對中學數學運算的認識

對中學數學運算的認識第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六對中學數學運算的認識

運算能力是最基礎又是應用最廣的一種能力，在高考中半數以上的題目需要運算，運算始終是高三沉重的話題?，F實狀況令人擔憂，學生運算能力普遍偏差，高考中的運算問題成了莘莘學子升學的攔路虎.毫不夸張地說，考生高考“成也運算，敗也運算”.

在實際的教學活動中，不明算理，機械地套用運算公式；不顧運算目標，進行盲目的推理演算；運算過程中缺乏選擇合理、簡潔的運算途徑的意識，運算過程繁瑣，錯誤率高等現象經常發(fā)生。不少老師和學生對運算能力的內涵缺乏科學認識，常常將運算過程中的錯誤原因歸結到非認知因素上，認為是“馬虎”、“粗心”“不注意”才造成運算錯誤。他們總是只看重解題過程中的方法和思路，對運算的具體實施，對運算過程中的合理性、簡潔性等都沒有給出足夠的重視。

第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

基于此，如何在高三數學復習教學過程中強化數學運算教學、落實運算能力的培養(yǎng)就成了咱們高三數學人必須直面的課題.現就高三復習教學中的運算問題及培養(yǎng)學生運算能力問題與各位交流，旨在拋磚引玉，主要談三個方面問題：一是導致學生運算能力普遍較差的成因分析，二是解讀運算能力，三是關于培養(yǎng)運算能力的建議。

一、導致高三學生運算能力普遍較差的成因分析運算能力差是導致數學弱勢群體的主要原因之一（文科尤甚！）.冰凍三尺非一日之寒，高三學生運算能力差的原因復雜多樣.

1、從學生學習的外環(huán)境來看（1）初中課程改革削弱了運算要求（十字相乘法等乘法公式、因式分解等代數恒等變形、根系關系、比例、平面幾何等）.（2）計算器的廣泛運用削弱了運算意識.（3）從小學到中學對減負、愉快教育、條禁令等阻礙了學生運算能力的健康發(fā)展。缺乏正確的認識，導致了事實上的學生運算能力越來越差.（4）教師關于運算的教學力度不夠

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2、從學生學習的內環(huán)境來看

（1）數學學習方法出問題：不注重知識儲備，不重視三基，不注重對數學思想方法的歸納、反思和總結.

（2）數學學習過程出現問題：積弱已久！

①概念模糊不清（新增內容尤甚）學生容易因概念模糊而運算失誤。②公式、性質記憶不準確.③數據處理能力（計算、排序、篩選、分類討論等）差.④數學語言不過關，導致閱讀習慣差，閱讀能力差,運算無從下手.⑤代數恒等變形常規(guī)方法不熟練.

⑥識別、駕奴圖表的能力差.⑦算法意識差，算理不清，尤其是文科生對運算問題缺乏檢驗、反思、總結的意識.⑧審題不仔細表達能力差，書寫不規(guī)范。⑨運算習慣差，急于求成，粗枝大葉，說一套做一套,心里想的和手上寫的不一致.⑩心理素質差，演繹了從“不喜歡”到“害怕”到“恐懼”的運算悲劇.第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

3、調查結果

運算能力差是導致數學學習的弱勢群體的主要原因之一（1)從學生屬性看，重災區(qū)在文科一般說，文科生的形象思維好于邏輯思維，繁瑣的運算是他們厭惡的，數學不好的很大的一個原因是煩算，討厭精確，喜歡模糊，更喜歡定性的描述，不喜歡定量的描述和思維.（2)從學生性別看，重災區(qū)在男生男生大大咧咧，“運算”是一種“磨難”，他們不喜歡磨難，喜歡小聰明，喜歡偷懶，怎樣不算最好，由于書寫格式嚴格，他們不喜歡循規(guī)蹈矩，隨意、簡單、迅速完成是他們的習慣，不喜歡記憶一些基本的規(guī)律、方法、長期欠帳.（3）從分數段上看，重災區(qū)在80—110之間.

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二、運算能力解析

（一）、歷年考試說明（大綱）對運算能力要求的演變：與時俱進，對運算能力要求越來越高，越來越具體.

１、在98年以前，高考數學試卷對運算能力的考查重點放在對“正確迅速的數與式的運算、變形的能力”上。２、99年的考綱添加了“對估算意識、估算能力”的考查。３、02年考綱將其擴大到“在懂得基本運算技能的基礎上，考查考生對運算策略的選擇、估算意識，對運算工具的使用技能以及對運算結果反思、演算的自覺意識”.

４、05年考綱就運算能力添加了“運算能力是思維能力和運算技能的結合，運算包括對數字計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形的計算求解等.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算程序等一系列過程的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.”

５、06考綱——“運算能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理；能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑”，“在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力”第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

６、07考綱——“運算能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理；能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡潔的運算途徑”“在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力以及實施運算和計算的技能”。

變化：“能根據問題條件”變?yōu)椤澳芨鶕栴}的條件和目標”；“遇到障礙而調整運算”改為“遇到障礙而調整運算的能力及實施運算和計算的技能”。

認識：07考綱運算能力要求有所提高，強調認準目標方向，制定運算策略，以及對“數”的準確運算，對“式”的合理變形。06四川高考（17）題先分解因式可能更簡單一些；（18）要求對小數的運算要準確，（19）題第三問學生看到用“向量計算”冗長且數據不簡單而放棄，其實只要調整運算策略轉為幾何方法就有望獲得成功。這些變化顯示，高考對考生運算能力的要求逐步提高，對考生探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等提出了明確的要求.各種運算都有其自己的意義、法則（公式），都應遵循一定的運算率。第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

運算能力包含兩層意識，即計算技能和邏輯思維，因此制定運算能力評價目標時，應從這兩個方面考慮。

在計算技能方面：①是否記住數學計算公式、計算法則，并能準確的運用公式和法則進行計算。②能否應用概念、性質、定理進行有關的計算。③在進行各種數學計算時，包括數、式、方程、函數、指數、對數、三角函數、不等式、復數等結果是否準確，速度是否迅速，過程是否合理。④能否進行各種查表和使用計算器計算。

在邏輯思維方面：①是否合理的使用公式、法則。②運算方法和運算過程是否簡捷。③能否對自己的運算結果進行檢查和判斷。④能否自我改正運算中的各類錯誤。⑤能否簡化運算過程，進行“跳步”計算。⑥心算、速算、估算能力如何。⑦是否會推理計算。

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（二）、算法與算理

１、兩個前提

（１）高中新課程增加了算法專題——課程改革對高考的影響。

高中新課程標準指出“算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎.隨著現代信息技術飛速發(fā)展，算法在科學技術、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養(yǎng).……體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力.…..將算法思想貫穿高中數學課程的相關部分.”

（高中新課程標準）

（２）今年全國各地高考把算法、算理的考查提升到理性高度。“多考一點想，少考一點算的內核——多考算法，算理”備考老師必須加強對學生算法意識的訓練.第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六2007年穩(wěn)中求新注意梯度

入手比較容易多考點想、少考點算

理1

理（文）2

理3

理（文）4

文1

文3

文（理）5

文（理）6

文22（理21）理22中檔試題常見

文19

文20

理19

理20（文21）

第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六“多思即能少算”的命題意識貫穿全卷試卷中對能力的考查注意了“多考點想，少考點算”的設計意圖，同時，這也是對考生能力要求的一個方面。文理科前8道題，甚至第10題等幾乎不需要多大計算就可以得出結論。

(秒解)第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六秒解第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

（1）算法：就是運算的處方（美：林恩·阿瑟·斯蒂恩），也就是根據數學問題的情境，在將問題分析清楚的基礎上，找到解決問題的具體步驟，這一組步驟稱為算法.

算法特點：算法一方面具有具體化、程序化、機械化的特點，同時又有抽象性、概括性和精確性.對于一個具體的算法而言，從算法分析到算法語言的實現，任何一個疏漏或錯誤都將導致算法的失敗.算法是思維的條理化、邏輯化.中國古代數學中的算法中國古代數學以算法為主要特征，有許多算法成果，如《九章算術》、《周髀算經》、《數書九章》、《議古根源》、千古絕唱：割圓術—內接正三角形，正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形等.

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完成一個數學問題的算法有兩個方面：①算法設計是根據算理進行數學模型加工的一個過程，直到將所給計算模型加工成所求的解，這是一個化繁為簡的過程；②算法實現是根據算法設計進行調用的過程，這是一個以簡馭繁的過程.舉例03年解析幾何算法設計與算法實現。

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分析：本題高考均分極低，慘不忍睹！很多學生考后仍然心有余悸地說面對此題無從下手.此題果真就這樣難嗎？讓我們聽聽高考場內完美解決了此題的同學談的解題感受：首先，這個問題雖然不好下手，但從問題情境看，它不是代數問題、不是立體幾何問題，肯定是解析幾何問題；其次，既然這是解析幾何問題，那就應該在坐標系環(huán)境下求解，因此要建立恰當的坐標系；第三，給出的圖形太對稱了，有助于建立坐標系，不妨如下圖建系；

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第五，不妨回到問題中來：結論需要我們做什么呢？若存在兩個定點使P到這兩點的距離的和為定值的話，點P的軌跡不就是橢圓嗎？因此問題的核心是求點P的軌跡方程;第六，根據前面五點可知，只需建立直線OF和GE的方程，用交軌法解決即可.

我們在贊嘆這位同學聰明機智的同時，更應該看到他思維過程中算法思想的影子.我們不妨用算法的框圖來描述解決此問題的思維過程和邏輯關系

第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六開始結束問題的信息輸入：這是解析幾何問題，需建立坐標系根據圖形的對稱性建立恰當的坐標系設置點A、B、C、D、E、F、G、、O的坐標建立直線OF和GE的方程，用交軌法求點P的軌跡方程根據點P的軌跡方程判斷點P的存在性第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

事實上，上述框圖中的前三步應該容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步驟就比較自然了.解：如圖建立直角坐標系，按題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),

D(-2,4a).

第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六（２）、算理與算則：算理就是運算的依據，主要指運算性質、法則及方法、技巧等.算理確保每一運算步驟的合理性、整體運算的準確性、深刻性和靈活性.算則是運算的程序（步驟）的擬定規(guī)則，算法既重視“算則”，更重視“算理”.對于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據，即“算理”有著更基本的作用.“算理”是“算則”的基礎，“算則”是“算理”的表現.它確保運算的熟練性。分析：本題在常見恒成立問題模式上有所創(chuàng)新（由求解參數變?yōu)榍髤档淖钪担?學生的思維品質層次體現在算法的優(yōu)劣，其本質體現在對問題中數學信息的駕馭和把握，（“三點式”：入手點、關鍵點及警戒點）.算法一：算法關注點在二次函數的圖象和性質：小題大做第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六算法二：算法關注點在二次不等式進行參數分離：小題大做

(三)、運算能力的基本要素：合理性、準確性、熟練性、簡捷性

06考綱對運算對象的描述

運算能力界定為：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理；能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求對數據進行估計和近似計算.運算能力是思維能力和運算技能的結合。中學對運算能力的考查，不僅包括對數的運算，還包括對式的運算，兼顧對算理和邏輯推理的考查。對考生運算能力的考查主要是以含字母的式的運算為主，包括數字的計算、代數式和某些超越式的恒等變形、集合的運算、解方程與不等式、三解恒等變形、數列極限的計算、求導運算、概率計算、向量運算和幾何圖形中的計算等.運算結果具有存在性、確定性和最簡性.第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

(1)運算的合理性.運算的合理性是運算能力的核心.運算的合理性表現在運算要符合算理，運算過程中的每一步變形都要有所依據，或依據概念，或依據公式，或依據法則，可以說運算的每一步變形都是演繹法的體現，運算能力的考查中包括了對思維能力的要求以及對思維品質（如思維的靈活性、敏捷性、深刻性）的考查.運算的目標，變形的方向，運算的路徑，它們之間是密切相關的.要從運算的目標出發(fā)，研究變形方向，最終產生判斷，確定運算路徑.這一系列的活動都是運算過程中的思維活動，是運算合理性的表現.第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

本題的解答是一種返璞歸真的解答，式中的各個未知數都可解出其可能的取值，結果組合可以取到ab+bc+ca的最小值，因此實際上是對各種解題套路和技巧的一種反對和顛覆.在解題中出現了各種各樣的誤解，如應用平均值不等式、柯西不等式等，這樣就可能出現取不到最小值的情況

第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

算理分析：以上錯解的根源都是一致的，即沒有注意到其中的“=”成立的條件，其中的不等號是成立的，但等號并不一定成立，即錯解中的最小值都是取不到的.這就警示我們在解題時要具體問題具體分析，在代數變形過程中要注意題目的條件和所應用的公式、定理成立的條件，不能照抄照搬.

②運算的合理性表現在運算目標的確定.運算的目的是要得到化簡的數值結果或代數式等，有時還是完成推理和判斷的工具.對一些比較直接、簡單的運算目標一般比較容易把握，但對一些比較復雜的運算目標，需要經過多步運算才能得到最后結果.

③運算的合理性還表現在運算途徑的選擇.合理選擇運算途徑不僅是迅速運算的需要，也是運算準確性的保證，運算的步驟越多，越繁瑣，出錯的可能性也就越大.因而，根據問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是提高運算能力的關鍵.靈活地運用公式、法則和有關的運算律，掌握同一個問題的多種運算方法和途徑，善于通過觀察、分析、比較，將有助于作出合理的選擇.因此，運算能力的考查中包括了對思維能力的要求以及對思維品質（如思維的靈活性、敏捷性、深刻性）的考查.第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

運算的目標，變形的方向，運算的路徑，它們之間是密切相關的.要從運算的目標出發(fā)，研究變形方向，最終產生判斷，確定運算路徑.這一系列的活動都是運算過程中的思維活動，是運算合理性的表現.

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運算的準確性.運算的準確性是對運算能力的基本要求，要求考生根據算理和題目的運算要求，有根有據地一步一步地實施運算.

在高考中重點強調的是：在運算過程中使用的概念要準確無誤，使用的公式要準確無誤，使用的法則要準確無誤，表達結果準確無誤，最終才能保證運算結果的準確無誤.

怎樣提高運算的準確率呢?我認為，不能簡單冠以粗心或馬虎，而要究其根源。從本質上說，馬虎也是素質不高的表現，要想提高運算的準確率，還是要從算法、算理、算律抓起。第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六運算的熟練性在高考中考查運算能力，一般不是增大每題的運算量，而是通過控制題目數量、控制每題的運算量，增加思考強度和思維深度來實現的.控制題目數量和每題的運算量，可以增加考核深度，給考生以充裕的時間去思考如何進行計算，而不是把時間花在冗長的計算過程和運算符號、文字的書寫上.過難、過繁的計算消耗考生的時間和精力，將會影響對基本概念、方法，特別是思維能力的考查.

數學試題往往存在一題多解、計算量相差懸殊的現象，同一道試題不同的解題思路會反映出不同的能力層次.考生實際計算量的大小往往反映出考生能力水平的差異.運算的熟練性不完全是“熟能生巧”的問題，它是運算方法與相關數學思想方法相結合的產物。

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運算的簡捷性.

⑴運算的簡捷性是指運算過程中所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運算時間省.運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度的要求.

⑵高考對運算簡捷性的考查，主要體現在運算過程中概念的靈活應用，公式的恰當選擇，數學思想方法的合理使用.

⑶運算速度的快慢與概念公式及數學思想方法掌握的熟練程度直接相關。第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六2007年立足教材重視基礎注重數學思想方法：（1）數形結合：文2（理2）

文11（理9）

文12（理）11

文16（理16）

文21（理20）（2）分類思想：

文9

理10

理12（3）化歸思想：

文（理）5

文8（理7）

文（理）15（4）函數與方程：文10（理8）

理13

文7第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六三、關于培養(yǎng)運算能力的建議(一)、發(fā)展運算能力的大致階段

1)從理解有關運算的基本知識到形成這種運算的技能的階段。這一階段要完成從知識到技能的過渡，中心是準確理解有關知識，熟練有關運算的方法、步驟，應該本著“先慢后快”，“先死后活”的原則，開始時，運算步驟不宜跳躍，每一步運算的依據必須明確、清晰，運算過程的表述必須規(guī)范、條理，組織訓練時，不僅要注意適當的數量，還要注意一定的層次。這就要求教師能夠根據不同運算的不同特點，不同學生的不同水平，把握好多大量的訓練，就可以達到熟練，抓住幾種基本變化就能做到旁通，分幾個層次更符合學生的認識規(guī)律，從而使訓練取得更好的效益和效率。

2)從運算技能上升到運算能力的階段

隨著運算技能的形成逐漸簡化運算步驟，靈活運用運算法則、公式是從技能向能力過渡的開端。培養(yǎng)運算能力的中心環(huán)節(jié)，是引導學生認識運算的目的性(清楚理解運算的目標)重點應放在算理、運算途徑的判斷、選擇、設計及相關的字母和代數式的運算上，認識實施運算的途徑的多樣性，培養(yǎng)學生合理選擇簡捷運算途徑的意識和習慣。

第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六3)在各種應用中，進一步提高運算能力的階段技能和能力的初步形成，還必須在今后的應用中，才能得到鞏固、發(fā)展和深化，在運算過程中，運算的工具性和運算過程的思維性更加突出了。運算的目標不一定是追求一個簡化的結果，而要為一定的推理、演繹、判斷服務，在運用中，對于運算從問題的產生，運算目標的確定，運算種類的選擇，運算技能的發(fā)揮到各種運算的配合，是具有綜合性要求的。發(fā)展運算能力的三個階段不是割裂的，不存在時間上明顯的界限，它們是交叉進行，互相促進的，其中一條主線是知識技能與思維能力的結合。2、一般來說，運算能力的形成需要經歷從知識、技能到能力的轉化?，F代認知心理學把知識區(qū)分為陳述性知識和程序性知識。進一步的，認知心理學家認為，思維技能或認知策略屬于程序性知識范疇，這類知識被稱為“有控制的程序性知識”。這樣的知識在運用時具有運行速度慢、有順序、能有意識地監(jiān)控、能準確表述等特點。

因此，在發(fā)展學生的運算技能過程中，教師應當注意：要以相應的知識為依據，使學生理解有關知識、熟悉運算程序；經過一定量的、有層次的、按部就班的訓練以后，逐漸要求學生簡化運算步驟，靈活運用公式、法則，以培養(yǎng)學生的運算策略；要有適當的綜合性訓練。第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六（二）、僅僅加強運算訓練只是治表，治本的根本在于加強運算教學力度，引導學生歸納總結運算的基本方法，同時促進學生建構并完善基礎知識系統(tǒng)，使基礎知識和基本方法熟練化和系統(tǒng)化，使學生對運算由懂到會，由會到對，由對到熟，由熟到變，由變到通。

1、打牢基礎，完善知識和方法體系（不能留漏洞，留死角）

2、教師的教學不能局限在數學的知識和方法上，由離散到連續(xù)（要內化）

3、明確要求學生，加強知識儲備，完善知識和方法體系

⑴從思想高度重視，從學習行為上持續(xù)改進。⑵知識系統(tǒng)化，熟練到自動化程度。

標志：定義,概念理解準確無誤。公式記憶準確無誤。定理，法則應用準確無誤。思想,方法靈活應用。⑶構建和完善數學思想方法體系。

4、立足課堂，加強運算教學（尤其是算法和算理）①身教勝于言教。教師示范——揭示算法，算理，板書的功能。②強化作業(yè)，訓練和考試對運算能力的培養(yǎng)。反饋，講評，改進。③加強數學閱讀教學與審題教學。

第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六④加強學法指導：導——悟。加強運算中的數學思想方法的積累，歸納與總結。

由高三學生轉化為高三考生，考生不要一味算題，即使算過很多題，但如果沒有真正掌握其中所蘊涵的數學思想和數學方法，考試碰到相同或相似的題時，仍然不會做。因此要知識點掌握好，深入挖掘題目中的思想和方法，概括出某一類題的解題方法，歸納總結算法原理，才能從容應對高考。切莫動腦不動手，動手不動腦。引導學生重視總結例題和習題中的算法?！白?00道題會解10道題”與“做10道題會解100道題”的關系。

第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六⑤強化數學思想方法與運算的整合案例:2003年社會各界普遍反映高考數學試題的運算量過大，但是仔細研討試題即會發(fā)現：運算量過大并非考試本身所導，是系解題方法不當和學生算法意識差所致。數學思想方法作為數學的精髓，歷來是高考數學考察的重中之中（一種見解認為它隸屬于基礎知識）在2003年的高考選擇題中有許多可以借助特殊淘汰或驗證、構造等方法迅速作答；應用數形結合的思想方法也可以得到許多考題的簡便解法。突出方法永遠是高考試題的特點（任子朝）,對數學思想方法要求較高的運算，應注重學生對運算過程和算法算理的充分體驗。⑥將運算能力的培養(yǎng)滲透到教學過程的每一個環(huán)節(jié)，重在“小”和“實”（小靈通）第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六5、有針對性地開設運算專題，熱點問題重點突破，處理好冷、熱點知識的關系，熱點知識重點突破。①遞推數列②向量方程（不等式）：空間，平面③合情推理與估算……——局部突破整體

第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第四十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六④不等式恒成立——導數背景。⑤強化常規(guī)運算與常規(guī)能力的整合：若解析幾何中回歸定義，借助平幾，設而不求，合理引參，整體代換。立體幾何位置關系與數量關系的熟練轉化等。

⑥加強代數推理，數學三大能力之一邏輯運算離不開運算，尤其是數量方面的推理，要準確推理離不開準確的運算，所以運算是推理的基礎

.⑦利用數學思想方法明晰算理簡化運算

第四十八頁，共五十四頁，編輯于2023