《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題隨機變量及其分布

/NUMPAGES24《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題隨機變量及其分布第二章隨機變量及其分布一.填空題1.設(shè)隨機變量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X1)=,則P(Y1)=_________.解.,2.已知隨機變量X只能?。?,0,1,2四個數(shù)值,其相應(yīng)的概率依次為,則c=______.解.3.用隨機變量X的分布函數(shù)F(x)表示下述概率:P(Xa)=________.P(X=a)=________.P(X>a)=________.P(x1<Xx2)=________.解.P(Xa)=F(a)P(X=a)=P(Xa)－P(X<a)=F(a)－F(a－0)P(X>a)=1－F(a)P(x1<Xx2)=F(x2)－F(x1)4.設(shè)k在(0,5)上服從均勻分布,則有實根的概率為_____.解.k的分布密度為P{有實根}=P{}=P{k－1或k2}=5.已知(k=1,2,3),X與Y獨立,則a=____,b=____,聯(lián)合概率分布_____,Z=X+Y的概率分布為_____.解..(X,Y)的聯(lián)合分布為YX－1－2－3123abZ=X+Y－2－1012P246625112672ab=216,6.已知(X,Y)聯(lián)合密度為,則c=______,Y的邊緣概率密度______.解.所以當時所以7.設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成,二維隨機變量(X,Y)在D上服從均勻分布,則(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度在x=2處的值為_______.解.D的面積=.所以二維隨機變量(X,Y)的密度為:下面求X的邊沿密度:當x<1或x>e2時當1xe2時,所以.8.若X1,X2,…,Xn是正態(tài)總體N(,2)的一組簡單隨機樣本,則服從______.解.獨立正態(tài)分布隨機變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布.,所以9.如果(X,Y)的聯(lián)合分布用下列表格給出,(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P且X與Y相互獨立,則=______,=_______.解.YX123121/61/91/181/3兩式相除得,解得,.10.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX－2－10－1300則i.Z=X+Y的分布律______.ii.V=X－Y的分布律______.iii.U=X2+Y－2的分布律_______.解.X+Y－3－2－1－3/2－1/213P1/121/123/122/121/122/122/12X－Y－1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2+Y－2－15/4－3－11/4－2－157P2/121/121/121/123/122/122/12二.單項選擇題1.如下四個函數(shù)哪個是隨機變量X的分布函數(shù)(A),(B)(C),(D)解.(A)不滿足F(+)=1,排除(A);(B)不滿足單增,排除(B);(D)不滿足F(1/2+0)=F(1/2),排除(D);(C)是答案.2.是隨機變量X的概率分布,則,c一定滿足(A)>0(B)c>0(C)c>0(D)c>0,且>0解.因為,所以c>0.而k為偶數(shù),所以可以為負.所以(B)是答案.3.X～N(1,1),概率密度為(x),則(A)(B)(C)(D)解.因為E(X)==1,所以.(C)是答案.4.X,Y相互獨立,且都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布,則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨機變量是(A)(X,Y)(B)X+Y(C)X2(D)X－Y解.X～,Y～.所以(X,Y)～.所以(A)是答案.5.設(shè)函數(shù)則(A)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù).(B)不是分布函數(shù).(C)離散型分布函數(shù).(D)連續(xù)型分布函數(shù).解.因為不滿足F(1+0)=F(1),所以F(x)不是分布函數(shù),(B)是答案.6.設(shè)X,Y是相互獨立的兩個隨機變量,它們的分布函數(shù)為,則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)是(A)=max{}(B)=max{}(C)=(D)都不是解..(C)是答案.7.設(shè)X,Y是相互獨立的兩個隨機變量,其分布函數(shù)分別為,則Z=min(X,Y)的分布函數(shù)是(A)=(B)=(C)=min{}(D)=1－[1－][1－]解.(D)是答案.8.設(shè)X的密度函數(shù)為,而則Y=2X的概率密度是(A)(B)(C)(D)解.(B)是答案.9.設(shè)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,則的分布密度是(A)(B)(C)(D)解.是一維隨機變量,密度函數(shù)是一元函數(shù),排除(A),(B).,所以(D)不是答案.(C)是答案.注:排除法做單項選擇題是經(jīng)常使用而且很有效的方法.該題也可直接計算Z的密度:當z<0時當z0時=,(C)是答案.10.設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1),則下列結(jié)論正確的是(A)P{X+Y0}=1/2(B)P{X+Y1}=1/2(C)P{X－Y0}=1/2(D)P{X－Y1}=1/2解.因為X和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1),且X和Y相互獨立,所以X+Y～N(1,2),X－Y～N(－1,2)于是P{X+Y1}=1/2,(B)是答案.11.設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布,則Y=min{X,2}的分布函數(shù)是(A)是連續(xù)函數(shù)(B)至少有兩個間斷點(C)是階梯函數(shù)(D)恰好有一個間斷點解.分布函數(shù):當y2時當0y<2時當y<0時于是只有y=2一個間斷點,(D)是答案.三.計算題1.某射手有5發(fā)子彈,射擊一次的命中率為0.9,如果他命中目標就停止射擊,不命中就一直到用完5發(fā)子彈,求所用子彈數(shù)X的分布密度.解.假設(shè)X表示所用子彈數(shù).X=1,2,3,4,5. P(X=i)=P(前i－1次不中,第i次命中)=,i=1,2,3,4.當i=5時,只要前四次不中,無論第五次中與不中,都要結(jié)束射擊(因為只有五發(fā)子彈).所以P(X=5)=.于是分布律為X12345p0.90.090.0090.00090.00012.設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品,3件次品,現(xiàn)一件一件地隨機取出,分別求出在下列各情形中直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布密度.i.每次取出的產(chǎn)品不放回;ii.每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢驗后放回,再抽取;iii.每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回,再抽取.解.假設(shè)Ai表示第i次取出正品(i=1,2,3,…)i.每次取出的產(chǎn)品不放回X1234pii.每次抽取后將原產(chǎn)品放回X12…k…p…,(k=1,2,…)iii.每次抽取后總以一個正品放回X1234p3.隨機變量X的密度為,求:i.常數(shù)c;ii.X落在內(nèi)的概率.解.4.隨機變量X分布密度為i.,ii.求i.,ii的分布函數(shù)F(x).解.i.當x1時當－1<x<1時當x1時所以ii.當x<0時當0x<1時當1x<2時當2x時所以5.設(shè)測量從某地到某一目標的距離時帶有的隨機誤差X具有分布密度函數(shù),－<x<+試求:i.測量誤差的絕對值不超過30的概率;ii.接連獨立測量三次,至少有一次誤差的絕對值不超過30的概率.解.因為,－<x<+,所以X～N(20,402).i.=0.4931.(其中(x)為N(0,1)的分布函數(shù))ii.P(至少有一次誤差的絕對值不超過30)=1－P(三次誤差的絕對值都超過30)=6.設(shè)電子元件的壽命X具有密度為問在150小時內(nèi),i.三只元件中沒有一只損壞的概率是多少?ii.三只電子元件全損壞的概率是多少?iii.只有一個電子元件損壞的概率是多少?解.X的密度.所以.令p=P(X150)=1－=.i.P(150小時內(nèi)三只元件沒有一只損壞)=ii.P(150小時內(nèi)三只元件全部損壞)=iii.P(150小時內(nèi)三只元件只有一只損壞)=7.對圓片直徑進行測量,其值在[5,6]上服從均勻分布,求圓片面積的概率分布.解.直徑D的分布密度為假設(shè),X的分布函數(shù)為F(x).當x0時,F(x)=0當x>0時當F(x)=0當=當x>9時所以密度8.已知X服從參數(shù)p=0.6的0－1分布在X=0,X=1下,關(guān)于Y的條件分布分別為表1、表2所示表1表2Y123Y123P(Y|X=0)P(Y|X=1)求(X,Y)的聯(lián)合概率分布,以及在Y1時,關(guān)于X的條件分布.解.X的分布律為X01p0.40.6(X,Y)的聯(lián)合分布為YX123010.10.20.1