基于kaiser窗的電力系統(tǒng)諧波和間諧波參數(shù)估計

基于Kaiser窗的插值FFT諧波與間諧波的參數(shù)估計摘要：隨著精密儀器在電網(wǎng)中的應(yīng)用日益增多，由間諧波引起的如感應(yīng)電動機的振動與噪聲、電壓閃變等問題也日益突出。間諧波的精確檢測是解決這些問題的前提，因此研究間諧波的檢測方法具有重要的現(xiàn)實意義?；趧P澤窗優(yōu)良的窗函數(shù)特性，提出了加凱澤窗的分段逼近參數(shù)估計方法，分析了該方法的可行性和優(yōu)點，在時域與頻域?qū)P澤窗和其他窗函數(shù)的間諧波檢測性能進行了詳細比較，并通過仿真驗證了凱澤窗的設(shè)計靈活性，以及該方法的正確性和有效性。關(guān)鍵詞：間諧波；加窗插值；頻譜泄露；柵欄效應(yīng)；凱澤窗TheDetectionandRealizationofPower-harmonicsand

interharmonicsbasedonLabviewABSTRACT：Withthewidespreadofsophisticatedequipmentsinpowersystem,problemsthatareassociatedwithinterharmonics,suchasthenoiseandvibrationofinduction-motor,voltageflickerandsoon,hasbeenincreasinglyprominent.Todetectinterharmonicsprecislyistheprerequisiteofsolvingsuchproblems,therefore,theresearchoninterharmonicsdetectionisofpracticalsignificance.BasedontheexcellentwindowfunctionperformanceoftheKaiserwindow,themethodofsegmentationapproximationisproposedtoestimatetheparametersofinterharmonics,andthefeasibilityandmeritsofthismethodisanalyzed.Inaddition,thecomparisonofinterharmonicsdetectionperformancesbetweentheKaiserwindowandotherwindowedinterpolationalgorithmsinboththetimeandfrequencydomainaregiventoveritytheflexibilityoftheKaiserwindowmethod.Thevalidityofthemethodisprovedthroughsimulationresults,andtheirprecisionininterharmonicdetectionarealsoanalysizedaccordingtothecorrespondingnationalstandard.Keywords:Interharmonics;WindowedInterpolationalgorithm;frequencyspectrumleakage;picketfenceeffects;Kaiserwindow0引言隨著經(jīng)濟和社會的發(fā)展，各種基于電力電子技術(shù)的波動性負荷如變頻調(diào)速設(shè)備、整流供電裝置、循環(huán)變流器件等的應(yīng)用日益廣泛，這些設(shè)備運行時電流中包含大量的間諧波。這些間諧波流入電力系統(tǒng)后會引起白熾燈管或CTR射線管等顯示設(shè)備閃爍，干擾電網(wǎng)中的低頻控制信號，引起音頻設(shè)備和感應(yīng)電動機噪聲增大，

甚至可能導(dǎo)致濾波器因過流跳閘和濾波失敗等問題。 目前間諧波已成為繼諧波之后，國際上公認的公用電網(wǎng)污染的主要公害之一⑴。在對間諧波的研究過程中，實現(xiàn)精確可靠的間諧波檢測是對間諧波產(chǎn)生機理和傳播規(guī)律進行理論分析的前提，也能為研究其危害并制定相應(yīng)抑制措施提供依據(jù)，因此研究間諧波的檢測方法并實現(xiàn)間諧波的可靠檢測具有重要的理論和應(yīng)用價值。1凱澤窗與基于凱澤窗的間諧波檢測算法1.1凱澤窗（Kaiser）人們研究窗函數(shù)主要是它可以有效地抑制頻譜泄漏，本論文中采用的加窗插值FFT方法，窗函數(shù)的選擇非常重要。在間諧波檢測的頻譜分析時，最好的是窗函數(shù)主瓣窄、旁瓣低且跌落快，但對于同一窗函數(shù)，以上兩個要求又是互相矛盾的。因為要是增加主瓣的寬度，旁瓣就會降低，反之，若想主瓣能變得又高又窄，旁瓣就會增高。在選擇窗的時候，應(yīng)根據(jù)間諧波特征和研究目的來選擇。目前，已經(jīng)有20多種窗函數(shù)，在電力系統(tǒng)諧波與間諧波檢測中常用的窗函數(shù)有矩形窗、海寧窗（Hanning）、漢明窗（Hamming和布來克曼窗（Blackman）。數(shù)字信號處理領(lǐng)域較早就提出了凱澤窗（Kaiser），它通過改變參數(shù)可以達到不同的性能，正由于其優(yōu)良的窗函數(shù)特性，廣泛應(yīng)用于高通、低通、帶通、帶阻等各種濾波器的設(shè)計。凱澤窗（Kaiser）是利用貝塞爾函數(shù)來逼近需要的理想窗，其時域函數(shù)形式如式3-1w(n)二也；1-[1-2形式如式3-1w(n)二也；1-[1-2n/(N-1)]2)

l°(B)n=0,1,2N-1式3-1式中，1?！福榱汶A第一類修正的貝賽爾函數(shù)，可用式3-2的級數(shù)表示。COb(X)=COb(X)=1 '[n=±(x/2)n

n!]2式3-2凱澤窗（Kaiser）的幅度公式為:（N」）/2W（）=w（0） 2'w（n）cos‘n 式3-3n二由公式可知，凱澤窗的B值與貝賽爾函數(shù)級數(shù)項數(shù)n是兩個獨立的參數(shù)，但都會對凱澤窗造成影響，為進一步的了解和研究凱澤窗，有必要分別對其分別介紹。1.1.1貝賽爾函數(shù)的項數(shù)（n）確定凱澤窗（Kaiser）參數(shù)B的前提下，貝塞爾函數(shù)的項數(shù)（n）設(shè)定對凱澤窗的影響就變得非常重要了。貝塞爾函數(shù)的項數(shù)（n）對凱澤窗的影響本質(zhì)上就是利用項數(shù)的增大來近似逼近理想的凱澤窗（Kaiser）。n的取值決定了需要的凱澤窗的精確程度，通常用 15~25有限項去近似表達這個無窮級數(shù)[11][12][13]。matlab自帶的kaiser函數(shù)已經(jīng)滿足本文兩種加窗插值算法的精度要求， 下圖是matlab自帶kaiser函數(shù)與項數(shù)設(shè)置為43的凱澤窗函數(shù)時域比較圖（B固定為20，N取1024）。圖3-1自帶kaiser函數(shù)與項數(shù)設(shè)置為43的凱澤窗函數(shù)時域比較利用matlab的科學(xué)研究中完全可以采用其自帶的凱澤窗函數(shù)“ kaiser（N，beta）”，但這并不妨礙對貝塞爾函數(shù)的項數(shù)（n）的詳細研究，因為間諧波檢測的工業(yè)應(yīng)用千差萬別，特定情況下可能對準(zhǔn)確度很敏感，某些情況下又可能對計算量很在乎。圖3-2為不同的項數(shù)（n）所對應(yīng)的凱澤窗（Kaiser）時域比較示意圖，以及部分n值與matlab自帶kaiser函數(shù)進行幅度特性比較圖（采樣點數(shù)為64，B固定為20）。

圖3-2時域與頻域比較貝塞爾函數(shù)項數(shù)（n）的數(shù)值在低于15的時候，凱澤窗的時域變動比較明顯。超過15之后一直到70，圖形幾乎重疊，圖形上已經(jīng)無法分辨各個曲線，實際上從表3-1的詳細數(shù)據(jù)上也能看出同樣的變化規(guī)律：當(dāng)項數(shù)大于 15之后自定義的凱澤窗（Kaiser）變化很微小。Kaiser）詳細數(shù)據(jù)（采樣點數(shù)為64，B為20)表3-1不同項數(shù)的凱澤窗（i貝塞爾函數(shù)項數(shù)泄露系數(shù)（%旁瓣相對衰減（dB）主瓣-3dB帶寬（rad）matlab自帶0-154.90.074219n=700-154.90.074219n=350-154.90.074219n=150-99.80.074219n=100-67.30.070313n=60-48.20.058594n=50-43.40.054688n值為15以下如n等于10、6、5的時候，其凱澤窗主瓣、旁瓣變動較大，而當(dāng)n值為15以上即n值為35、70以及matlab自帶的kaiser函數(shù)時，其凱澤窗主瓣、旁瓣幾乎不變。如果對時實性與計算量的要求不是很高的情況下，為了實現(xiàn)程序的簡潔與契合度，算法的仿真可直接使用matlab內(nèi)部kaiser函數(shù)，當(dāng)然如有其他的設(shè)計要求，可靈活設(shè)置該參數(shù)。1.1.2B參數(shù)（beta）上節(jié)3.1.1已經(jīng)詳細的闡述了貝賽爾函數(shù)級數(shù)的項數(shù)變化對凱澤窗（Kaiser）的影響，本節(jié)中將詳細闡述B值大小對凱澤窗（Kaiser）的影響（確定貝塞爾函數(shù)級數(shù)的項數(shù)）。隨著B增大，主瓣加寬，旁瓣幅度減少［12］。圖3-3給出了不同1值所對應(yīng)的凱澤窗（Kaiser）時域和頻率圖形（采樣點取 1024,利用matlab自帶貝賽爾函數(shù)）凱湮奮（Kji&ar）京時域圖那來樣點n利用matlab自帶貝賽爾函數(shù)）凱湮奮（Kji&ar）京時域圖那來樣點n圖3-3凱澤窗（Kaiser）時域和頻域圖形時域圖中，從上往下,1分別為0，1.231，2.341，3.440，4.394，5.440，分別摘取1為0、4.394、6.451，7.321，分別摘取1為0、4.394、8.500、10.399來進行幅度特性對比， 明顯看出1為一個可自由選擇的凱澤窗函數(shù)形狀參數(shù)，能調(diào)節(jié)主瓣和旁瓣的寬度［12］。利用MATLA的求得不同的1值的凱澤窗（Kaiser）詳細數(shù)據(jù)（采樣點數(shù)定為1024），總結(jié)出表3-2表3-2不同B值凱澤窗（Kaiser）的詳細數(shù)據(jù)（采樣點數(shù)為 1024）Kaiser窗函數(shù)泄露系數(shù)（%旁瓣相對衰減（dB）主瓣-3dB帶寬（rad）B=09.15-13.30.001709B=1.2315.48-15.40.001709B=2.3411.65-20.10.0019531B=3.4400.33-26.40.0021973B=4.3940.07-32.60.0021973B=5.4400.01-39.80.0024414B=6.4510-47.10.0026855B=7.3210-53.50.0029297B=8.5000-62.40.0031738B=9.4120-69.50.0031738B=10.3990-77.30.003418根據(jù)式3-1凱澤窗(Kaiser)的公式，當(dāng)一：=0時，Kaiser窗和矩形窗函數(shù)是一樣的圖形。當(dāng)1=3.440時，Kaiser窗旁瓣相對衰減速率為-26.4dB，繼續(xù)增加］值，旁瓣峰值電平將繼續(xù)下降，漸進衰減速率繼續(xù)增加。1值越大，其主瓣寬度也越大，頻譜的旁瓣也隨著變小。利用matlab和本文分段逼近的加窗插值算法(見415本文3.4.2)，對信號f(t)=247sin(2nt一+13°)進行間諧波檢測(采樣頻率5120為5120Hz采樣點數(shù)為1024)，得到結(jié)果：表3-3不同卩值檢測幅值表測量值(B=18)實際值測量值(B=5.44)測量值(B=6.121)測量值(B=7.865)頻率41.54040.000340.137941.4017幅值247276.2669274.2383267.0376247.5005初始角1366.972866.960261.990316.5354曲5.44、6.121、7.865分別可以近似取代漢明窗、海寧窗、布來克曼窗(見3.2)，結(jié)果證明在單一間諧波的情況下凱澤窗可以調(diào)節(jié) 竝以提高主瓣的能量比重，達到比其他常用窗更好的測試精度。同樣的采樣頻率和采樣點數(shù)對頻率50Hz、幅值200V、初始相位200的基波和頻率151Hz、幅值0.6V、初始相位10°的間諧波的疊加電壓信號進行幅值檢測，見表3-3。實際幅值表3-4不同卩值檢測幅值表測量幅值(B=5)測量幅值(B=10)測量幅值(B=15)測量幅值(B=20)基波(50Hz)200v200.1118v200.0706v200.0518v199.9592V間諧波(151HZ0.6v0.6540v0.6357v0.6103v0.6000V當(dāng)頻率差比較大的時候(即主瓣影響可以忽略)，兩信號分量的幅值的變化只與兩者旁瓣影響有關(guān)，旁瓣跌落厲害則幅值測試準(zhǔn)確，旁瓣跌落很小則幅值檢測相對就不那么準(zhǔn)確，故上表隨著B值的增加，旁瓣衰減變大，幅值測試準(zhǔn)確度明顯提高。間諧波檢測平臺完全可以利用凱澤窗可變動主瓣與旁瓣的特點來提高在特定情況下的測試精度。2基于凱澤窗的分段逼近算法實際電網(wǎng)中，電力信號x(t)是含有基波分量、諧波分量、間諧波分量的復(fù)雜信號。以fs采樣頻率對它進行均勻采樣離散化，得到x(t)的離散時間信號

x(n)八sin(2二x(n)八sin(2二n7zkfl

fS-;:k)式3-13式中M――間諧波與諧波的總項數(shù)；Ak――k項間諧波/諧波的幅值；fi――基波的頻率；fs――采樣頻率；\――k項間諧波/諧波的初相位；Zk――k項間諧波/諧波相比fi的倍數(shù)。特別要指出：由于信號中含有基波非整數(shù)倍的間諧波分量，Zk不一定是正整數(shù)。設(shè)凱澤窗(Kaiser)的窗函數(shù)為w(n),利用w(n)對信號x(n)進行加權(quán)截斷，得到加窗后的離散信號xw(n)=x(n)w(n)，再經(jīng)過離散傅里葉變換(DFT)得到的表達式:Xw(h：Xw(h：f)「AkejkW產(chǎn)y2j. fs)_e」kW(2：(hfZkf1))fs式3-14式3-14中W(x)為凱澤窗(Kaiser)的頻譜函數(shù)表達式:W(x)二式3-15Nsinh(「：2-(Nx/2)W(x)二式3-151。(：)「2-(Nx/2)2凱澤窗(Kaiser)窗函數(shù)的優(yōu)良特性使負頻點yh的旁瓣對Xw(hf)的影響非常微弱，可以忽略，當(dāng)然這是在我們已經(jīng)選定參數(shù)的凱澤窗( Kaiser)來截斷的前提下，如果采用其他的窗函數(shù)或其他方式截斷使頻率分辨點離得過近， 則忽略負頻點的影響將帶來較大誤差。利用凱澤窗(Kaiser)對信號進行離散抽樣后，忽略負頻點處頻峰的旁瓣影響，表達式簡化為：Xw(hf)心Xw(hf)心22二(hf-ZkfJfs式3-16其中?訐為離散抽樣間隔fs/N，再設(shè)Zkf,=hk?訐，由于Zk不一定是正整數(shù),故這里hk也不一定是正整數(shù)。轉(zhuǎn)換式3-16為：Xw(h'f)訃Xw(h'f)訃kW(竿嚴式3-17只要推出檢測其中一項間諧波參數(shù)的方法，檢測其他項間諧波參數(shù)的方法類似，即它們都有一般性。設(shè)需要檢測的是第i項間諧波，簡化計算量和復(fù)雜度，忽略掉基波，其他諧波、間諧波對其的頻譜泄露影響，此時，表達式為：Xw(hf)-hXw(hf)-hi)2j式3-18需要注意的是上面的估算是在一定的前提條件下成立的， 其不僅假定正負頻率分量之間是無干擾的，而且假定各頻率間也是無干擾的。但是由于主瓣能量較大，當(dāng)間諧波頻率離基波較近時，其不僅會受到基波旁瓣頻譜的泄露影響，而且當(dāng)主瓣寬度大于二者頻率間隔的時候，間諧波也將受到基波主瓣的影響，甚至?xí)霈F(xiàn)頻譜淹沒現(xiàn)象導(dǎo)致無法檢測出來，這也是加窗插值算法檢測間諧波的技術(shù)難題。假定i項間諧波的峰值頻點左右分別有幅值最大和幅值次最大的第 h1和h2條譜線。實際情況中h1，h2譜線對應(yīng)的幅值不一定剛好是最大和次最大， 還可能是次最大與最大的情況，不過兩種情況進行參數(shù)估計的原理和方法是一致的， 為了簡化理解，我們假定hi，h2的幅值分別為最大和次最大。其中hi：：：h「：h^hi1，這兩條譜線幅值分別是Y=Xw(hQf)|和丫2=Xw(h^f)o由于函數(shù)為超越函數(shù)，無法由確定兩點的譜值數(shù)，得到準(zhǔn)確的實際頻率分辨點，只能利用插值估計方法來逼近其真實值，故引入?yún)?shù)：二h-0.5，數(shù)值：的范圍在卜0.5,0.5］，分段逼近算法引入的是參數(shù)Xr，其表達式：式3-31式中丫1、丫2分別是我們假定求參數(shù)的i項間諧波峰值頻點左右最大h1譜線的幅值與次最大h2譜線的幅值。可以根據(jù)丫1、Y2的定義以及與式3-20同樣的變量替換，可將式3-31轉(zhuǎn)換為：2二-' 0.5W[式3-32X式3-322二_0.5W[由此可見，上式為一個關(guān)于S的函數(shù)frCJ且滿足Xr二frC)o不同的S值

對應(yīng)不同的fr（J，我們給定一組n個S值，假定為乩3,&……Sn,得到n個幅值比fr（"）,fr（、?2）,fr（、3）……fr（n）。根據(jù)fr（、i）和、i我們可以構(gòu)造分段線性函數(shù)，如圖3-11所示。其中和fr5,fr52是已知的測試點值。圖3-11圖3-11分段線性函數(shù)這樣當(dāng)我們已知第i項間諧波的雙峰幅值比仆*時，便可以按照上圖中的線性關(guān)系即直線斜率相等原理，得到表達式：式3-33§h2—國h1 _ §hi一§式3-33fr(「h2)—frGh1)「frChi)—譏廿)如此可用苛、十、frCh2）、fr（F）、fr、；hi來表示「hi'f._f(h;-f(h1'f._f(h;-f(h1)h1fr('hi)-frGh1)1式3-34然后將-hi代入matlab函數(shù)polyfit推導(dǎo)出系數(shù)后的g（S,再根據(jù)頻率、幅值、初始相位的修正公式求出各個參數(shù)。式3-19I一丫2-丫1

丫2丫式3-19將式3-18代入，并用：變量替換可推得公式:

式3-20W[2n(」+0.5)/N]|—|W[2ji(」式3-20W[2二(—、.0.5)/N] |W[2「:(」-0.5)/N]引入?yún)?shù)厶使-=，同時為了讓凱澤窗（Kaiser）的頻譜函數(shù)滿足［0,N-1］范圍，將頻域信號平移N-1］范圍，將頻域信號平移寧，轉(zhuǎn)換后的頻譜函數(shù)表達式:式3-21sinh(,M)2-[(N-1)x/2] 2)—j字式3-211。(二),e)21。(二),e)2-[(N-1)x/2]空丄，和上文的Z和hk情況類似，h不一定是整數(shù)，將其代入式3-21N得:W(2nh] N—1sinh(J(M)2-[(N-1)Jih/N]2)jj罟右N1。(得:W(2nh] N—1sinh(J(M)2-[(N-1)Jih/N]2)jj罟右N1。(二).(二)-[(n-1)二h/N]2式3-22如h"工」'「0.5，此時-0.5乞1，且N很大，N-1可近似為則式3-22的表達式轉(zhuǎn)換為:N-1sinh(r2-(-、0.5)2)怙(二)二「2-(一、 0.5)2式3-23如h--「0.5，此時--0.5叮，同上可將3-22的表達式轉(zhuǎn)換為:w(2l^052)NN-1sinh(r2 -0.5)2)1。(二)二i2-、-0.5)2式3-24將式3-23和式3-24代入式3-20，并且由于［和??都是常數(shù)，則可得到J二f（「J，其中f（「?）是關(guān)于的多項式。微型計算機不能處理連續(xù)的模擬信號，只能處理離散的數(shù)字信號，這就決定了在實際應(yīng)用中「?并不是一個連續(xù)的值，它所對應(yīng)的函數(shù)值f「）也一樣不是一個連續(xù)的值。本論文作者將步長參數(shù)在程序中設(shè)置為“step”并將其定義為0.001，即在■■:的取值范圍［-0.5Q.5］均勻取1001個離散點對應(yīng)1001個離散的」值，然后推求一個解析函數(shù)f'（"）*（」）使其通過或近似通過有限序列的資料點），通過多項式函數(shù)逼近的方法求得此擬合函數(shù)，即所謂的曲線擬合（curvefitting）。由于曲線擬合（curvefitting）要選擇適當(dāng)?shù)那€類型來擬合觀測數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系，所以必須要確定下自變量的階數(shù)，根據(jù)實際應(yīng)用需要和減少計算量的綜合考慮，本論文作者選擇5階取得了較好的效果。MATLAB中polyfit函數(shù)很方便實現(xiàn)上述功能，具體程序為“P=polyfit(mu,delta,5)”其中mu表示丄,delta表示：，數(shù)字5代表多項式最高階為5階，P為曲線擬合后每階常系數(shù)值。h1和h2兩根譜線加權(quán)平均得到第i項間諧波/諧波的幅值修正公式：A2W嚴穿'A2W嚴穿'+A⑷嚴1"）]N■|W［"（h2—hi）】+W［2沢（h1—hi）］NW嚴3+0.5）］+27r（」_0.5）］NN2(丫1丫2)式3-25式中A、A分別是譜線h2、hi的幅值，當(dāng)N取值很大時，公式還可轉(zhuǎn)換為:式3-26式3-25與式3-26相等，整理可得:v(、Jv(、J二W【2心十°5)]|十W［2JI（4°.5）］NN2N式3-27同上利用MATLAB平臺中曲線擬合polyfit函數(shù)進行多項