最適合初學(xué)者看的能帶理論

固體的能帶

物理學(xué)家原來只知道導(dǎo)體和絕緣體,只是在量子理論的指引下,通過對原子的能級和固體的能帶進行計算和分析后才發(fā)現(xiàn)了半導(dǎo)體,隨后發(fā)明了晶體管和集成電路,從而才能使我們的社會進入信息化時代.

1當(dāng)前第1頁\共有39頁\編于星期四\1點前言第八章晶體的能帶結(jié)構(gòu)從STM得到的硅晶體表面的原子結(jié)構(gòu)圖物理學(xué)前言之一材料的性質(zhì)大規(guī)模集成電路半導(dǎo)體激光器超導(dǎo)人工微結(jié)構(gòu)2當(dāng)前第2頁\共有39頁\編于星期四\1點§8.1晶體的能帶一.電子共有化晶體具有大量分子、原子或離子有規(guī)則排列的點陣結(jié)構(gòu)。電子受到周期性勢場的作用。a按量子力學(xué)須解定態(tài)薛定格方程。3當(dāng)前第3頁\共有39頁\編于星期四\1點

解定態(tài)薛定格方程(略），可以得出兩點重要結(jié)論：1.電子的能量是分立的能級;2.電子的運動有隧道效應(yīng)。原子的外層電子(高能級)，勢壘穿透概率較大，電子可以在整個晶體中運動,稱為共有化電子。原子的內(nèi)層電子與原子核結(jié)合較緊,一般不是共有化電子。4當(dāng)前第4頁\共有39頁\編于星期四\1點二.能帶(energyband)量子力學(xué)計算表明，晶體中若有N個原子，由于各原子間的相互作用，對應(yīng)于原來孤立原子的每一個能級,在晶體中變成了N條靠得很近的能級,稱為能帶。晶體中的電子能級有什么特點？5當(dāng)前第5頁\共有39頁\編于星期四\1點能帶的寬度記作E，數(shù)量級為E～eV。

若N~1023,則能帶中兩能級的間距約10-23eV。一般規(guī)律：

1.越是外層電子，能帶越寬，E越大。

2.點陣間距越小，能帶越寬，E越大。3.兩個能帶有可能重疊。6當(dāng)前第6頁\共有39頁\編于星期四\1點離子間距a2P2S1SE0能帶重疊示意圖7當(dāng)前第7頁\共有39頁\編于星期四\1點三.能帶中電子的排布晶體中的一個電子只能處在某個能帶中的某一能級上。

排布原則：

1.服從泡里不相容原理（費米子）

2.服從能量最小原理設(shè)孤立原子的一個能級Enl，它最多能容納2(2+1)個電子。這一能級分裂成由N條能級組成的能帶后，能帶最多能容納2N(2l+1)個電子。8當(dāng)前第8頁\共有39頁\編于星期四\1點

電子排布時，應(yīng)從最低的能級排起。

有關(guān)能帶被占據(jù)情況的幾個名詞：1．滿帶（排滿電子）2．價帶（能帶中一部分能級排滿電子）

亦稱導(dǎo)帶3．空帶（未排電子）亦稱導(dǎo)帶4．禁帶（不能排電子）2ｐ、3ｐ能帶，最多容納6N個電子。例如，1ｓ、2ｓ能帶，最多容納2N個電子。2N(2l+1)9當(dāng)前第9頁\共有39頁\編于星期四\1點一.布洛赫定理一個在周期場中運動的電子的波函數(shù)應(yīng)具有哪些基本特點？在量子力學(xué)建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里淵（Brillouin）等人就致力于研究周期場中電子的運動問題。他們的工作為晶體中電子的能帶理論奠定了基礎(chǔ)。布洛赫定理指出了在周期場中運動的電子波函數(shù)的特點?！?.2（補充）布洛赫定理空間10當(dāng)前第10頁\共有39頁\編于星期四\1點在一維情形下，周期場中運動的電子能量E(k)和波函數(shù)必須滿足定態(tài)薛定諤方程

k-------表示電子狀態(tài)的角波數(shù)V(x)----周期性的勢能函數(shù)，它滿足

V(x)=V(x+na)a----晶格常數(shù)n-----任意整數(shù)11當(dāng)前第11頁\共有39頁\編于星期四\1點布洛赫定理：式中也是以a為周期的周期函數(shù)，即*

注*：關(guān)于布洛赫定理的證明，有興趣的讀者可以查閱《固體物理學(xué)》黃昆原著韓汝琦改編（1988）P154具有(2)式形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù),或布洛赫函數(shù)。滿足（1）式的定態(tài)波函數(shù)必定具有如下的特殊形式12當(dāng)前第12頁\共有39頁\編于星期四\1點布洛赫定理說明了一個在周期場中運動的電子波函數(shù)為：一個自由電子波函數(shù)與一個具有晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù)的乘積。

只有在等于常數(shù)時，在周期場中運動的電子的波函數(shù)才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê瘮?shù)。

這在物理上反映了晶體中的電子既有共有化的傾向，又有受到周期地排列的離子的束縛的特點。

因此，布洛赫函數(shù)是比自由電子波函數(shù)更接近實際情況的波函數(shù)。它是按照晶格的周期a調(diào)幅的行波。13當(dāng)前第13頁\共有39頁\編于星期四\1點實際的晶體體積總是有限的。因此必須考慮邊界條件。

設(shè)一維晶體的原子數(shù)為N,它的線度為L=Na,則布洛赫波函數(shù)應(yīng)滿足如下條件此式稱為周期性邊界條件。二.周期性邊界條件采用周期性邊界條件以后，具有N個晶格點的晶體就相當(dāng)于首尾銜接起來的圓環(huán)：在固體問題中，為了既考慮到晶體勢場的周期性，又考慮到晶體是有限的，我們經(jīng)常合理地采用周期性邊界條件：14當(dāng)前第14頁\共有39頁\編于星期四\1點由周期性邊界條件可以推出:布洛赫波函數(shù)的波數(shù)k只能取一些特定的分立值。aa周期性邊界條件對波函數(shù)中的波數(shù)是有影響的。圖2周期性邊界條件示意圖15當(dāng)前第15頁\共有39頁\編于星期四\1點左邊為右邊為所以由周期性邊界條件即周期性邊界條件使k只能取分立值：證明如下:按照布洛赫定理：16當(dāng)前第16頁\共有39頁\編于星期四\1點k是代表電子狀態(tài)的角波數(shù),n是代表電子狀態(tài)的量子數(shù)。對于三維情形,電子狀態(tài)由一組量子數(shù)(nx、ny、nz)來代表。它對應(yīng)一組狀態(tài)角波數(shù)（kx、ky、

kz）。一個對應(yīng)電子的一個狀態(tài)。17當(dāng)前第17頁\共有39頁\編于星期四\1點我們以為三個直角坐標軸，建立一個假想的空間。這個空間稱為波矢空間、空間，或動量空間*。kx、ky、

kz由于德布洛意關(guān)系，即，所以空間也稱為動量空間。注：在空間中，電子的每個狀態(tài)可以用一個狀態(tài)點來表示，這個點的坐標是三.空間18當(dāng)前第18頁\共有39頁\編于星期四\1點kykx0-112-23-31-12-2-33上式告訴我們，沿空間的每個坐標軸方向，電子的相鄰兩個狀態(tài)點之間的距離都是。圖3表示二維空間每個點所占的面積是。因此，空間中每個狀態(tài)點所占的體積為。

圖3二維空間示意圖19當(dāng)前第19頁\共有39頁\編于星期四\1點§8.3克朗尼格-朋奈模型能帶中的能級數(shù)目

一.克朗尼格-朋奈模型

能帶理論是單電子近似理論。

布洛赫定理指出，一個在周期場中運動的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。下面我們通過一個最簡單的一維周期場-------克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney）模型來說明晶體中電子的能量特點。周期性邊界條件的引入,說明了電子的狀態(tài)是分立的。它把每個電子的運動看成是獨立地在一個等效勢場中的運動?，F(xiàn)在再來說明電子的能量有什么特點？回顧：20當(dāng)前第20頁\共有39頁\編于星期四\1點克朗尼格-朋奈模型是把圖1的周期場簡化為圖4所示的周期性方勢阱。假設(shè)電子是在這樣的周期勢場中運動。在0<x<a一個周期的區(qū)域中，電子的勢能為0caU0U(x)xb圖4克朗尼格-朋奈模型21當(dāng)前第21頁\共有39頁\編于星期四\1點按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式式中即可得到滿足的方程將波函數(shù)代入定態(tài)薛定諤方程22當(dāng)前第22頁\共有39頁\編于星期四\1點利用波函數(shù)應(yīng)滿足的有限、單值、連續(xù)等物理（自然）條件，進行一些必要的推導(dǎo)和簡化，最后可以得出下式注*：有興趣的讀者可參閱〈固體物理基礎(chǔ)〉蔡伯熏編（1990）P268。式中而是電子波的角波數(shù)*。（4）式就是電子的能量E應(yīng)滿足的方程,也是電子能量E與角波數(shù)k之間的關(guān)系式。23當(dāng)前第23頁\共有39頁\編于星期四\1點(4)式的左邊是能量E的一個較復(fù)雜的函數(shù)，記作f(E)；由于，所以使的E值都不滿足方程。下圖5為給出了一定的a、b、U0數(shù)值后的f(E)：右邊是角波數(shù)k的函數(shù)。24當(dāng)前第24頁\共有39頁\編于星期四\1點由圖看出，在允許取的E值（暫且稱為能級）之間，有一些不允許取的E值（暫且稱為能隙）。下面的圖6為E~k曲線的某種表達圖式。圖5f(E)函數(shù)圖f(E)E25當(dāng)前第25頁\共有39頁\編于星期四\1點E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達圖式26當(dāng)前第26頁\共有39頁\編于星期四\1點兩個相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為禁帶。晶體中電子的能量只能取能帶中的數(shù)值，而不能取禁帶中的數(shù)值。圖中為“許可的能量”，稱為能帶*。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達圖式27當(dāng)前第27頁\共有39頁\編于星期四\1點E~k曲線與a有關(guān)、與U0b乘積有關(guān)。乘積U0b反映了勢壘的強弱。由于原子的內(nèi)層電子受到原子核的束縛較大，與外層電子相比，它們的勢壘強度較大。計算表明：U0b的數(shù)值越大所得到的能帶越窄。所以，內(nèi)層電子的能帶較窄。外層電子的能帶較寬。28當(dāng)前第28頁\共有39頁\編于星期四\1點從E~k曲線還可以看出：k值越大，相應(yīng)的能帶越寬。由于晶體點陣常數(shù)a越小，相應(yīng)于k值越大。因此，晶體點陣常數(shù)a越小，能帶的寬度就越大。有的能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。這些都與§8.1節(jié)“概述”中介紹的結(jié)論是一致的。E2E3E5E4E6E7E10E圖6E~k曲線的表達圖式29當(dāng)前第29頁\共有39頁\編于星期四\1點二.能帶中的能級數(shù)晶體中電子的能量不能取禁帶中的數(shù)值，只能取能帶中的數(shù)值。由圖5可以看出：第一能帶k的取值范圍為

第二能帶k的取值范圍為

第三能帶k的取值范圍為

每個能帶所對應(yīng)的k的取值范圍都是*。注*：我們把以原點為中心的第一能帶所處的k

值范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的

k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū)，并以此類推。30當(dāng)前第30頁\共有39頁\編于星期四\1點所以，晶體中電子的能帶中有N個能級。電子在晶體中按能級是如何排布的呢？電子是費密子，它的排布原則有以下兩條：（1）服從泡里不相容原理（2）服從能量最小原理而在空間每個狀態(tài)點所占有的長度為，因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級數(shù)為每個能帶所對應(yīng)的k的取值范圍都是。31當(dāng)前第31頁\共有39頁\編于星期四\1點對于孤立原子的一個能級Enl按照泡里不相容原理，最多能容納2（2l+1）個電子。在形成固體后，這一能級分裂成由N

條能級組成的能帶了，它最多能容納的電子數(shù)為2N(2l+1)個。例如，對孤立原子的1S、2S能級,在形成固體后相應(yīng)地成為兩個能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為2N個。對孤立原子的2P、3P能級,在形成固體后也相應(yīng)地成為兩個能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為6N個。電子排布時還得按照能量最小原理從最低的能級排起。32當(dāng)前第32頁\共有39頁\編于星期四\1點孤立原子的最外層電子能級可能填滿了電子也可能未填滿了電子。若原來填滿電子的，在形成固體時，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。若孤立原子中較高的電子能級上沒有電子，在形成固體時，其相應(yīng)的能帶上也沒有電子。若原來未填滿電子的，在形成固體時，其相應(yīng)的能帶也未填滿電子。孤立原子的內(nèi)層電子能級一般都是填滿的，在形成固體時，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。33當(dāng)前第33頁\共有39頁\編于星期四\1點排滿電子的能帶稱為滿帶；排了電子但未排滿的稱為未滿帶（或?qū)В?；未排電子的稱為空帶；（