第一章-索洛增長(zhǎng)模型

第一章 索洛增長(zhǎng)模型一、索洛模型的介紹與一些前提假設(shè)條件該模型是經(jīng)濟(jì)學(xué)家傳統(tǒng)上用于分析經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的主要模型。幾乎對(duì)于所有有關(guān)增長(zhǎng)的分析而言，索洛模型是其起點(diǎn)。理解該模型實(shí)質(zhì)上便是理解增長(zhǎng)理論。但該模型也存在缺陷：它不能解釋不同時(shí)間上人均產(chǎn)出的巨大增長(zhǎng)，也無(wú)法解釋地域上不同人均產(chǎn)出的巨大差距。(按邊際產(chǎn)品取得收益的傳統(tǒng)途徑)。Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))假設(shè)：(1)生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)自變量是規(guī)模報(bào)酬不變的，即資本與有效勞動(dòng)是規(guī)模報(bào)酬不變的(F(cK,cAL)=cF(K,AL),Vc>0)；(2)除資本、勞動(dòng)與知識(shí)以外的其他投入是相對(duì)不重要的，特別地，模型忽略了土地與其他自然資源。規(guī)模報(bào)酬不變的假設(shè)可以讓我們利用緊湊形式的生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行分析：當(dāng)c=1/AL,F(cK,cAL)=cF(K,AL)nF(K,1)=—F(K,AL)，其中，K是ALAL AL單位有效勞動(dòng)的資本量，二F(K,AL)是單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出(定義k=K，y=Y/AL，AL AL及y=F(k,1)ny=f(k)，即把單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出寫(xiě)成單位有效勞動(dòng)的資本量的函數(shù)。[人均收入：Y/L=A(Y/AL)=Af(k)]緊湊型生產(chǎn)函數(shù)f(k)假定滿足f(0)=0，f'(k)>0，f"(k)<0(因?yàn)椋篎(K,AL)=ALf(K/AL)ndF(K,AL)/dK=ALf'(K/AL)(1/AL)=f(k)f(k)>0，f"(k)<0的假設(shè)意味著資本的邊際產(chǎn)品為正，但它隨每單位有效勞動(dòng)的資本量的增加而下降。另f(?)被假設(shè)滿足稻田條件：Hm^of(k)=3,1血—8f(k)=0，其意思是在資本存量充分小量資本的邊際產(chǎn)品是十分大的，而當(dāng)資本存量變大時(shí)，資本的邊際產(chǎn)品變得十分小。，它是確保經(jīng)濟(jì)的路徑并不發(fā)散。(舉例柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，說(shuō)明滿足稻田條件的意義)二、生產(chǎn)投入的時(shí)間變化描述資本、勞動(dòng)與知識(shí)的初始水平給定的，勞動(dòng)與知識(shí)以不變的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)：L(t)=nL(t)，A(t)=gA(t)(n與g是外生參數(shù)，而變量上的一點(diǎn)表示關(guān)于時(shí)間的一個(gè)導(dǎo)數(shù)，L(t)=dL(t)/dt，為變量的變化率。而變量的增長(zhǎng)率指其變化的速率，它等于其自然對(duì)數(shù)的變化率，如，n=dlnL(t)/dt='dL(Z)=_l_l()(曰然對(duì)數(shù)的變化率如 " dL(t)dt L(t)nInL(t)=InL(0)+ntnL(t)=L(0)e〃，(同理可得出A(t)=A(0)eg，)假設(shè)產(chǎn)出僅在消費(fèi)與投資之間分配，其中投入投資的產(chǎn)出份額s是外生且不變的，投入投資的一單位產(chǎn)出可獲得一單位的新資本。現(xiàn)有資本以速率5折舊，即有：K(t)=sY(t)-5K(t)（索洛模型簡(jiǎn)化：只存在一種單一的產(chǎn)品，政府不存在，就業(yè)波動(dòng)被忽視，生產(chǎn)正好可用于三種投入的總生產(chǎn)函數(shù)描述，并且儲(chǔ)蓄率（s）、折舊（5）、人口增長(zhǎng)（n）與技術(shù)進(jìn)步（g）不變。）三、模型的動(dòng)態(tài)學(xué)解釋1、k的動(dòng)態(tài)學(xué)由于k=K/AL，求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，可得：?KK一,，?、KKLKAk=—— (AL+LA)=——AL(AL)2 ALALLALAsY-5K1 1 nk-gkAL=sf(k)-5k-nk-gk=sf(k)-k(n+g+5)它表示單位有效勞動(dòng)的資本存量的變化率（k）為如下兩項(xiàng)的差：第一項(xiàng)sf（k）為每單位有效勞動(dòng)的實(shí)際投資；第二項(xiàng)k（n+g+5）為持平投資，即為使k保持在現(xiàn)有水平上所必須進(jìn)行的投資量。理由是現(xiàn)有資本正在折舊及有效勞動(dòng)量正在以（n+g）的速率增長(zhǎng)。（1）實(shí)際與持平投資圖：（稻田條件保證了上圖的實(shí)際投資曲線先陡峭，后下降，且只有相交一個(gè)點(diǎn)）（2）相位圖：用相位圖說(shuō)明作為k的函數(shù)的k的變化：如果k初始小于k*，實(shí)際投資大于持平投資，因而k為正，反之，如果k大于k*，實(shí)際投資小于持平投資，因而k為負(fù)，如果k等于k*，則k為零。因此，無(wú)論k在哪里開(kāi)始，它總會(huì)收斂于k*。

索洛模型中k的相圖平衡增長(zhǎng)路徑：當(dāng)k收斂于k*，則勞動(dòng)與知識(shí)正分別以速率n與g增加。資本存量K等于ALk，由于k在k*處不變，那么，K正以速度n+g增長(zhǎng)，在資本與有效勞動(dòng)正以速率n+g增長(zhǎng)的條件下，規(guī)模報(bào)酬不變的假設(shè)意味著產(chǎn)出Y正以該速率增長(zhǎng)。人均資本(K/L)及人均產(chǎn)出(Y/L)正以速率g增長(zhǎng)。即意味著，無(wú)論其起點(diǎn)在何處，經(jīng)濟(jì)總會(huì)收斂于一個(gè)平衡增長(zhǎng)路徑，模型的每個(gè)變量正以一個(gè)不變的速率增長(zhǎng)，人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率只由技術(shù)進(jìn)步惟一地決定。四、儲(chǔ)蓄率變化的影響政策最有可能影響索洛模型有參數(shù)是儲(chǔ)蓄率。1、對(duì)產(chǎn)出的影響。s的增加把實(shí)際投資線向上移動(dòng)，因而k*上升，如圖:用于投資的儲(chǔ)蓄率增加的效應(yīng)k不會(huì)立即跳躍到k*的新值上。當(dāng)k初始等于k*的舊值，實(shí)際投資大于持平投資，k為正。因此，k開(kāi)始上升，且持續(xù)上升，直到達(dá)到k*的新值才保持不變。如下圖所示:在這里，t0表示儲(chǔ)蓄率增加的時(shí)刻，依據(jù)假設(shè)，S在t0時(shí)刻跳躍，并且在此后保持不變。由于S的跳躍使實(shí)際投資以一個(gè)正的數(shù)量大于持平投資，k由0跳躍到一個(gè)嚴(yán)格的正的數(shù)量上。k逐漸由k*的舊值上升到其新值上，并且k逐漸地返回到零。此外，每個(gè)工人的平均產(chǎn)出Y/L等于Af(k)。當(dāng)k不變時(shí)，Y/L以A的增長(zhǎng)率(g)增長(zhǎng)。當(dāng)k正在增加時(shí)，Y/L的增長(zhǎng)起因于A在增長(zhǎng)，也起因于k在增加。因而Y/L的增長(zhǎng)率大于g。然而，當(dāng)k達(dá)到k*新值時(shí)，只有A的增長(zhǎng)對(duì)Y/L的增長(zhǎng)產(chǎn)生作用。Y/L的增長(zhǎng)率恢復(fù)到g。因此，儲(chǔ)蓄率的永久性增加產(chǎn)生了每個(gè)工人的平均產(chǎn)出增長(zhǎng)率的暫時(shí)性增加。此時(shí)k的上升，最終會(huì)增加至新增儲(chǔ)蓄率被用于維持k的高水平。每個(gè)工人的產(chǎn)出增長(zhǎng)率初始為g，在t0時(shí)刻向上跳躍，然后返回到其初始水平。因而每個(gè)工人的平均產(chǎn)出開(kāi)始上升并且高于其處在平衡路徑上時(shí)的水平，并且接著逐漸返回到一個(gè)較高的路徑上，后者同第一個(gè)路徑平行。儲(chǔ)蓄率的變化具備水平效應(yīng)，但不具備增長(zhǎng)效應(yīng)，它改變了經(jīng)濟(jì)的平衡增長(zhǎng)路徑，因而也改變了任何時(shí)點(diǎn)上每個(gè)工人的產(chǎn)出水平。但這并不影響平衡路徑上每個(gè)工人的平均產(chǎn)出增長(zhǎng)率。在索洛模型中，只有技術(shù)進(jìn)步的增長(zhǎng)率的變化具有增長(zhǎng)效應(yīng)，所有其他變化只會(huì)產(chǎn)生水平效應(yīng)。2、對(duì)消費(fèi)的影響每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)等于每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出乘以該產(chǎn)出用于消費(fèi)的份額1-s。(1-s)f(k)。s在t0時(shí)刻處呈非連續(xù)的變化每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)初始發(fā)生向下跳躍。隨著k的上升與s仍處在較高水平上，消費(fèi)逐漸地上升。儲(chǔ)蓄對(duì)消費(fèi)的影響分析：假設(shè)c*表示均衡增長(zhǎng)路徑上單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)。 即c*=f(k*)-sf(k*)。在平衡增長(zhǎng)路徑上，實(shí)際投資等于持平投資(n+g+8)k*。因此，c*=f(k*)-(n+g+8)k*，其中，k*是由s、n、g與8決定的。因此，可將k*表示為：k*=k*(s,n,g,8)。對(duì)上式求關(guān)于s的導(dǎo)數(shù)，得：與=[f(k*(s,n,g,8))-(n+g+8)]竺蘭件2ds ds由于s的增加會(huì)提高k*，即d*(s，：g,8)>0，那么，s的增加是否在長(zhǎng)期內(nèi)提高或降ds低消費(fèi)，這取決于資本邊際產(chǎn)品f'(k*)是否大于或小于(n+g+8)。當(dāng)k的上升，每單位有效勞動(dòng)的投資的增加必定會(huì)等于(n+g+8)與k的乘積，以便使增加可被維持。如果f'(k*)是小于(n+g+8)，那么，由增加的資本所獲得的產(chǎn)出的增加并不足以把資本存量維持在較高水平上，消費(fèi)必定下降以便保持較高的資本存量。如果f'(k*)是大于(n+g+8)，那么，由必存在相當(dāng)高的產(chǎn)出去保持k處在較高水平上，消費(fèi)上升。(s的上升是否提高或降低消費(fèi)取決于k*是處在f(k)的斜率的大小，如果f'(k*)大于持平投資的斜率(n+g+8)，則s的上升提高消費(fèi)；f(k*)小于持平投資的斜率(n+g+8)，則s的上升降低消費(fèi)，f'(k*)等于持平投資的斜率(n+g+8)一平行，則s的的邊際變動(dòng)不會(huì)對(duì)消費(fèi)產(chǎn)生影響，且在各種平衡增長(zhǎng)路徑上，消費(fèi)處在其最大的可能水平上。此時(shí)的k*值就是著名的資本存量的黃金律水平。3、儲(chǔ)蓄在長(zhǎng)期內(nèi)對(duì)產(chǎn)出的影響(定量分析):(1)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dy*=廣(k*)6k*(s,n,g,8)ds ds(1)為求出華，需先求出華，我們知道，k*是由k=0的條件界定的，因此，k*滿足:ds dssf(k*(s,n,g,8))=(n+g+8)k*(s,n,g,8)對(duì)上式求關(guān)于s的導(dǎo)數(shù)，則得出：dk* dk*sf'(k*^—+f(k*)=(n+g+8)—ds ds

(2)dk* f(k(2)n——= ds (n+g+5)-sf(k*)把(2)式代入(1)式得到:dy*f(dy*f(k*)f(k*)ds (n+g+5)-sf(k*)(3)將(3)兩邊同乘以s/y*轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥?，另利用sf(k*)=(n+g+5)k*去替換s，得到:sdy*_s f(k*)f(k*)y*ds f(k*)(n+g+5)一sf(k*)_(n+g+5)k* f(k*)f(k*) (n+g+5)-sf'(k*)_(n+g+5)k* f'(k*)f(k*) (n+g+5)-(n+g+5)k*f'(k*)/f(k*)_ k*f'(k*)=f(k禾k*f(k*)1f(k舟由于k*f'(k*)/f(k*)是在k=k*處的產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性。用a《(k*)表示這個(gè)彈性，即可獲得：sdy* a(k*)y*ds 1-a(k*)K如果市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產(chǎn)品，那么，在平衡增長(zhǎng)路徑上的每單位有效勞動(dòng)的資本獲得的總產(chǎn)出量是k*f'(k*)。因而，如果資本獲得其邊際產(chǎn)品，平衡增長(zhǎng)路徑上分配給資本的總收入份額是k*f'(k*)/f(k*)或ak(k*)。(儲(chǔ)蓄率的產(chǎn)出彈性，ak(k*)較小意味著實(shí)際投資曲線更彎曲。結(jié)果，曲線的向上移動(dòng)只會(huì)把它與持平投資線的交點(diǎn)向上移出一點(diǎn)；及k*的變化對(duì)y*產(chǎn)生較小的影響)。4、收斂速度k怎樣快地趨向k*。我們知道k是由k決定的，因?yàn)閗=sf(k)-(n+g+5)k。因此，可寫(xiě)出k=k(k)。當(dāng)k趨于k*，k趨于0。在k=k*附近，k(k)的一階泰勒展開(kāi)式的近似值為：心［些dk設(shè)人表示-丑*|*，那么，上式可變?yōu)椋篸kk=k*kw-X(k(t)-k*)上式表示，在平衡增長(zhǎng)路徑附近，k大致同k-k*的距離成比例的速度趨向k*，即k(t)-k*的增長(zhǎng)率大致不變且等于-X，這意味著(微分方程解)：k(t)wk*+e-Xt［k(0)—k*］，其中k(0)是k的初始值。要求出X？，對(duì)k=sf(k)-(n+g+8)k求關(guān)于k的微分，并且在k=k*處所形成的表達(dá)式取值，得到：X=-3k(k)|~~dk k=k*=-[sf(k*)-(n+g+8)]=(n+g+8)-sf(k*)(n+g+8)k*f(k*)=(n+g+8) f(k*)=[1-以(k*)](n+g+8)K因此，k以速率[1-a(k*)](n+g+8)收斂于其平衡增長(zhǎng)路徑值。同樣y以k趨向k*的K速率趨向y*，即y(t)-y*牝e永［y(0)—y*］。(假定n+g+8w6%，即nW1%-2%，gw1%~2%，即用每個(gè)工人的平均產(chǎn)出的增長(zhǎng)率，8w3%~4%，ak(k*)=1/3nX=4%，k與y每年走完其各自k*與y*的剩余距離的4%，且大致花18年的時(shí)間走完與其平衡增長(zhǎng)路徑值的一半距離)索洛模型的核心結(jié)論是：如果在市場(chǎng)中資本所要求的報(bào)酬是其對(duì)產(chǎn)出的貢獻(xiàn)，那么，物質(zhì)資本積累的變化并不能解釋世界范圍的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的顯著部分或國(guó)家間的收入差別。例如，從直接方式看：如果兩個(gè)經(jīng)濟(jì)間每工人平均產(chǎn)出的差異為X倍，那么兩個(gè)經(jīng)濟(jì)間每工人平均產(chǎn)出對(duì)數(shù)的差為lnX，由于每工人平均產(chǎn)出關(guān)于每工人平均資本的彈性是ak,每工人平均資本對(duì)數(shù)必須有數(shù)量為(mX)/ak的差距。那么，每工人平均資本(k)的差異為e(lnX"aK或X1/aK｛由該式得到：(AX/X)/(AK/K)=a廣lnXwAX/X，InKwAK/K，如果X=10倍，ak=M3，那么，k差異為1000倍，這是不現(xiàn)實(shí)的。｝。從間接方式看，由于模型無(wú)法依據(jù)每工人平均資本的差異來(lái)解釋每工人平均產(chǎn)出的較大的變化，因此，考慮資本

所需要的差額意味著資本報(bào)酬率的巨大差異(盧卡斯，1990)。如果市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)性的，資本的報(bào)酬率等于其邊際產(chǎn)品f'(k)減去折舊5。用柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，即f(k)=ka,產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性為a，資本的邊際產(chǎn)品為：f'(k)=akaT=a暨一昨，即資本的邊際產(chǎn)品關(guān)于產(chǎn)出的彈性為-(1-a)/a。如果a=1/3，每個(gè)工人平均產(chǎn)出的10倍的差額來(lái)源于每個(gè)工人平均資本的差異，這意味著資本的邊際產(chǎn)品的100倍的差異(現(xiàn)實(shí)并不存在這種報(bào)酬率差異的證據(jù))。因此，每個(gè)工人平均實(shí)物資本的差異無(wú)法說(shuō)明我們所觀察到的每個(gè)工人平均產(chǎn)出差異，或者我們所觀察到的每個(gè)工人平均產(chǎn)出差異能由每個(gè)工人平均實(shí)物資本的差異來(lái)解釋。當(dāng)然，索洛模型中，將每個(gè)工人平均產(chǎn)出變化的其他潛在來(lái)源是勞動(dòng)的有效性。但這變量是外生的。A是什么？是雜物袋。五、經(jīng)驗(yàn)性應(yīng)用在索洛模型中，第個(gè)工人平均產(chǎn)出的長(zhǎng)期增長(zhǎng)只依存于技術(shù)進(jìn)步。但短期增長(zhǎng)或者來(lái)源于技術(shù)進(jìn)步或者來(lái)源于資本積累。1、增長(zhǎng)因素分析法Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))dY(t)

dK(t)dY(t)

dK(t)K(t)+dY(t)

dL(t)L(t)+dY(t)

dA(t)A(t)(t)K(t)dY(t)K(t)L(t)dY(t)L(t)A(t)dY(t)A(t)—-=—————— —— + ————-(t) Y(t)dK(t)K(t)Y(t)dL(t)L(t)Y(t)dA(t)A(t)=a(t)^^+a(t)—+R(t)K K(t) LL(t)a(t)+a(t)=1Y(t)L(t) ,、「K(t)L(t)i^而-函=aKU可-面]+R(t)其中，R(t)是索洛剩余。上式是指每個(gè)工人平均產(chǎn)出的分解為每個(gè)工人平均資本的增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)與剩余項(xiàng)一索洛殘值，它有時(shí)被解釋為對(duì)技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)的度量。2、收斂性鮑默爾(1986)檢驗(yàn)16個(gè)工業(yè)化國(guó)家間由1870-1978年的收斂性模型，如下：TOC\o"1-5"\h\z、Y、Y ,Yln[(-) ]-ln[(-) ]=a+b[(-) ]+.Ni,1978 Ni,1870 N八⑻。 i上式中，如果b為負(fù)，則存在收斂性，否則不存在收斂性。六、環(huán)境與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)1、自然資源與土地：一種基本情形:Y(t)=K(t)aR(t)PT(t)y[A(t)L(t)]1-a-fMa>0,p>0,y>0,a+p+y<1其中，R表示生產(chǎn)中可利用的資源，T表示土地?cái)?shù)量同樣，K(t)=sW)-6K(t),L(t)=nL(t),M)=gA(t)。由于土地?cái)?shù)量是固定的，則T(t)=0，資源稟固定及在生產(chǎn)中被利用，資源使用必定會(huì)最終下降，則R(t)=-bR(t)，b>0。由于在生產(chǎn)函數(shù)中資源與土地的出現(xiàn)意味著K/AL不會(huì)收斂于某一值。考慮到資本運(yùn)動(dòng)方程：K(t)=sY(t)-6K(t)，意味著K的增長(zhǎng)率為：￡({=sY^t)一6，為使k的增長(zhǎng)率不變，Y/K必定不變，那么，Y與K的增長(zhǎng)率必K(t) K(t)定相等。對(duì)Y(t)=K(t)aR(t)PT(t)y[A(t)L(t)]l-a-6-y兩邊