2023年高等數(shù)學(xué)微分方程試題匯編

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦高等數(shù)學(xué)微分方程試題匯編第十二章微分方程

§2-1微分方程的基本概念

一、推斷題

1.y=ce2x（c的隨意常數(shù)）是y'=2x的特解。（）

2.y=（y）3是二階微分方程。（）

3.微分方程的通解包含了全部特解。

（

）

4.若微分方程的解中含有隨意常數(shù)，則這個(gè)解稱為通解。（）

5.微分方程的通解中隨意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。（

）

二、填空題

微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的階數(shù)是_______________。2.函數(shù)y=3sinx-4cosx___________微分方程的解。

3.積分曲線y=(c1+c2x)e2x中滿足yx=o=O,y"x=o=1的曲線是_________________。三、挑選題

1._________________下列方程中是常微分方程

_2

_2222

darctanx

3

'3

22

(A)、x+y=a(B)、y+——(e)=0(C)、—2+—=0

(D)、y=x+y

dx

ex

cy

2._______________下列方程中是二階微分方程

2

y2

i-2232

(A)(y)+x+x=0

(B)(y)+3xy=x(C)y+3y+y=0(D)y-y=sinx

(A)y=ccoswx(B)y=csinwx(C)y=cicoswx+c2sinwx

(D)y=ccoswx+csinwx

2

4.C是隨意常數(shù)，則微分方程

y=3y3的一個(gè)特解是______________

3

3

3

3

(A)y-=(x+2)(B)y=x+1(C)y=(x+c)(D)y=c(x+1)

四、試求以下述函數(shù)為通解的微分方程。

2

2

2x

3x

1.y=CxC(其中C為隨意常數(shù))

2.y=CieC2e(其中C-C?為隨意常數(shù))

五、質(zhì)量為m的物體自液面上方高為h處由靜止開(kāi)頭自由落下，已知物體在液體中受的阻力與運(yùn)

3.微分方程

穿+w2y=0的通解是

______中c.ci.c2均為隨意常數(shù)

動(dòng)的速度成正比。用微分方程表示物體，在液體中運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)光的關(guān)系并寫出初始條件。

12-2可分別變量的微分方程

、求下列微分方程的通解

22

1.sec.tacydx+secytanxdy=O

22

2.(x+xy)dx-(xy+y)dy=0

x+yxx+yy

3.(e-e)dx+(e-e)dy=0

4.y=cos(x-y).(提醒令.x-y=z)

、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解

-x兀

1.cosydx+(1+e)sinydy=O.yx=o=—

4

secx

2.牙dy=xdx.y3仃=一1

1+y2T

、設(shè)f(x)=x+.xf(u)du,f(x)是可微函數(shù)，求f(x)

四、求一曲線的方程，曲線通過(guò)點(diǎn)（0.1），且曲線上任一點(diǎn)處的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線。

五、船從初速vo=6米/秒而開(kāi)頭運(yùn)動(dòng)，5秒后速度減至一半。已知阻力與速度成正比，試求船速隨時(shí)光變化的邏輯。

12-3齊次方程

、求下列齊次方程的通解

求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解

二、求方(x+y+1)dx=(x-y+1)dy的通解

y1xy-xsin

x

yy

2(x+ycos)dx-xcosdy=0

xx

1.xy虬x2+y2

ax

22

2.xdy+(xy-y)dx=0y

x=i=1

四、設(shè)有連結(jié)點(diǎn)0(0,0)和A(1，1)

段向上凸的曲線孤OA對(duì)于OA上任一點(diǎn)

P(x，y),曲線孤與OP直線段

Op所圍圖形的面積為

x2，求曲線孤O「A的方程。

、求下列微分方程滿足初始條件的特解

1.y"cosy+siny=xyx曲=—

4

、已知f(二),曲線積分，asinx-f(x)l#dx?f(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)f(x).

x

四、質(zhì)量為Mo克的雨滴在下落過(guò)程中，因?yàn)椴粩嗾舭l(fā)，使雨滴的質(zhì)量以每秒m克的速率削減，且所受空氣阻力和下落速度成正比，若開(kāi)頭下落時(shí)雨滴速度為零，試求雨滴下落的速度與時(shí)光的關(guān)系。

五、求下列伯努利方程的通解

1.y，+_y=x2y5

x

2.xy'+y-y2lnx=012.4—階線性微分方程

、求下列微分方程的通解

x

1.xy+y=xe

2.y+ytanx=sin2x

dy_y

dxxy3ey

2.(2x+1)eyy2ey=4y=0

12-4全微分方程

、求下列方程通解

22

1．[cos(x+y)+3y]dx+[2ycos(x+y)+3x]dy=0

2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0

yy

3.edx+(xe-2y)dy=0

、利用觀看法求出下列方程的積分因子，并求其通解

2

1ydx-xdy+yxdx=0

2y(2xy+ex)dx-exdy=0

2

三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0為全微分方程，其中函數(shù)f(x)延續(xù)可微，數(shù)

f(0)=0,試求函f(x)，并求該方程的通解。

12-7可降階的高階微分方程

一、求下列各微分方程的通解

1.y=xsinx

2.y-y=x

3.yy+(y)2=y

4.y(1+ex)+y=0

二、求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解

FF31卩

1.2y=sin2y丫*衛(wèi)=匚y%衛(wèi)=1

tttftc?2

2.xy-y1ny+yinx=oyx±=2yx^=e

、函數(shù)f(x)在x