微分幾何第二章

微分幾何第二章第一頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二章內(nèi)容概要本章我們討論平面曲線(xiàn)和空間曲線(xiàn)的微分幾何性質(zhì)．內(nèi)容包括曲線(xiàn)的伏雷內(nèi)標(biāo)架、曲率、相對(duì)曲率、撓率、伏雷內(nèi)公式、近似結(jié)構(gòu)、基本定理等．重點(diǎn)：伏雷內(nèi)標(biāo)架、曲率、相對(duì)曲率、撓率的計(jì)算、伏雷內(nèi)公式的應(yīng)用．如無(wú)特別說(shuō)明，我們都是在曲線(xiàn)的正則點(diǎn)附近進(jìn)行討論．返回章首第二頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1平面曲線(xiàn)內(nèi)容：曲率、相對(duì)曲率、伏雷內(nèi)標(biāo)架、伏雷內(nèi)公式等重點(diǎn)：曲率與相對(duì)曲率的計(jì)算返回章首第三頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-伏雷內(nèi)標(biāo)架設(shè)平面曲線(xiàn)C:r=r(s)以弧長(zhǎng)為參數(shù)，則其切向量

a

(s)=r?(s)是一個(gè)單位向量，即

a

(s)?a

(s)=1．兩邊求導(dǎo)數(shù)得a

(s)?a?(s)=0，所以

a

(s)垂直于

a?(s)，這說(shuō)明a?(s)是曲線(xiàn)的法向量．令

b

=a?/|a?|，則對(duì)于每一個(gè)

s，[r(s);a

(s),b(s)]構(gòu)成平面曲線(xiàn)C

上的一個(gè)幺正標(biāo)架，我們稱(chēng)之為曲線(xiàn)C

上的伏雷內(nèi)標(biāo)架．返回章首第四頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六由導(dǎo)數(shù)的定義我們可知b

總是指向曲線(xiàn)彎曲的那一側(cè)．Ca(s)a(s+Ds)a(s+Ds)2.1

平面曲線(xiàn)-b的指向返回章首第五頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-伏雷內(nèi)公式由

b

的定義有a

?(s)=|a?(s)|b

(s)．令

k(s)=|a?(s)|，則有a?(s)=k(s)b

(s).我們把

k

(s)叫曲線(xiàn)C

在

r(s)處的曲率．定理.（伏雷內(nèi)公式）我們有

a?=kb

,

b?=–ka

.以上伏雷內(nèi)公式叫平面曲線(xiàn)的基本公式．返回章首第六頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-曲率計(jì)算公式平面曲線(xiàn)為直線(xiàn)的充分必要條件是其曲率為零．如果曲線(xiàn)方程為y=y(x)，取

x

為參數(shù)，則曲線(xiàn)的參數(shù)表示為

r

=(x,y(x))，其曲率為定理.設(shè)曲線(xiàn)C:r(t)=(x(t),y(t))，則其曲率為返回章首第七頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-例子例.

求橢圓(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．解：橢圓可參數(shù)化為r(t)=(acost,bsint)，參數(shù)方程為x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得返回章首第八頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六練習(xí)題1．求曲線(xiàn)y=sinx的曲率．2．求曲線(xiàn)x=acos3t,y=asin3t的曲率．返回章首第九頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-標(biāo)準(zhǔn)伏雷內(nèi)標(biāo)架前面我們定義了平面曲線(xiàn)上的伏雷內(nèi)標(biāo)架[r(s);a

(s),b(s)]．但伏雷內(nèi)標(biāo)架不一定是平面正標(biāo)架（即它們關(guān)于平面上的標(biāo)準(zhǔn)基的分量的行列式不一定為正數(shù)）．但我們總可以在曲線(xiàn)上選取一單位法向量n(s)，使

[r(s);a(s),n(s)]構(gòu)成正標(biāo)架，這個(gè)標(biāo)架叫平面曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)伏雷內(nèi)標(biāo)架．a(chǎn)

b

a

n

返回章首第十頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-相對(duì)曲率與伏雷內(nèi)公式因

a?//n，所以可令

a

?(s)=kr(s)n(s)．我們稱(chēng)kr為曲線(xiàn)的相對(duì)曲率．注意：相對(duì)曲率可正可負(fù)．定理.我們有下述形式的伏雷內(nèi)公式：a

?=krn

,n?=–kra

.返回章首第十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-相對(duì)曲率計(jì)算公式如果曲線(xiàn)由y=y(x)給出，則相對(duì)曲率為kr=

x?y??–

y?x??；特別地，當(dāng)用自然參數(shù)時(shí)，相對(duì)曲率為定理.在一般參數(shù)下，相對(duì)曲率為返回章首第十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．求曲線(xiàn)x=t2,y=t3的相對(duì)曲率．2．求曲線(xiàn)y=2px2的相對(duì)曲率．練習(xí)題返回章首第十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.1

平面曲線(xiàn)-在一點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)設(shè)曲線(xiàn)C:r

=r(s)．則當(dāng)

k(s)不為

0時(shí)，曲線(xiàn)近似于拋物線(xiàn)．當(dāng)

k(s)=0，但

k?(s)不為

0時(shí)，曲線(xiàn)近似于一條近似立方拋物線(xiàn)．（看證明）返回章首第十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2空間曲線(xiàn)內(nèi)容：三個(gè)基本向量、伏雷內(nèi)標(biāo)架、伏雷內(nèi)公式、曲率、撓率、密切平面、從切平面、一般螺旋線(xiàn)等重點(diǎn)：曲率與撓率的計(jì)算、密切平面與從切平面方程、伏雷內(nèi)公式的應(yīng)用返回章首第十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-密切平面過(guò)曲線(xiàn)C

上一點(diǎn)P

處的切線(xiàn)和曲線(xiàn)上位于

P

點(diǎn)附近的另一點(diǎn)Q

作一平面s(Q)．當(dāng)

Q沿曲線(xiàn)趨向于P時(shí)

s(Q)的極限位置s

稱(chēng)為曲線(xiàn)C

在

P

點(diǎn)的密切平面．過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)切平面（通過(guò)切線(xiàn)的平面），而密切平面則是在P

點(diǎn)附近最貼近于曲線(xiàn)的平面．平面曲線(xiàn)的密切平面顯然就是該曲線(xiàn)所在的平面，而直線(xiàn)的密切平面不確定，或者說(shuō)直線(xiàn)有無(wú)窮多個(gè)密切平面．返回章首第十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-密切平面方程用坐標(biāo)把密切平面方程表示為：(R

–

r(t0),r'(t0),r''(t0))=0.設(shè)曲線(xiàn)C:r

=(x(t),y(t),z(t))是光滑的，P是曲線(xiàn)上一點(diǎn)，其參數(shù)是t0．設(shè)

R

=(X,Y,Z)是

P

點(diǎn)的密切平面上任意一點(diǎn)，則密切平面方程為：返回章首第十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例.求螺旋線(xiàn)r=(cost,sint,t)在點(diǎn)

P(1,0,0)處的密切平面方程．解：直接計(jì)算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).

在給定點(diǎn)P

處的參數(shù)t=0，所以有

r(0)=(1,0,0)，r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入密切平面方程并整理得–Y+Z=0．2.2

空間曲線(xiàn)-例子返回章首第十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-基本向量與伏雷內(nèi)標(biāo)架設(shè)有空間曲線(xiàn)C:r=r(s)，s是弧長(zhǎng)參數(shù)單位切向量

a=r?單位主法向量b

=a?/|a?|（設(shè)

r??不為零）單位副法向量g=a×b

曲線(xiàn)

C

的伏雷內(nèi)標(biāo)架[r;a

,b

,g

]CabgrO返回章首伏雷內(nèi)標(biāo)架第十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六法密切從切CPbag主法向量和副法向量決定的平面是法平面切向量和副法向量決定的平面叫從切平面切向量和主法向量決定的平面就是密切平面2.2

空間曲線(xiàn)-三棱錐返回章首第二十頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-基本向量的計(jì)算公式設(shè)

C:

r

=

r(t)

由一般參數(shù)給出，則三個(gè)基本向量的計(jì)算公式為

a

=

r'

/

|

r'

|

,

g

=

(r'

×

r'')

/

|

r'

×

r''

|

,

b

=

g

×a

.返回章首第二十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-例子例.求螺旋線(xiàn)r

=

(cost,

sint,

t)

在點(diǎn)

P(1,0,0)

處的三個(gè)基本向量．解：直接計(jì)算得r'

(t)

=

(–sint,

cost,

1),r''

(t)

=

(–cost,

–sint,

0).在給定點(diǎn)P

處的參數(shù)t

=

0，所以有

r'

(0)

=

(0,1,1)，r''

(0)

=

(–1,0,0)．代入上面的基本向量計(jì)算公式得

返回章首第二十二頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六練習(xí)題1．求曲線(xiàn)x

=

acost,

y

=

bsint,

z

=

et

在t

=

0點(diǎn)的切線(xiàn)、主法線(xiàn)、副法線(xiàn)、密切平面、從切平面與法平面方程．2．證明曲線(xiàn)的密切平面與曲線(xiàn)的參數(shù)選取無(wú)關(guān)．返回章首第二十三頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-曲率與撓率設(shè)

C:

r

=

r(s)

是空間曲線(xiàn)，稱(chēng)k

(s)

=

|a

?

(s)|為曲線(xiàn)C

在點(diǎn)

r(s)

處的曲率，而

a

?

叫曲率向量．空間曲線(xiàn)除了彎曲外，還有扭轉(zhuǎn)．為了刻畫(huà)扭轉(zhuǎn)的程度，我們引進(jìn)撓率的概念．我們把

t

叫曲線(xiàn)的撓率，這里返回章首第二十四頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-伏雷內(nèi)公式定理.（伏雷內(nèi)公式）

a

?

=

kb,

b

?

=

–ka

+

tg,

g?

=

–tb.返回章首第二十五頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-曲率與撓率計(jì)算公式撓率：曲率：用一般參數(shù)表示的曲率與撓率計(jì)算公式返回章首第二十六頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-曲率與撓率為零的曲線(xiàn)曲線(xiàn)的曲率為零的充要條件是該曲線(xiàn)是直線(xiàn)．曲線(xiàn)的撓率為零的充要條件是該曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)．返回章首第二十七頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-曲率和撓率計(jì)算舉例

解：直接計(jì)算得：

r

=

(–asinq,

acosq,

b),

r''

=

(–acosq,

–asinq,

0),

r'''=

(asinq,

–acosq,

0),|r'|

=

(a2

+

b2),

r'×r''

=

(absinq,

–abcosq,

a2),|r'×r''

|

=

(a2b2

+

a4)1/2,

(r',

r'',

r'''

)

=

a2b,

所以有k

=

a/(a2

+

b2),

t

=

b/(a2

+

b2).例：求圓柱螺旋線(xiàn)r

=

(acosq,

asinq,

bq)

的曲率和撓率．返回章首第二十八頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六練習(xí)題1．求曲線(xiàn)r(t)

=

(acosht,

asinht,

at)的曲率和撓率，這里a

>

0．2．求曲線(xiàn)r(t)

=

(a(3t

–

t3),

3at2,

a(3t

+

t3))的曲率和撓率，這里a

>

0．3．求a、b，使曲線(xiàn)r(t)

=

(acosht,

asinht,

bt)上每一點(diǎn)的曲率和撓率相等．返回章首第二十九頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-一般螺旋線(xiàn)定理.設(shè)有曲線(xiàn)C:r=r(s)，（假定kt≠0）則下列條件等價(jià)：

C

是一般螺線(xiàn)；

C

的主法向量與固定方向垂直；

C

的副法向量與固定方向成定角；

C

的曲率與撓率之比是常數(shù)．如果曲線(xiàn)的切向量與固定方向成定角，則稱(chēng)該曲線(xiàn)為一般螺線(xiàn)．看證明返回章首第三十頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六證：由伏雷內(nèi)公式得

r

??

=

a

?

=

kb，

r

???

=

(kb

)

?

=

–k

2

a

+

k

?

b

+

k

t

g

,

r

????

=

–3k

k

?

a

+

(

k

??

–

k

3

–

k

t

2

)b

+

((k

t

)

?

+

t

k

?

)g

.所以，(r

??

,

r

???

,

r

????

)

=

k

5

(t

/

k

)

?,由此即得結(jié)論．例.曲線(xiàn)

r

=

r(s)

是一般螺線(xiàn)的充分必要條件是(

r

??,

r

???,

r

????

)

=

0．2.2

空間曲線(xiàn)-例子返回章首第三十一頁(yè)，共三十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.2

空間曲線(xiàn)-曲線(xiàn)在一點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)空間曲線(xiàn)在一點(diǎn)附近的形狀（設(shè)kt

≠

0

）：在法平面上的投影