材料力學講義五

材料力學講授:顧志榮第十章應力狀態(tài)理論基礎

同濟大學航空航天與力學學院

顧志榮材料力學第十章應力狀態(tài)理論基礎一應力狀態(tài)的概念及其描述二平面應力狀態(tài)分析—數解法三平面應力狀態(tài)分析—圖解法四三向應力狀態(tài)五廣義虎克定律六三向應力狀態(tài)下的變形能一應力狀態(tài)的概念及其描述第十章應力狀態(tài)理論基礎第十章應力狀態(tài)理論基礎/一應力狀態(tài)的概念及其描述1問題的提出2應力的三個重要概念3一點應力狀態(tài)的描述一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力F拉(壓):一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

扭轉:討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

討論基本變形強度問題時的共同特點:危險截面上的危險點只承受正應力或剪應力一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

對于橫截面上既有正應力又有剪應力的一些點如何建立強度條件?這些點強度條件的危險應力如何確定?一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

FPl/2l/2S平面5544332211

S平面123S平面

5544332211一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

4PlFMz=一應力狀態(tài)的概念及其描述/1問題的提出

為什么鋼筋混凝土梁在加載試驗過程中,除了在跨中底部會發(fā)生豎向裂縫外,其他部位還會發(fā)生斜向裂紋?這些問題都要通過應力狀態(tài)的分析來解決.2.應力狀態(tài)的三個重要概念(1)應力的面的概念(2)應力的點的概念(3)應力狀態(tài)的概念第十章應力狀態(tài)理論基礎/一應力狀態(tài)的概念及其描述軸向拉壓同一橫截面上各點應力相等：FF同一點在斜截面上時：第十章應力狀態(tài)理論基礎/一應力狀態(tài)的概念及其描述此例表明：即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。第十章應力狀態(tài)理論基礎/一應力狀態(tài)的概念及其描述應力指明哪一個面上

哪一點？哪一點哪個方向面？第十章應力狀態(tài)理論基礎/一應力狀態(tài)的概念及其描述過一座點不夫同方借向面愿上應殲力的泉集合斜，稱玩之為俗這一緩點的應力驗狀態(tài)。應力唱狀態(tài)赴分析就是木研究吐一點競處沿脹各個奏不同吼方位襖的截贏面上螺的應繞力及禮其變怠化規(guī)國律。第十允章幣應殲力狀榜態(tài)理窮論基米礎/威一理應力南狀態(tài)汽的概插念及昆其描爪述單元批體3溪.一點浩應力幅狀態(tài)踏的描接述第十非章罪應稿力狀倡態(tài)理撓論基觀礎/亭一旺應力胃狀態(tài)著的概沫念及登其描襖述圖示暈為一赴矩形林截面笛鑄鐵奔梁，惡受兩僻個橫濁向力翁作用斧。從哈梁表駛面的威A、約B、撓C三車點處大取出霉的單漫元體欠上，爛用箭乎頭表棕示出浸各個甜面上挽的應卻力。課堂其練習第十括章剛應積力狀掛態(tài)理擋論基乳礎/嗽一吹應力服狀態(tài)乞的概龜念及縮慧其描佳述FPl/2l/2S’平面5544332211S’平面第十盈章定應單力狀幣態(tài)理歪論基勵礎/由一卡應力抱狀態(tài)絡的概胳念及原其描筍述課堂雨練習繪圖趙示梁名S’齡平面聞上各點方的應寄力單破元體123S’平面

5544332211一表應力慶狀態(tài)消的概禽念及寸其描吼述/百1趙問題餓的提勿出FPlaS第十本章歌應庫力狀奪態(tài)理川論基聲礎/飛一銀應力宗狀態(tài)紀的概鳳念及磁其描紡述課堂協(xié)練習繪圖罵示構籍件固您端S燈截面錢上、杠下、左、右切比線點珍處的伏應力巖單元沙體xzy4321S平面第十遲章五應笛力狀批態(tài)理追論基欲礎/訂一金應力脂狀態(tài)滔的概撈念及汽其描妨述SFPyxzMzFQyMx4321143第十賠章博應紋力狀撕態(tài)理宮論基勝礎/緩一紛應力慎狀態(tài)慘的概水念及層其描盼述課堂虧練習l課堂憐練習承受辣內壓媽、扭盛轉的袍薄壁濕圓筒務,試變從加疑強肋蠢之間睬取應餓力單襪元體第十曾章懸應復力狀透態(tài)理歌論基腎礎/代一僚應力織狀態(tài)喝的概桃念及敬其描攜述ｐＤｐπD２４)Dp(xsｐ第十棟章位應揚力狀區(qū)態(tài)理餓論基差礎/既一鏈應力擱狀態(tài)虛的概益念及耐其描叉述ｐｐ×酷Ｄ×羨ｌ第十練章留應奪力狀份態(tài)理貢論基肉礎/裕一民應力掩狀態(tài)植的概棟念及毀其描旗述l第十警章霜應含力狀雖態(tài)理以論基臭礎/簡一否應力倉狀態(tài)沉的概觀念及扮其描津述ltsms第十被章萬應冒力狀尋態(tài)理鮮論基作礎/更一評應力急狀態(tài)晨的概信念及邀其描糞述ｐ二敲平面好應力玻狀態(tài)蘭分析—數解從法第十克章覆應級力狀右態(tài)理綁論基保礎第十歇章等應臉力狀凍態(tài)理崗論基慢礎/距二襪平面欲應力蘇狀態(tài)宗分析—胞數解巾法1.而斜截踢面上尾的應尊力已知絹受力儉構件甘中的澤應力她單元悔體求垂是直于宿xy問面的服任意炮斜截戚面e濾f上劇的應鉗力公式廚推導爸使用尊的符移號規(guī)黨定：α角由x蛾正向摸逆時不針轉倒到n破正向孩者為尚正；執(zhí)反之住為負枕。正評應栗力拉應力為正壓應力為負切塘應種力使單限元體搞或其診局部驢順時毅針方情向轉弄動為遭正；圾反之過為負鋒。第十伯章圍應賤力狀血態(tài)理容論基煮礎/員二躲平面添應力挽狀態(tài)用分析—柄數解臉法αα公式慘推導(1育)倉面受上的坦應力標：第十控章鑼應縫力狀跪態(tài)理室論基務礎/賺二蹈平面資應力司狀態(tài)伴分析—燈數解檔法用斜截面截取，此截面上的應力為公式剃推導(2討)徐面誼上的怎應力免：即單熔元體暴兩個皇相互羞垂直煎面上的正套應力串之和員是一沒個常泊數。即又裁一次銜證明奧了剪桿應力龍的互棕等定昨理。公式循推導(3丑)卵面上研的應獲力之畢間的出關系煮：第十貿章蚊應蠅力狀悔態(tài)理籍論基祝礎/捆二烏平面土應力白狀態(tài)碑分析—腹數解附法2.在何目處?砌該插處令,則:即:面上惕有第十宵章怕應毀力狀題態(tài)理舊論基噴礎/音二字平面史應力刊狀態(tài)扔分析—判數解腦法在何關處?令得:任意純(為瓜方便奇)令悲:可發(fā)輪現(xiàn):基①正叉應力消極值折有兩仁個方狡面②朵相差第十角章閉應昌力狀備態(tài)理斥論基火礎/港二死平面升應力錯狀態(tài)背分析—苦數解民法將堅代亂入盡式葛,得顯然膽,在增面上3、=陽?專在駝何處罩？漢該處時σ=籮？令面上毀的正掌應力將:即:方位甚:大小虎:將倚代筆式幟,得跳:4、珠主平渴面、暖主應遙力、懂主應壇力的烤排列主平固面：子單元扇體中諷只有冊正應暑力而潮沒有想剪應通力的總平面濤稱為剃主平面淘。主應床力：欣主平帶面上祖的正柱應力在稱為塊該點尺的主書應力近。主應潔力的螞排列夜：用代窩數值趨確定趟，排營列為、、三向彈（空脫間）煙應力檔狀態(tài)第十羊章頌應電力狀莖態(tài)理傷論基珍礎/蒙一安應力趙狀態(tài)泄的概郵念及員其描年述5、部應力荒狀態(tài)懸的分監(jiān)類：平面昆（二勿向）訓應力奧狀態(tài)第十遮章警應脾力狀朗態(tài)理騎論基叔礎/藍一刪應力堵狀態(tài)儲的概屯念及慎其描安述xyxy單向關應力喉狀態(tài)純剪乳應力寸狀態(tài)第十請章礎應塊力狀矩態(tài)理匪論基蓮礎/然一協(xié)應力腦狀態(tài)哨的概圣念及博其描絮述三向影應力御狀態(tài)平面毫應力劣狀態(tài)單向熟應力領狀態(tài)純剪妨應力邪狀態(tài)特例特例第十路章業(yè)應湊力狀爪態(tài)理板論基綢礎/斧一矮應力號狀態(tài)姨的概詠念及識其描鄙述一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題（1脖）斜糠面上偷的應網力解、皺(1初)斜面便上的毅應力（2湊）主魂應力主平脈面的留方位裂：哪個耽主應修力對森應于姥哪一表個主蟻方向滲，可兩以采鐵用以褲下方梢法：主應力的方向：主應力的方向：++圖示唉應力雙單元掌體，源試求敘斜面刪ab駁和b還c上謎的應褲力。在二貍向應襲力狀笨態(tài)下瞎，任雞意兩隸個垂蛇直面滲上，幕其σ騰的和靜為一鐘常數光。例題分析繼軸向幫拉伸遙桿件丘的最揮大切夕應力凡的作齡用面客，說咬明低籃碳鋼非拉伸將時發(fā)設生屈礦服的拿主要農原因址。低碳除鋼拉夢伸時辨，其起上任欺意一供點都蝴是單概向應狂力狀港態(tài)。低碳魂鋼試身樣拉塊伸至調屈服纏時表獲面沿塊450出現(xiàn)艙滑移好線，秒是由輩最大顫切應擁力引棕起的笨。例題分析必圓軸榜扭轉者時最朱大切父應力遮的作末用面蘋，說怪明鑄泳鐵圓弱試樣賠扭轉蜘破壞炎的主潛要原籠因。鑄鐵哲圓試祝樣扭計轉試閑驗時膛，正法是沿觸著最習大拉頭應力跟作用昌面（內即4欲50螺旋怪面）決斷開巖的。繞因此屠，可腹以認粒為這衫種脆擺性破球壞是集由最贊大拉慚應力司引起遍的。例題三副平面族應力客狀態(tài)惡分析—圖解顆法第十榮章?lián)蠎獏擦钣^態(tài)理廉論基樓礎1、旦應力污圓方呀程(1弄)(2舌)對(扣1)趣(栗2)元式兩灣邊平憂方，煌將兩傳式相續(xù)加，昨并利振用消去攔和睡，得(3橋)RR比照解析幾何的曲線方程是一個圓心在(a.0),半徑為R的圓，則是個應力圓的方程2.恐應力泳圓是牧個信壁息源努(從恒力學午觀點資分析?。?旬）若鈔已知烏一個格應力戀單元燙體兩襖個互透相垂修直面針上的鞠應力吧就一魄定可晨以作仆一個訪圓，肝圓周大上的火各點跳就是奶該單必元體快任意星斜截父面粘上寇的應冤力。（2膜）平毅面應猛力狀愧態(tài)下籌任意賊斜截遞面蛾上養(yǎng)的應來力相殊互制疾約在賠圓周后上變常化。在σ-τ坐標煌系中胃，標催定與得微元陳A、棍D面上蠶應眠力對時應的情點a和d連ad交s

軸于c點，c即為圓心，cd為應力圓半徑。ADa(sx,tx)d(sy,ty)cR3.申應力貝圓的才畫法點面眨對應——查應力惱圓上蜓某一滑點的顫坐標鋸值對無應著柴微元牌某一犧方向腿面上己的正匯應力趁和切趙應力4、慕幾種敗對應乏關系caA轉向廚對應——半清徑旋毅轉方爸向與妥方向爽面法贏線旋棟轉方脫向一奶致；二倍役角對止應——撥半徑繩轉過決的角邁度是等方向績面旋溪轉角度句的兩翁倍。caDndxA2b(sy,ty)Oca(sx,tx)BABAsxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE（1定）對限基本蔑變形瓜的應禿力分般析單向階拉伸5、盤應力穩(wěn)圓的供應用單向海拉伸x'y'BEsxsxt45oBEs45o45異o方向貨面既頁有正險應力志又有輩切應鎖力，極但正量應力客不是原最大垮值，姜切應它力卻毫最大慌?？梢娖剑簊-45ot-45ottotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os45o＝tBE純剪袋切（1粱）對程基本硬變形澇的應彈力分船析5、善應力突圓的訊應用BEttBE純剪榮切s45o＝t5.勢應力甩圓的類應用（2教）平圾面應臭力狀跪態(tài)下犧求任合意截去面上美的應搭力點面蛋相對須應，煮首先唇找基間準。轉向陰要相燒同，縱夾角泰兩倍宴整。txsxsytytsoc20adAD主平仍面：τ=媽0,與應堅力圓木上和到橫軸踩交點概對應每的面5、呼應力王圓的竄應用(3服)平滾面應抄力狀拿態(tài)下蘆主平好面、券主應后力及偷主方服向txsxsytyAD主應確力的盞確定tsoc2αoad5、執(zhí)應力莖圓的物應用(3百)平理面應仇力狀命態(tài)下詢主平手面、鮮主應街力及及主方爛向主應瘡力排共序：tsoc2qpadtsotso5、墻應力業(yè)圓的殲應用(3螞)平眉面應檢力狀浸態(tài)下罵主平很面、芒主應梳力及美主方妻向txysxsytyxADtsoc2oads1s2s1s1os2s2(sx,txy)主方斑向的幸確定負號托表示熄從主環(huán)應力斧的正截方向到x軸的辯正方葵向為阻順時鎮(zhèn)轉向g5、提應力耐圓的骨應用(3益)平窮面應大力狀揮態(tài)下塵主平幸面、據主應木力及寄主方簡向對應堅應力批圓上億的最詠高點織的面凈上切獵應力電最大挎，稱湊為“開面內巾最大應切應擋力”。tma匪x5、胡應力條圓的芽應用（4臭）面誤內最老大剪陷應力tsoc2oad例題試用薦應力取圓法西計算舊圖示隆單元松體e棒--息f截違面上譯的應憂力。笛圖中腐應力納的單答位為哭MP歪a。

例題一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。AD用應窮力圓能解法otscdfe解：主應壤力單移元體焰：三向疤應力節(jié)狀態(tài)1.三向參應力散狀態(tài)鋒的概證念2.三向改應力監(jiān)狀態(tài)愿的應董力圓3.一點忌處的虹最大舍應力第十技章感應火力狀緞態(tài)理廈論基劃礎空間放應力冒狀態(tài)嫂：三痛個主翅應力趨均不縮慧為零野的應唱力狀仔態(tài)s1s2s3四汽三向墾應力絡狀態(tài)聚/1僚.三程向應飼力狀約態(tài)的夫概念szsxsytxty至少匹有一授個主箱應力氧及其單主方籍向已農知sytxtysxsz三向聽應力冬狀態(tài)她特例則的一斧般情隸形四柔三向題應力司狀態(tài)厲/1息.三府向應斧力狀殖態(tài)的擱概念tss3s2IIs1s2s3(1優(yōu))求纏平行向于σ1的方帥向面堪的應搶力σα、τα,其上冶之應跡力與σ1無關氏.于批是由σ2、σ3作出扯應力泡圓I四希三向拆應力惡狀態(tài)攤/2六.三欠向應繼力狀走態(tài)的敬應力朱圓IIs1

s3IIIs2tsOs2s3s1(2春)求革平行毛于σ2的方四向面培的應郊力σα、τα,其上諒之應罪力與σ2無關步.于股是由σ1、σ3作出項應力迎圓Ⅱ四慰三向憲應力挺狀態(tài)拆/2查.三賠向應朵力狀繩態(tài)的僵應力薄圓IIItsOs3IIIs2s1IIIs2s1s3(3賓)求體平行款于σ3的方違向面硬的應禍力σα、τα,其上勿之應熟力與σ3無關渡.于令是由σ1、σ2作出建應力昨圓Ⅲ四挪三向萍應力啄狀態(tài)矮/2禍.三檢向應兇力狀不態(tài)的奮應力宏圓s1s2s3(4傾)一初點處換任意滾斜截化面上碼的應虛力σn、τn,其上擇之應易力與σ1、σ2、σ3都有冠關.四鼓三向賭應力梢狀態(tài)圈/2登.三虹向應豪力狀煮態(tài)的刷應力削圓在σ-創(chuàng)τ平面變內,激代表摘任意傍斜截策面的勤應力湊的點買或位狗于應擇力圓鍬上,孔或位倆于三馬個應訴力圓股所構怎成的濃區(qū)域浪內.IIIs3II四Is2s1Ots四畫三向凝應力秧狀態(tài)貴/3幣.一帆點處皮的最挨大應伙力一點泰處最嚼大正桃應力榴與最拍小正橫應力由σ1和σ3所作品成的村最大應力痕圓可趁見:IIIIIIs1s2s3tsOtszyxs2s1s3四狐三向床應力量狀態(tài)炭/3珍.一低點處槳的最古大應到力(2彩)面呢內最飯大剪啦應力仇與一承點處標最大焰剪應疤力ⅠOtss3s2zyxs2s3四鏈三向劉應力押狀態(tài)昏/3豆.一乒點處娛的最嫌大應躍力(2億)面漂內最糊大剪飼應力傘與一抽點處成最大烘剪應浮力Ⅱzyxs1s3s1Otss3s2Ⅰ四醉三向饑應力俊狀態(tài)腹/3旱.一錘點處謝的最襪大應潮力(2授)面緒內最鉗大剪墓應力析與一羞點處電最大關剪應退力Ⅲzyxs2s1s1Ⅱs1Otss3s2Ⅰ四體三向夸應力訊狀態(tài)完/3符.一鳥點處炭的最任大應譽力(2釘)面驚內最字大剪剃應力懶與一生點處影最大釋剪應勿力Otxysx在三燈組特矛殊方蓬向面瓜中都鵲有各捧自的瓦面內杜最大泡切應移力,道即：四凈三向閣應力餅狀態(tài)搜/3啄.一宇點處輪的最下大應嘉力五危廣楚義虎現(xiàn)克定農律1.橫向街變形巡壽與泊競松比2.三向釋主應組力狀錄態(tài)的跟廣義繞虎克脖定律3.三向產一般亮應力裕狀態(tài)潔的廣蘿義虎吩克定斬律4.彈性閃常數E、G、μ之間修的關炮系第十眠章紐奉應妄力狀衣態(tài)理掙論基偽礎各向榴同性光材料往的廣搞義胡稀克定蠢律1、懲橫向琴變形掠與泊息松比膽（各久向同拳性材壞料）--泊松比yx2、釋三向御應力播狀態(tài)并的廣辨義胡欣克定類律－蘋疊加舒法++231231231231231231231分析叨：(1佩)即(2)當時，即為二向應力狀態(tài)：(3)當時，即為單向應力狀態(tài)；即最抗大與健最小遺主應泄變分狡別發(fā)蒙生在割最大驅與最臥小主點應力己方向炸。

若單元體上作用的不是主應力，而是一般的應力時，則單元體不僅有線變形，而且有角變形。其應力-應變關系為：

yxz3.堆三向炒一般慮應力花狀態(tài)綱的廣竄義虎污克定背律4、峽三個丸彈性酬常數E、般G、μ之間撞的關斑系邊長想為2泉0m妨m的認鋼立境方體喂置于諸鋼模宣中，捕在頂舍面上洞受力毯F=顯14臟kN凍作用隸。已熟知，μ=0晚.3尸，假易設鋼著模的啟變形五以及腦立方倉體與雖鋼模蹤蝶之間詢的摩估擦可昨以忽君略不盞計。棉試求貸立方歸體各平個面徐上的瞇正應筆力。例題某點侄的應禁力狀耀態(tài)如瓜圖所尸示,嗓當σx,σy,σz不變惑,τx增大包時,核關于鎮(zhèn)εx值的細說法明正確閉的是幣__堪__季.A.葡不變B.愁增大C.惹減小D.謹無法浙判定εx僅與僚正應代力有印關，扣而與羊切應驅力無郵關?？克耘瀹斍谐蓱ζＴ龃蟊迺r，肺線應稿變不郵變。例題一受帽扭圓歌軸,局直徑沾d=繪20駁mm海,圓獨軸的結材料興為,鏟E=楚20木0G箭Pa坊,ν井=0堅.3晶.現(xiàn)狹測得暢圓軸就表面針上與糠軸線撓成4站50方向數的應就變?yōu)槲瑕?餐5.欣2×咳10-4,試法求圓亭軸所容承受忠的扭銜矩.例題已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉的聯(lián)合作用。為了測定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45°方向測出線應變。現(xiàn)測得軸向應變，45°方向的應變?yōu)?。若軸的直徑D=100mm,彈性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。試求F和m的值。FmmFkuu45°例題解：（1蔬）K點處錢的應暢力狀航態(tài)分恩析在K點取幅出單稿元體臺：K其橫渠截面榮上的久應力天分量挎為：（2早）計廣算外且力F.由廣蒜義胡屈克定鹿律：解得捎：（3懸）計智算外題力偶m.已知式中Ku由解得暈：因此六摔三朗向應屑力狀竿態(tài)下嶄的變媽形能1.體積次應變2.體積杜改變玻與形角狀改苦變3.三向捷應力征狀態(tài)爛下的徒變形院比能第十垂章痛應定力狀竟態(tài)理躍論基燭礎變形獻前單鈴元體男體積六希三離向應懲力狀蹄態(tài)下王的變想形能允/1暮.體款積應崗變變形蒸后單松元體炭的各艘棱邊