(diǎn)設(shè)，直線方程為直線方程為：，方程為：在方程中令，聯(lián)立，，為定值.法二：設(shè)線設(shè)直線方程為，方程：，，，方程：令，為定值.法三：設(shè)的直線方程為，聯(lián)立方程組得，由，得，代入直線方程得，所以，所以的直線方程為，所以.聯(lián)立方程組解得.所以，所以為定值.法四：設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立方程組解得.由直線的方程為，得，所以.又因?yàn)?，所以為定?22．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列滿足，，求證：對(duì)任意，.【解析】法一：巧妙推理（1）令，在上，，，在上單調(diào)遞增.（2）由要證，只需證即證：，，，先證左邊：令證，即證令，，在上，，得證.再證右邊：，即證，令，在上，，也得證.綜