數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)

數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)一門(mén)學(xué)科實(shí)現(xiàn)公理化的標(biāo)志：一是它有一套基本術(shù)語(yǔ)，或原始概念；二是它有一組基本命題，或原始命題，或公理；三是其余的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其余的命題全由公理出發(fā)予以推理論證。起源于數(shù)學(xué)的公理化方法已經(jīng)產(chǎn)生廣泛影響，這種影響已經(jīng)越出數(shù)學(xué)范圍而進(jìn)入其他自然科學(xué)領(lǐng)域，已經(jīng)越出自然科學(xué)而進(jìn)人人文科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)的公理思想使數(shù)學(xué)作為文化具有更實(shí)際的意義。

一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)數(shù)學(xué)的公理思想產(chǎn)生廣泛影響經(jīng)歷了一個(gè)過(guò)程，數(shù)學(xué)自身的公理化程度和水平也經(jīng)歷了不同的發(fā)展階段。牛頓力學(xué)建立了公理系統(tǒng)，即他的三大定律，這具有實(shí)質(zhì)公理化特征。對(duì)普通學(xué)生，從中學(xué)到大學(xué)本科，實(shí)質(zhì)公理化方法就已足夠的了，也是必要的。公理化不僅使數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在統(tǒng)一性、和諧性得到充分的揭示，而且有利于人們更清晰地從微觀到宏觀看世界；公理化也不僅是使人更易認(rèn)識(shí)世界，而且為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造提供必要的啟示和工具；同時(shí)還對(duì)人自身邏輯思維的發(fā)展起極為積極的推動(dòng)作用；公理方法在一定范圍內(nèi)也使思維經(jīng)濟(jì)有效。一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)

算術(shù)公理，它由以下五條組成：1．1屬于非空集(1只是一個(gè)符號(hào))；2．的每個(gè)元素有后繼數(shù)；3．1不是任何元素的后繼數(shù)；4．若，則(即兩元素之后繼數(shù)相等時(shí)，兩元素自身也相等)；5．設(shè)，若1屬于，又若當(dāng)屬于時(shí)，亦必屬于，則。

一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)什么是“物質(zhì)”？“物質(zhì)是獨(dú)立于人的意識(shí)之外的客觀存在。”如果這是關(guān)于物質(zhì)的定義，從邏輯上說(shuō)，它使用了意識(shí)、客觀、存在等概念，那么這些概念就應(yīng)當(dāng)是已知的。然而，什么叫“存在”呢?存在是“不依賴(lài)人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，即物質(zhì)。”這里又用“物質(zhì)”的概念定義了“存在”，而前面是用“存在”定義了“物質(zhì)”的。在黑格爾那里，“存在”是基本概念，是不必再加定義的，因而也就避免了起碼應(yīng)避免的邏輯缺陷。一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)

“等腰三角形兩底角相等”為例看看是如何運(yùn)用的。在三角形中，若，那么。下面是證明：作，交于。因?yàn)榉仓苯墙韵嗟?大前提)，又和皆為直角(小前提)，所以(結(jié)論)；

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因?yàn)橛袃蛇厡?duì)應(yīng)相等的兩直角三角形必全等(大前提)，又在和中，(小前提)，所以(結(jié)論)；因?yàn)榉踩热切蔚膶?duì)應(yīng)角相等(大前提)，又(小前提)，所以即(結(jié)論)。三段論中含3個(gè)項(xiàng)，大項(xiàng)、中項(xiàng)、小項(xiàng)，中項(xiàng)起中間作用，在結(jié)論中不出現(xiàn)。

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例子：“凡羊有兩只角，是一只羊，有兩只角”，這里，“羊”是中項(xiàng)，“兩只角”(的動(dòng)物)是大項(xiàng)，是小項(xiàng)。看一個(gè)哲學(xué)中的三段論：——世界是物質(zhì)的，——意識(shí)是世界的一部分，——所以，意識(shí)是物質(zhì)的。

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大前提應(yīng)修改為“世界的本源是物質(zhì)的”。下面按修改后的大前提再作一三段推論：——世界的本源是物質(zhì)的．——意識(shí)是世界的一部分．——所以，意識(shí)的本源是物質(zhì)的。物質(zhì)與意識(shí)是有密切聯(lián)系的，卻不能看成是一回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太陽(yáng)與地球緊密聯(lián)系著，但太陽(yáng)是太陽(yáng)，地球是地球。

一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)唯物論認(rèn)為物質(zhì)是第一性的，意識(shí)是第二性的，這就是說(shuō)，意識(shí)的本源是物質(zhì)的。但決不認(rèn)為意識(shí)本身就是物質(zhì)的或者意識(shí)是物質(zhì)的一部分。否則，并不是正確的認(rèn)識(shí)了物質(zhì)與意識(shí)的關(guān)系，而是混淆了兩者的關(guān)系。

辯證唯物主義還認(rèn)為，在一定條件下，物質(zhì)可以變精神，精神可以變物質(zhì)。一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)數(shù)學(xué)的事實(shí)還證明，數(shù)學(xué)是要求嚴(yán)格遵守形式邏輯的，這一點(diǎn)不僅不妨礙辯證思維的發(fā)展，而且還為把握辯證邏輯提供了必需的基礎(chǔ)。

當(dāng)我們說(shuō)到公理的作用的時(shí)候，并不是說(shuō)人文學(xué)科、社會(huì)學(xué)科都應(yīng)當(dāng)建立在公理的基礎(chǔ)上，甚至它們能不能做到這一點(diǎn)我們也還不知道。但是，至少，公理的方法也是能給我們?cè)谌宋目茖W(xué)、社會(huì)科學(xué)中進(jìn)行推理的時(shí)候亦須注意或借鑒的基本事項(xiàng)。一、公理方法的作用2023/5/27數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)1.歸納，類(lèi)比不完全歸納是發(fā)現(xiàn)的開(kāi)始，是創(chuàng)造的開(kāi)始，是十分珍貴的思維形式之一。另一方面的事實(shí)是，兒童從小就有歸納的經(jīng)歷，1～2歲的小孩的語(yǔ)言符號(hào)就在迅速增加，第二信號(hào)系統(tǒng)在迅速擴(kuò)張。其所以能這樣，原因之一就是他們首先是接觸歸納，并且能接受歸納。小孩子數(shù)(shǔ)數(shù)(shù)，開(kāi)始學(xué)個(gè)位數(shù)困難一點(diǎn)，然后學(xué)十幾、二十幾，也困難一點(diǎn)，再往后學(xué)三十幾、四十幾、……的兩位數(shù)就不是很困難了，到了小學(xué)高年級(jí)，很大很大的數(shù)也能數(shù)(shǔ)。這也是歸納能力的表現(xiàn)。

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可能有3個(gè)問(wèn)題：一是不太清楚兒童是有歸納能力(不完全歸納)；二是不太清楚不完全歸納的珍貴；三是不太清楚在加強(qiáng)收斂性訓(xùn)練、演繹訓(xùn)練的同時(shí)，不僅不應(yīng)磨損了兒童的歸納品質(zhì)，而且還繼續(xù)關(guān)注他們?cè)谶@方面的發(fā)展。

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怎么算?只要舍得花時(shí)間，一個(gè)個(gè)加就是了；如果要加到9999，時(shí)間上也花不起了。高斯小時(shí)候就有一個(gè)辦法，兩頭相加，1+99=100，2+98=100，這樣，首尾共有49對(duì)，還有中間一個(gè)50不與什么數(shù)搭對(duì)了，于是結(jié)果馬上出來(lái)了：49×100+50=4950，

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與高斯同樣的思想，任何等差級(jí)數(shù)的求和都容易了，特別是正整數(shù)列求和：

。平方數(shù)求和呢?通常見(jiàn)到的是，一下子公式就給出來(lái)了：隨后便要求用數(shù)學(xué)歸納法證明。

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，，，這似乎還看不出什么來(lái)。我們還作些觀察，并列出一個(gè)表來(lái)看，為了方便，我們使用兩個(gè)記號(hào)：，

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)我們看到了第8項(xiàng)，似已(由不完全歸納)看出

，這樣，似可得到二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用12345678136101521283615143055911402041數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)數(shù)學(xué)歸納法其所以是必要的，是因?yàn)樗倪壿媷?yán)謹(jǐn)，是進(jìn)一步的可靠性保證，它的證明所包含的兩個(gè)步驟是必不可少的，還要強(qiáng)調(diào)的是：少了一步都有危險(xiǎn)。完全歸納與不完全歸納相互聯(lián)系，相互依賴(lài)，各有優(yōu)點(diǎn)又各有缺陷。不完全歸納的優(yōu)點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)，開(kāi)拓，思維形式多樣、活潑。缺陷則在它的嚴(yán)謹(jǐn)性、可靠性上尚有疑問(wèn)。兩者皆可貴，兩者聯(lián)合起來(lái)更珍貴。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)類(lèi)比是不能登上論證推理的大雅之堂的，可是，類(lèi)比是非常重要的發(fā)現(xiàn)式思維，非常重要的創(chuàng)造性思維。它和不完全歸納一樣，雖不屬于論證推理，但它們都屬于似真推理，它們不最后確證真理，卻是逼近真理的必要途徑之一。(不完全)歸納由個(gè)別(或特殊)去發(fā)現(xiàn)一般(或普遍)，類(lèi)比則是由此去發(fā)現(xiàn)彼或由彼去發(fā)現(xiàn)此。歸納是發(fā)現(xiàn)同類(lèi)事物之間的聯(lián)系，類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)不同類(lèi)別之間的聯(lián)系。歸納和類(lèi)比都是想象的具體形式。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)(其和不存在，或?yàn)闊o(wú)窮大)，但是的情況則不同。又恰是上面那個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)給人以啟示，人們得到結(jié)論：當(dāng)時(shí)發(fā)散，而當(dāng)時(shí)它是收斂的。特別，當(dāng)時(shí)，即級(jí)數(shù)是收斂的。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)歐拉不愧為偉大的數(shù)學(xué)大師，當(dāng)然也可稱(chēng)他是一位善于歸納、類(lèi)比的大師，他還是一位善于創(chuàng)造性地運(yùn)用符號(hào)的大師(使用最經(jīng)濟(jì)有效的符號(hào)表達(dá))。就在前一個(gè)求和的基礎(chǔ)上，他還探討了以下級(jí)數(shù)的和：這個(gè)和是。而且他還猜測(cè)(是某個(gè)正整數(shù))。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)2.直覺(jué)雖然我們可以把直覺(jué)明確敘說(shuō)為直接的覺(jué)察，但似乎也不能給人以明晰的感覺(jué)：直覺(jué)究竟是什么？然而，我們可在進(jìn)一步的具體討論中去把握。直覺(jué)是指對(duì)事物直接的覺(jué)察、領(lǐng)悟甚至是印象?！斑@個(gè)人看來(lái)不是個(gè)好人?！睘槭裁?？“憑我的直覺(jué)?！闭f(shuō)不出很明確的理由來(lái)。日常生活中的這種直覺(jué)多的是。數(shù)學(xué)直覺(jué)則是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象或問(wèn)題(性質(zhì)、關(guān)系或結(jié)構(gòu))的直接領(lǐng)悟或覺(jué)察。

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1617年，笛卡兒還在軍營(yíng)里服役，但服役期間就經(jīng)常思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，并解決過(guò)一些問(wèn)題。1619年11月10日，他帶著一系列思索入睡了，一連作了幾個(gè)夢(mèng)，這天晚上他感到自己“發(fā)現(xiàn)了一種不可思議的科學(xué)的基礎(chǔ)”，笛卡兒后來(lái)說(shuō)：“第二天，我開(kāi)始懂得這驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理”。笛卡兒1619年的這一直覺(jué)發(fā)現(xiàn)，于1637年出版《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書(shū)，時(shí)隔18年，直覺(jué)作了先導(dǎo)。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)1880年，龐加萊在尋求單復(fù)變自守函數(shù)的變換方法時(shí)，進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的工作，但毫無(wú)所獲，有一天，他決定暫時(shí)把工作擱下來(lái)，去鄉(xiāng)下旅行，然而當(dāng)他剛登上車(chē)時(shí)，一個(gè)新穎的思想突然閃現(xiàn)，問(wèn)題的答案可能就是那個(gè)非歐幾何變換。伯克利數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)開(kāi)普蘭斯基在談到自己的體驗(yàn)時(shí)說(shuō)：“當(dāng)一個(gè)難題糾纏你時(shí)，你會(huì)在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)一無(wú)進(jìn)展。有時(shí)某些東西數(shù)月甚至數(shù)年被你忽視，而后你突然間有了意想不到的發(fā)現(xiàn)，可你卻不知道它是從什么地方冒出來(lái)的。”

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3.直覺(jué)的特性心理學(xué)上，把直覺(jué)分為三個(gè)層次：直覺(jué)判斷，猜測(cè)，洞察；從直覺(jué)的不同特點(diǎn)看，直覺(jué)又分為辨識(shí)直覺(jué)、關(guān)聯(lián)直覺(jué)、審美直覺(jué)；從對(duì)直覺(jué)形成的不同理解上看，又可分為綜合型的、類(lèi)推型的和選擇型的。這里，我們所要討論的是直覺(jué)的一些共同特點(diǎn)。(1)非邏輯性(2)偶然性，自發(fā)性(3)易逝性(4)情感性

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這些特點(diǎn)對(duì)增強(qiáng)自己直覺(jué)能力有許多實(shí)際的、具體的啟示：a．當(dāng)你百思不得其解時(shí)，有意無(wú)意地?cái)R置一下，去做做別的事情，這種轉(zhuǎn)換期間獲得靈感的可能性是存在的。b．當(dāng)你持久的思索仍找不到答案的時(shí)候，暫時(shí)忘卻它，可能還會(huì)增加產(chǎn)生其他聯(lián)想的機(jī)會(huì)，不僅在不同的工作之間而且在工作與休閑之間轉(zhuǎn)換。c．有意思地進(jìn)行各種形式的學(xué)術(shù)交流是十分必要的，閱讀同一學(xué)科的不同觀點(diǎn)的論文，甚至閱讀一點(diǎn)不同學(xué)科的論文或著作，尤其要有面對(duì)面的學(xué)術(shù)交流或思想碰撞。d．與人合作是重要的，學(xué)術(shù)自由是重要的。

二、數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)e．別忘了一些特殊的時(shí)辰有特殊的作用，別忘了一些特殊的地點(diǎn)和場(chǎng)合也有特殊的效果。f．直覺(jué)出現(xiàn)的突然性、易逝性直接提醒我們，偶然進(jìn)發(fā)出來(lái)的思想火花應(yīng)及時(shí)記載下來(lái)。g．被記下的思想還需要進(jìn)一步去琢磨它，因?yàn)橹庇X(jué)的可靠性還需要再檢驗(yàn)。h．直覺(jué)出現(xiàn)的非邏輯性、隨機(jī)性、易逝性等等，都不表明偶然性在支配一切。勤于思索是最重要的基礎(chǔ)，沒(méi)有這一必要基礎(chǔ)，一切機(jī)遇都會(huì)喪失。

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在人類(lèi)文明中，有物質(zhì)文明和精神文明兩翼；在人類(lèi)知識(shí)寶庫(kù)中，有科學(xué)技術(shù)和人文、社會(huì)兩翼；在人類(lèi)創(chuàng)造之中，有直覺(jué)與邏輯的兩翼；很巧，人的大腦也有兩翼：左半腦和右半腦——這構(gòu)成了奇特的人類(lèi)現(xiàn)象。1.直覺(jué)與邏輯的互補(bǔ)一個(gè)人的邏輯能力和直覺(jué)能力都是必要的，但很難說(shuō)清什么比例是最佳的，由于兩種能力的性質(zhì)不同，更難以用定量的方式刻畫(huà)這種比例。一個(gè)具有創(chuàng)造力的人，決不能只有其一而缺另一。

三、左右腦開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)當(dāng)創(chuàng)造(包括學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造)過(guò)程中直覺(jué)出現(xiàn)以后，隨之而來(lái)的一般是邏輯的加工和整理?？茖W(xué)工作的最終產(chǎn)品不是直覺(jué)，它必須有明確的結(jié)論和相應(yīng)的理論系統(tǒng)。相比于邏輯，直覺(jué)有時(shí)更困難，直覺(jué)更需要人的想象力、創(chuàng)造力。然而，對(duì)直覺(jué)成果的邏輯加工也不是一件簡(jiǎn)單的事。甚至有這樣的例子，從直覺(jué)的意義上人們無(wú)法接受的東西，邏輯上卻證明了它的存在，人們還是不能不接受它，即使不情愿，即使你厭惡它。這是邏輯與直覺(jué)的互補(bǔ)作用。

三、左右腦開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)2.左右腦問(wèn)題左腦主要是語(yǔ)言的，分析的，數(shù)理的，以及邏輯推理的功能，其運(yùn)行猶如串行的、繼時(shí)的信息處理，是因果式的思考方式，循序漸進(jìn)，以線(xiàn)性方式處理信息。左腦是“語(yǔ)言中樞”，負(fù)責(zé)理解文字、語(yǔ)言、數(shù)字計(jì)算，將復(fù)雜的問(wèn)題或事物細(xì)分成單個(gè)的要素，有條理地展開(kāi)思維，具有確定性、收斂性的特點(diǎn)，并負(fù)責(zé)解決可行性問(wèn)題。這是左腦的特點(diǎn)，也是優(yōu)點(diǎn)，卻同時(shí)也預(yù)示了左腦的缺點(diǎn)。左腦能處理抽象領(lǐng)域里的問(wèn)題，卻無(wú)法處理形象領(lǐng)域里的問(wèn)題；左腦在邏輯領(lǐng)域里暢行，卻難以處理非邏輯領(lǐng)域的問(wèn)題；左腦在語(yǔ)言文字、符號(hào)數(shù)字所及的范圍大顯神通，卻不能處理尚未能用符號(hào)、語(yǔ)言表達(dá)而只能依賴(lài)直覺(jué)的問(wèn)題。

三、左右腦開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)

右腦具有形象性、非邏輯性，它有“縱觀全局”的本領(lǐng)，它的觸角可以伸展到意想不到的角落，它能處理尚未用語(yǔ)言符號(hào)正式表達(dá)的問(wèn)題。右腦抗干擾，能在任何狀態(tài)中(甚至在睡眠狀態(tài)下)不停地工作。頓悟、靈感常常在無(wú)意識(shí)狀態(tài)下產(chǎn)生，這正是右腦的作用。所以，右腦是靈感、直覺(jué)、想象等創(chuàng)造性思想火花閃現(xiàn)的地方，是頓悟的發(fā)源地。如果不重視(不完全)歸納、類(lèi)比、聯(lián)想及一般的直覺(jué)訓(xùn)練，不重視非形式化內(nèi)容或不重視對(duì)數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)的介紹，右腦的訓(xùn)練也就很微弱，右腦的許多優(yōu)點(diǎn)就難以發(fā)揚(yáng)，右腦的開(kāi)發(fā)就會(huì)碰到極大的困難。

三、左右腦開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)左右腦都有突出的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又都有各自的局限，因此，左右腦的同時(shí)開(kāi)發(fā)是重要的，左右腦的相互配合是更重要的。左右腦的同時(shí)開(kāi)發(fā)是人的全面發(fā)展的重要內(nèi)容。因此，同時(shí)注意邏輯訓(xùn)練和直覺(jué)訓(xùn)練的教育是關(guān)系人的全面發(fā)展的大事情，是關(guān)系培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的大事情。右腦有很多特點(diǎn)，但右腦需要左腦的刺激，需要左腦確定任務(wù)，并由左腦提供給右腦以能量和愉快心境的必要條件，以及對(duì)右腦形成的初看起來(lái)并無(wú)依據(jù)的“原材料”進(jìn)行邏輯加工，進(jìn)行分析、整理。三、左右腦開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)左腦有很多特點(diǎn)，但左腦需要右腦提供材料，甚至在抽象時(shí)也需要右腦配合，例如在強(qiáng)抽象(內(nèi)涵增加，外延縮小)和完全理想化的抽象(如物理學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)概念，幾何學(xué)中的點(diǎn)線(xiàn)面概念)中，需要右腦的綜合、想象來(lái)加以輔助。左腦猶如一位專(zhuān)門(mén)家，右腦則猶如一位萬(wàn)能博士；左腦好比一個(gè)善于分析的戰(zhàn)術(shù)指揮官，右腦則是一位能“縱觀全局”的戰(zhàn)略家；左腦宛如一盤(pán)盤(pán)錄像帶，看到的情景，聞到的氣味，聽(tīng)到的音頻，被收錄下來(lái)，像一座巨型倉(cāng)庫(kù)，為了便于提取、組合，右腦就給錄像帶進(jìn)行分類(lèi)、編排并貼上標(biāo)簽。左右腦是能彼此配合的。三、左右腦開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展(二)3.關(guān)注右腦開(kāi)發(fā)許多重大的成就可說(shuō)是人腦胼胝體的偉大功績(jī)；反過(guò)來(lái)，人腦胼胝體作用的充分發(fā)揮，左右