角的平分線的性質(zhì)

-.z.角的平分線的性質(zhì)根底知識1．角的平分線的性質(zhì)(1)內(nèi)容角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．(2)書寫格式如下列圖，∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分線的判定(1)內(nèi)容角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．(2)書寫格式如下列圖，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上．3．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是角的平分線以及角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離．在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，題目中常常出現(xiàn)求到*個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，只要作出角的平分線即可．運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，一定要把實(shí)際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，并且要求的點(diǎn)是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點(diǎn)，這個(gè)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是在解決實(shí)際問題中常用的方法．4．運(yùn)用角的平分線的判定解決實(shí)際問題在實(shí)際問題中，如果出現(xiàn)了*個(gè)地點(diǎn)到*些線的距離相等，常先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的平分線)．然后根據(jù)*點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵．找到解決問題的切入點(diǎn)就是條件中有點(diǎn)到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點(diǎn)．5．綜合運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：對于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，"性質(zhì)〞和"判定〞恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時(shí)不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當(dāng)有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明*射線為角平分線時(shí)，只需過其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．6．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題在實(shí)際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)"角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上〞的應(yīng)用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法．三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角平分線的交點(diǎn)，第三條角平分線一定過此交點(diǎn)．三角形兩個(gè)外角的平分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線距離相等．三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)．【例6】如以下列圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)方案修建一個(gè)商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？解：三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點(diǎn)，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點(diǎn)也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)，因此滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)．作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點(diǎn)O1.(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點(diǎn)O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)O4；故滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即點(diǎn)O1，O2，O3，O4處．課堂練習(xí)一、填空題1．：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOC的度數(shù)為.2．角平分線上的點(diǎn)到_________________距離相等；到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_____________．3．∠AOB的平分線上一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_________.4．如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，則BC=_____cm.第7題第7題第6題第4題第5題6．如圖，CD為Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交CD、CB于點(diǎn)E、F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G，則CF______FG，CE________CF.7．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)E，∠AEC及∠AED的平分線所在的直線為PQ與MN，則直線MN與PQ的關(guān)系是_________.8．三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到________________相等．9．點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，∠A=60°，則∠BOC的度數(shù)為_____________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假設(shè)BC=32且BD∶CD=9∶7，則D到AB的距離為.二、選擇題11．三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是〔〕A、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B、三條高的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn)D、三條角平分線的交點(diǎn)12．如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD13．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互穿插的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有〔〕A、1處B、2處C、3處D、4處14．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為〔〕A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能確定第12題第13題第14題15．如圖，MP⊥NP，MQ為△MNP的角平分線，MT＝MP，連接TQ，則以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔〕A、TQ＝PQB、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT第15題16．如圖在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，則AE+DE等于()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm17．如圖，AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點(diǎn)D，則對于以下結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分線上．其中正確的選項(xiàng)是〔〕A．①B．②C．①和②D．①②③第18題18．如圖，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于點(diǎn)第18題A．OA=OCB．點(diǎn)O到AB、CD的距離相等C．∠BDA=∠BDCD．點(diǎn)O到CB、CD的距離相等19．△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為〔〕A．2cm，2cm，2cm；B．3cm，3cm，3cm；C．4cm，4cm，4cm；D．2cm，3cm，5cm20．兩個(gè)三角形有兩個(gè)角對應(yīng)相等，正確說法是〔〕A．兩個(gè)三角形全等B．如果還有一角相等，兩三角形就全等C．兩個(gè)三角形一定不全等D．如果一對等角的角平分線相等，兩三角形全等三、解答與證明21．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，求證：D到AB、AC的距離相等.22．如圖，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點(diǎn)D，假設(shè)BD=CD．求證：AD平分∠BAC.23．如圖，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求證：AE平分∠FAC.24．如圖，AB=AC，AD=AE，DB與CE相交于O.(1)假設(shè)DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，試判斷OE與OD的大小關(guān)系.并證明你的結(jié)論.(2)假設(shè)沒有第〔1〕中的條件，是否有這樣的結(jié)論"試說明理由.25．如圖，∠B=∠C=90°M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB.重點(diǎn)題型講解1.如圖．在△ABC中，∠A、∠B的角平分線交于點(diǎn)O，過O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．〔1〕求BP、CQ、AR的長．〔2〕假設(shè)BO的延長線交AC于E，CO的延長線交AB于F，假設(shè)∠A=60゜，求證：OE=OF．2.如圖．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于點(diǎn)C，且AE=BE，BD平分∠ABM．〔1〕求證：BC=2AD；〔2〕求證：AB=AE+CE；〔3〕求證：DE平分∠MDB3.如圖，點(diǎn)M〔2，2〕，將一個(gè)90°的角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，角尺的兩邊分別交*軸、y軸正半軸于A、B，AP平分∠OAB，交OM于點(diǎn)P，PN⊥*軸于N，把角尺繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)：〔1〕求證：OM平分∠AOB；〔2〕求OA+OB的值4.如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于點(diǎn)H，連CH．〔1〕求證：△ACD≌△BCE；〔2〕求證：CH平分∠AHE；〔3〕求∠CHE的度數(shù)．〔用含α的式子表示〕家庭作業(yè)1角平分線上的點(diǎn)到_________________距離相等；到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_____________．2、∠AOB的平分線上一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_________.3、如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.第3題第4題4、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm第3題第4題三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到________________相等。點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，∠A=60°，則∠BOC的度數(shù)為_____________．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假設(shè)BC=32，且BD∶CD=9∶7，則D到AB的距離為.8、三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是〔〕A、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B、三條高的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn)D、三條角平分線的交點(diǎn)9、如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD10、如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互穿插的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有〔〕A、1處B、2處C、3處D、4處11、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為〔〕A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能確定第9題第10題第11題12、如圖，MP⊥NP，MQ為△MNP的角平分線，MT＝MP，連接TQ，則以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔〕A、TQ＝PQB、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT第12題第13題第14題13、如圖在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，則AE+DE等于()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm14、如圖，AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點(diǎn)D，則對于以下結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分線上．其中正確的選項(xiàng)是〔〕A．①B．②C．①和②D．①②③15、△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為〔〕A．2cm，2cm，2cm；B．3cm，3cm，3cm；C．4cm，4cm，4cm；D．2cm，3cm，5cm16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，且∠BAD∶∠BAC＝1∶3，求∠B的度數(shù)．17、：如圖△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的長．18、如圖11．3—4，在△ABC中∠C=900，AC=BC，AD平分．交BC于點(diǎn)D，