銳角三角函數(shù)（培優(yōu)篇）-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題28.4銳角三角函數(shù)（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在?ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE為∠ABC的平分線.利用尺規(guī)在?ABCD中作圖，作圖痕跡如圖所示，AF交BE于點(diǎn)F，連接FD，則FD的長(zhǎng)為（

）A．3 B．3 C．5 D．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，則cosA=（

）A． B． C． D．4．如圖，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)落在矩形內(nèi)的點(diǎn)處，連接，且，的正弦值為，則的值為（

）A． B． C． D．5．如圖，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，PD的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或6．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中當(dāng)最大時(shí)，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．7．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，取AB中點(diǎn)E，取BC中點(diǎn)F，連接DE、AF，DE與AF交于點(diǎn)O．連接OC，則OC的值為（

）

A． B．1 C． D．8．如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，于E點(diǎn)，交BD于M點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)線段DC的中點(diǎn)N，若，則ME的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸和軸上，已知對(duì)角線．．是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，若將沿翻折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．10．在正方形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，過(guò)點(diǎn)F作，分別交、于N、G兩點(diǎn)，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題11．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_______．12．如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．13．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，于點(diǎn)，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為_(kāi)_______．14．如圖，在菱形紙片ABCD中，，，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_________．15．已知A是雙曲線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限，已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)解析式為_(kāi)_________________．16．如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．17．如圖，在矩形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿翻折得到，交于點(diǎn)，且點(diǎn)在下方，連接．當(dāng)是直角三角形時(shí)，的周長(zhǎng)為_(kāi)______________________．18．如圖，E為正方形ABCD邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A重合），，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再將沿直線DE折疊得到．下列結(jié)論：①連接AM，則；②連接FE，當(dāng)F、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，；③連接EF、EC、FC，若是等腰三角形，則；④連接EF，設(shè)FC、ED交于點(diǎn)O，若EF平分，則O是FC的中點(diǎn)，且；其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________．三、解答題19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)P為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且．點(diǎn)B為x軸上一點(diǎn)，現(xiàn)在以B為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．（1）求證：為等邊三角形；（2）當(dāng)軸，時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求線段的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．20．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，連接，.（1）求證：：（Il）若，，連接，求周長(zhǎng)的最小值.21．如圖1，矩形ABCD，點(diǎn)E在射線AB上，將沿ED翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，連接AG交DE于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)如圖2，若點(diǎn)G落在BC邊上，且，求BE的長(zhǎng)．(3)如圖3，點(diǎn)P為BG中點(diǎn)，連接AP，，點(diǎn)E在射線AB上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求AP長(zhǎng)的最大值．22．定義：有且僅有一組對(duì)角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”，例如：凸四邊形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，則稱四邊形ABCD為準(zhǔn)平行四邊形．(1)如圖（1）A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，延長(zhǎng)BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求證：四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；(2)如圖（2），準(zhǔn)平行四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半徑為5，AB＝6，求四邊形ABCD的面積；(3)如圖（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且∠BCD≠∠BAD，求BD長(zhǎng)的最大值．23．已知拋物線（b，c為常數(shù)）的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)當(dāng)b=2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB=PC，OP=2時(shí)，求b的值；(3)若拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AB上一點(diǎn)，且AN=2BN，連接NQ，求的最小值．24．已知：如圖，在中，，cm，cm，為邊上的高，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：當(dāng)為何值時(shí)，；當(dāng)中點(diǎn)在上時(shí)，求的值；設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求最小值；是否存在某一時(shí)刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．D【分析】取格點(diǎn)，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，先證得，求得，再根據(jù)題意證得即可求解．解：取格點(diǎn)，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【點(diǎn)撥】本題考查了網(wǎng)格問(wèn)題中解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】通過(guò)分析作圖痕跡的除相應(yīng)的作圖，可分析出圖中做的是角的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，即可解決本題．解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如題所示，由作圖痕跡可知，為的平分線，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵為的平分線，∴，∴，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，，且，∴，∴在中，，，∴，在中，，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖，平行四邊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理，能夠再圖中構(gòu)造合適的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．3．B【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，設(shè)AB=AC=a，BC=b．根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC和∠C，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD和∠CBD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BDC，根據(jù)等角對(duì)等邊確定AD=BD=BC，并用b表示出AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出DC的長(zhǎng)度，根據(jù)該等腰三角形的性質(zhì)用a來(lái)表示AE的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)列出比例式，并用a表示b，進(jìn)而用a表示AD的長(zhǎng)度，最后根據(jù)余弦的定義即可求解．解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，設(shè)AB=AC=a，BC=b．∵AB=AC，∠A=36°，∴．∵BD平分∠ABC，∴．∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．∴∠BDC=∠C，AD=BD．∴AD=BD=BC=b．∴．∵DE⊥AB，∴．∵∠ACB=∠BCD，∴．∴．∴．∴用a表示b得，（舍）．∴．∴．∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，余弦的定義，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．A【分析】過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P，根據(jù)折疊的性質(zhì)及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，從而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值為，設(shè)EF=25a，則PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，從而可得BP，則由相似可得，再由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，從而可求得結(jié)果．解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF，∠AED=∠FED∵BE=EF∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜∴∠AED=∠EBF∵四邊形ABCD為矩形，PF⊥AB∴∠A=∠FPB=90゜∴△ADE∽△PFB∴∵在中，∴設(shè)EF=25a，則PF=24a由勾股定理求得∴BP=BE－PE=18a∴∴∴故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是由正弦值出發(fā)設(shè)EF與PF的長(zhǎng)，難點(diǎn)是證明△ADE∽△PFB．5．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根據(jù)勾股定理求得AE，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，分兩種情況①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)分類計(jì)算即可；解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵BC=6，E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝3，∵，∴，∴CD＝4，在Rt△ABE中，AE，∵四邊形ABCD是矩形，，由折疊可知，PD＝PD'，設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD'P＝90°時(shí)，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當(dāng)∠APD'＝90°時(shí)，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當(dāng)△APD'是直角三角形時(shí)，PD的值為或；故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】先分析出D的軌跡為以A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑的圓，當(dāng)BD與該圓相切時(shí)，∠DBA最大，過(guò)C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函數(shù)計(jì)算出BD、CF的長(zhǎng)，代入面積公式求解即可．解：由題意知，D點(diǎn)軌跡為以A為圓心AD的長(zhǎng)為半徑的圓，當(dāng)BD與D點(diǎn)的軌跡圓相切時(shí)，∠DBA取最大值，此時(shí)∠BDA=90°，如圖所示，過(guò)C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時(shí)三角形ACE的面積==6，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是利用D的軌跡圓確定出∠DBA取最大值時(shí)的位置．7．B【分析】證明△ADE≌△BAF(SAS)可得到∠AOD=90°，證明△ADO≌△DCG(AAS)，得AO=DG，同三角函數(shù)得DO=2AO=2DG，可得CG為DO的垂直平分線，可得結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴∠BAF=∠ADE，∵∠BAD=∠BAF+∠DAO=90°，∴∠ADE+∠DAO=90°，∴∠AOD=90°，∵E、F分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴AE=AB，BF=BC，∵AB=BC，∴AE=BF，過(guò)C作CG⊥DE于G，∵∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠CDG=90°，∴∠OAD=∠CDG，在△ADO和△DCG中，，∴△ADO≌△DCG(AAS)，∴AO=DG，∵，∴DO=2AO=2DG，∴DG=OG，∴CG為DO的垂直平分線，∴OC=DC=1，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，能正確作出輔助線，構(gòu)建三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)線段DC的中點(diǎn)N，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，可判定是等邊三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之間的數(shù)量關(guān)系求解．解：∵菱形ABCD，∴∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）∵線段DC的中點(diǎn)N∴設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）又∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)線段DC的中點(diǎn)N∴，解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），在中，∴∵菱形ABCD∴，，∴是等邊三角形又∵于E點(diǎn)，于O點(diǎn)∴，∵，，∴∴又∵在中，∴∴故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和特殊角的三角函數(shù)．菱形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相垂直且平分一組對(duì)角．等邊三角形的判定，有一個(gè)角為角的等腰三角形是等邊三角形．特殊角的三角函數(shù)，，，．9．D【分析】作交OB于點(diǎn)G，利用．．求出，，表示出，，進(jìn)一步求出，，，證明，利用相似的性質(zhì)求出，再利用勾股定理即可求出k的值．解：作交OB于點(diǎn)G，∵矩形的對(duì)角線．．∴，，即，∵E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且在反比例函數(shù)上，∴，，∵將沿翻折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，又∵，即，解得：．故選：D【點(diǎn)撥】本題考查矩形性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，已知正切值求邊長(zhǎng)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．解題的關(guān)鍵是求出，，表示出，，，利用相似的性質(zhì)求出．10．B【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于對(duì)邊比鄰邊即可求解；②中先證明得到EM=EC，DM=FC，再證明即可求解；③中先證明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且對(duì)頂角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD為正方形，E是BC的中點(diǎn)，∴BC=CD，∴，①正確；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正確；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③錯(cuò)誤；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．11．【分析】先證得△ABE≌△FCB，可得設(shè)，，則，分別表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，解一元二次方程，根據(jù)銳角三角形函數(shù)值為正取舍即可求解．．解：在矩形中，∠BAE=90°，AEBC，AD=BC，∴∠CBF=∠AEB，∵，∴∠BFC=∠BAE=90°，∵，∴△ABE≌△FCB，,，設(shè)，，則，，，中，，，，，，，，，解得（負(fù)值舍去）故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了求正弦，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．12．【分析】如圖，連接AN，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AC于E，設(shè)AB=2x，則AC=2x，根據(jù)等角的余弦列式可得CE和AE的長(zhǎng)，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算可得MN的長(zhǎng)．解：如圖，連接AN，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AC于E，設(shè)AB=2x，則AC=2x，∵AB的垂直平分線MN交BC邊于點(diǎn)N，∴AN=BN=6，BM=x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴cos∠B=cos∠C，∴，即，∴∴，由勾股定理得：，，解得：（負(fù)值舍去），∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過(guò)A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABH＝α，由三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：如圖，設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過(guò)A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，∵BH∥x軸，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα隨BA的減小而增大，∴當(dāng)BA最小時(shí)sinα有最大值；即BH最小時(shí)，sinα有最大值，即BG最大時(shí)，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴當(dāng)n時(shí)，BG最大值故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得△ACF∽△CBG是解題的關(guān)鍵．14．【分析】連接BE，BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得△BCD是等邊三角形，結(jié)合E是CD的中點(diǎn)，可得DE，BE，再根據(jù)CD∥AB可得BE⊥AB，利用勾股定理即可求解．解：如圖，連接BE，BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，∴△BCD是等邊三角形，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE=1，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=BC×cos∠EBC=2×，∵CD∥AB，BE⊥CD，∴BE⊥AB，由折疊的性質(zhì)可得AF=EF，在Rt△BEF中，，∴，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，余弦等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．15．（）．解：設(shè)A（a，），∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA=OB，∵△ABC為等邊三角形，∴AB⊥OC，OC=AO，∵AO=，∴CO=，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，即，解得：，在Rt△COD中，，即，將代入，可得：，故，，則，故可得：（），故答案為（）．16．3【分析】在BC上截取，構(gòu)造相似，可得出，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥EQ可得出即可求出CE的長(zhǎng)解：在BC上截取，則，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不變，∴CH為CE的最小值．過(guò)C點(diǎn)作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【點(diǎn)撥】本題主要考查相似的性質(zhì)與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．或【分析】根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)，計(jì)算得，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)，得；結(jié)合題意，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得，，，；根據(jù)三角形內(nèi)角和，推導(dǎo)得，結(jié)合三角形外角性質(zhì)，得；分和兩種情況分析；根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案．解：在矩形中，沿翻折得到，，，，，分兩種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，即∵∴∴．的周長(zhǎng)為：；②如圖，當(dāng)時(shí)，．，，．的周長(zhǎng)為：．的周長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形、等腰三角形、三角形內(nèi)角和、三角形外角、勾股定理、三角函數(shù)、軸對(duì)稱的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、等腰三角形、三角形內(nèi)角和、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．18．①②③④【分析】①連接AM，延長(zhǎng)DE交BF于J．證明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可．②當(dāng)F、E、M共線時(shí)，易證∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一點(diǎn)J，使得ME＝MJ，連接EJ，設(shè)AE＝EM＝MJ＝x，則EJ＝JD＝x，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．③連接EC，CF，只有EF＝CE，設(shè)AE＝AF＝m，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．④連接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，連接EN，易證△BFE≌△BNE（SSS），則∠BNE＝∠BFE，證出∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，得出∠OCD＝∠ODC，得出OC＝OD，證出∠OFD＝∠ODF，得出OF＝OD＝OC，即O是FC的中點(diǎn)，設(shè)AE＝AF＝n．根據(jù)tan∠CFD＝tan∠EDA，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．解：①如圖1中，連接AM，延長(zhǎng)DE交BF于J．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△BAF≌△DAE，∴∠ABF＝∠ADE，∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，∴∠BJE＝90°，∴DJ⊥BF，由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED，∴DE垂直平分線段AM，∴AMBF，故①正確，②如圖2中，當(dāng)F、E、M共線時(shí)，∵AE＝AF，∠BAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一點(diǎn)J，使得ME＝MJ，連接EJ，∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，∴∠JED＝∠JDE＝∠MJE＝22.5°，∴EJ＝JD，設(shè)AE＝EM＝MJ＝x，則EJ＝JD＝x，則有x+x＝4，∴x＝4﹣4，∴AE＝4﹣4，故②正確，③如圖3中，連接EC，CF，∵∠CEF＞∠CBF＞90°，△FEC是等腰三角形，∴EF＝CE，設(shè)AE＝AF＝m，則有：2m2＝42+（4﹣m）2，∴m＝4﹣4或﹣4﹣4（舍棄），∴AE＝4﹣4，故③正確，④如圖4中，連接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，連接EN，則∠DAC＝∠ACD＝∠BDC＝∠BDA＝45°，∠AEN＝45°，∴AN＝AE＝AF，∠BEN＝135°，則BF＝BN，EF＝EN，易證△BFE≌△BNE（SSS），則∠BNE＝∠BFE，∵∠AFE＝45°＝∠DAC，∴EF∥AC，∴∠CFE＝∠ACF，∴∠OCD＝45°+∠ACF，∵∠BEN+∠BDA＝180°，∴D、B、E、N四點(diǎn)共圓，∴∠BNE＝∠BDE，∵EF平分∠BFC，∴∠BFE＝∠CFE，∴∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，∵∠ODC＝45°+∠BDE，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∵∠OCD+∠OFD＝∠ODC+∠ODF，∴∠OFD＝∠ODF，∴OF＝OD＝OC，即O是FC的中點(diǎn)，設(shè)AE＝AF＝n．∵∠FDC＝90°，OF＝OC，∴OF＝OD，∴∠OFD＝∠ODF，∴tan∠CFD＝tan∠EDA，∴，∴n＝2﹣2或﹣2﹣2（舍去），∴AE＝2﹣2，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)撥】此題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．19．（1）見(jiàn)分析；（2）；（3）5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定解答即可；（2）由勾股定理求得PB=4，再根據(jù)正切定義求得，進(jìn)而可證得，，由勾股定理求解即可；（3）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，將△APM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△DPB，連接AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得AM的最大值，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，同理求得AM的最大值即可．解：（1）∵線段繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，且，∴為等邊三角形．（2）∵，，∴PA=2，∵軸，∴∠PAB=90°，AB=，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴．（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，將△APM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△DPB，連接AD，則△DPB≌△APM，∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，∴△APD是等邊三角形，∴AD=PA=2，由BD≤AD+AB知，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)BD最長(zhǎng)，∵B（5，0）,A（2，0），∴AB=3，∴BD≤AD+AB=2+3=5，即AM的最大值為5；當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，同理可得AM的最大值為5，綜上，AM的最大值為5．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系和運(yùn)用，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決問(wèn)題．20．（Ⅰ）見(jiàn)分析；（Ⅱ）周長(zhǎng)最小值為.【分析】（Ⅰ）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得DM＝EM＝AP＝AM，再由等邊對(duì)等角得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可證明；（Ⅱ）根據(jù)∠B＝45°，∠C＝75°以及第（Ⅰ）問(wèn)的結(jié)論可知△MDE為頂角為120度的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函數(shù)值可將△MDE的周長(zhǎng)表示為（2＋）×AP，進(jìn)而將周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)換為AP最短的問(wèn)題，根據(jù)垂線段最短即可求解．解：（Ⅰ）∵，，為中點(diǎn)，∴.∴，.∴，.∴.（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作于，由（Ⅰ）知，∴，.∵，，∴.由（Ⅰ）知.∴.∴∴.周長(zhǎng).∴當(dāng)最短時(shí)，周長(zhǎng)最小.此時(shí).當(dāng)時(shí)，∵，..∴周長(zhǎng)最小值為.【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，正確的用AP表示出三角形MDE的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．21．(1)見(jiàn)分析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，結(jié)合DF=DF，證明△ADF≌△GDF即可．（2）證明△ADF∽△EDA，求得DF、AE=EG的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)，確定DC=AB=BG，再利用勾股定理計(jì)算即可．（3）連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OP，根據(jù)中位線定理計(jì)算OP=3，根據(jù)勾股定理計(jì)算BD=，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，計(jì)算AO=，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到AO+OP≥AP，計(jì)算最大值即可．解：（1）∵沿ED翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，AG交DE于點(diǎn)F，∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，∵DF=DF，∴△ADF≌△GDF，∴AF=FG．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAE=90°，∵沿ED翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，AG交DE于點(diǎn)F，∴∠AFD=90°，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴，∴，∴，解得DF=2或DF=-3（舍去），故DE=DF+EF=3,∴AE===EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAE=∠B=90°，∵沿ED翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，AG交DE于點(diǎn)F，∴∠EGD=90°，∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，∴∠DGC=∠BEGO，∴sin∠DGC=sin∠BEG，∴，∴，∴DC=AB=BG，∴BE=AB-AE=，∴，解得BG=或BG=0（舍去），∴BE=．（3）如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OP，則OP是△BDG的中位線，∴OP=．∵四邊形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，∴BD=，∵AO是直角三角形ABD斜邊BD上的中線，∴AO==，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到AO+OP≥AP，當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，最大為．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的相似，勾股定理，三角函數(shù)，線段最短原理，三角形中位線定理，熟練掌握折疊性質(zhì)，三角形相似，三角函數(shù)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．(1)證明見(jiàn)分析(2)49(3)2+2【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的判定定理可得是等邊三角形，可得，由，可證四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；（2）連接BD，由準(zhǔn)平行四邊形的性質(zhì)可得，，得出BD是直徑，利用勾股定理可得，，結(jié)合圖形，四邊形ABCD的面積為與的面積和，求解即可得；（3）根據(jù)題意作，然后作的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC延長(zhǎng)線于F，利用三角形內(nèi)角和定理及銳角三角函數(shù)解三角形可得，，根據(jù)四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，得出，由等邊對(duì)等角及三線合一性質(zhì)可得，，利用銳角三角函數(shù)可得，，由矩形的判定可得四邊形CFOE是矩形，，利用勾股定理得出，結(jié)合圖形可得：當(dāng)點(diǎn)D在BO的延長(zhǎng)線時(shí)，BD的長(zhǎng)有最大值，求解即可得．（1）證明：∵，∴，，∵四邊形APBC是圓的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，