6.4.1 余弦定理 課件（共41張PPT）

第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向?qū)W習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)理解余弦定理的推導(dǎo)過程，掌握余弦定理及其推論．邏輯推理能用余弦定理解三角形．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算必備知識?探新知

余弦定理知識點(diǎn)1文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和________這兩邊與它們的夾角的余弦的積的______倍符號語言在△ABC中，a2＝____________________，b2＝___________________，c2＝___________________推論在△ABC中，cosA＝____________，cosB＝____________，cosC＝____________減去兩b2＋c2－2bccosA

c2＋a2－2cacosB

a2＋b2－2abcosC

[解析]

由余弦定理及其推論知只有A正確．故選A．A

解三角形一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做____________．元素知識點(diǎn)2解三角形D

150°

[知識解讀]

(1)利用余弦定理可以解兩類有關(guān)三角形的問題①已知兩邊及其夾角，解三角形；②已知三邊，解三角形．(2)余弦定理和勾股定理的關(guān)系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，這說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．關(guān)鍵能力?攻重難題型探究題型一已知兩邊及一角解三角形

[分析]

(1)由余弦定理可直接求第三邊；(2)先由余弦定理建立方程，從中解出BC的長．典例160

4或5

[歸納提升]

已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．C

B

題型二已知三邊解三角形

在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大內(nèi)角．[分析]

由已知條件知角C為最大角，然后利用余弦定理求解．典例2[解析]

由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)．因此c是最大邊，其所對角C為最大內(nèi)角．由余弦定理推論得：∵0°＜C＜180°，∴C＝120°，即最大內(nèi)角為120°．[歸納提升]

已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求一個(gè)角，繼續(xù)用余弦定理求另一個(gè)角，進(jìn)而求出第三個(gè)角．A．90° B．120°C．135° D．150°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于 (

)A．90° B．60°C．120° D．150°B

B

題型三判斷三角形的形狀

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷△ABC的形狀．[分析]

利用余弦定理將已知等式化為邊的關(guān)系．[解析]

已知等式變形為b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC為直角三角形．典例3[歸納提升]

利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．【對點(diǎn)練習(xí)】?

在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷△ABC的形狀．通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．易錯警示忽略三角形三邊關(guān)系導(dǎo)致出錯

設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．典例4[誤區(qū)警示]

由于余弦定理及公式的變形較多，且涉及平方和開方等運(yùn)算，可能會因不細(xì)心而導(dǎo)致錯誤．在利用余弦定理求出三角形的三邊時(shí)，還要判斷一下三邊能否構(gòu)成三角形．【對點(diǎn)練習(xí)】?

在鈍角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范圍．[解析]

因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊，所以b－a＜c＜a＋b，所以2－1＜t＜1＋2＝3，所以1＜t＜3．又△ABC是鈍角三角形，且