河南省鄭州市新密市2023年數(shù)學(xué)八下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列計(jì)算：，其中結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，證明矩形的對(duì)角線相等，已知：四邊形是矩形．求證：．以下是排亂了的證明過程：①∴、．②∵③∵四邊形是矩形④∴⑤∴．證明步驟正確的順序是（）A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．③⑤②①④ D．②⑤①③④3．若分式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．下列各式正確的是（）A．ba=b2a25．如圖，按下面的程序進(jìn)行運(yùn)算．規(guī)定：程序運(yùn)行到“判斷結(jié)果是否大于35”為一次運(yùn)算．若運(yùn)算進(jìn)行了3次才停止，則x的取值范圍是()A．7＜x≤11 B．7≤x＜11C．7＜x＜11 D．7≤x≤116．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限7．下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．8．在某中學(xué)理科競(jìng)賽中，張敏同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)得分(單位：分)分別為84，88，92，若依次按照4：3：3的比例確定理科成績(jī)，則張敏的成績(jī)是()A．84分 B．87.6分 C．88分 D．88.5分9．下列函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，且y隨x的增大而減小的是()A． B． C． D．10．如圖，空地上（空地足夠大）有一段長(zhǎng)為的舊墻，小敏利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園，已知木欄總長(zhǎng)，矩形菜園的面積為.若設(shè)，則可列方程（）A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．化簡(jiǎn)得．12．如圖，直線y＝﹣x+4分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線AB上，D是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)O，A，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____．13．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；若AD=8cm，則OE的長(zhǎng)為_______．14．在□ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，那么____．15．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)C,A分別在x軸，y軸上，BC是菱形BDCE的對(duì)角線.若BC6,BD5,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是_____.16．一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)，容器內(nèi)的水量單位：)與時(shí)間(單位)之間的關(guān)系如圖所示：則時(shí)容器內(nèi)的水量為__________．17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，-1），點(diǎn)B（-2，1），平移線段AB，使點(diǎn)A落在A1（0，1），點(diǎn)B落在點(diǎn)B1，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為_______．18．正方形的一邊和一條對(duì)角線所成的角是________度．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，△ACP∽△PDB，（1）請(qǐng)你說明CD2=AC?BD；（2）求∠APB的度數(shù)．20．（6分）已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1．（1）求的值，并畫出這個(gè)反比例函數(shù)的圖像；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．21．（6分）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到(a＋1b)(a＋b)＝a1＋3ab＋1b1．請(qǐng)回答下列問題：（1）寫出圖1中所表示的數(shù)學(xué)等式：_____________．（1）利用(1)中所得的結(jié)論，解決下列問題：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a1＋b1＋c1的值；（3）圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片及若干個(gè)長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形紙片．①請(qǐng)按要求利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，并畫在所給的方框內(nèi)，要求所拼的幾何圖形的面積為1a1＋5ab＋1b1；②再利用另一種計(jì)算面積的方法，可將多項(xiàng)式1a1＋5ab＋1b1分解因式，即1a1＋5ab＋1b1＝________．22．（8分）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，正方形A1B1C1O的邊OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F．（1）求證：（BE+BF）2=2OB2；（2）如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，那么正方形A1B1C1O繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，與正方形ABCD重疊部分的面積始終等于（用含a的代數(shù)式表示）23．（8分）中，AD是的平分線，，垂足為E，作，交直線AE于點(diǎn)設(shè)，．若，，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出的度數(shù)；如圖2，若是鈍角，求的度數(shù)用含，的式子表示；如圖3，若，直接寫出的度數(shù)用含，的式子表示．24．（8分）如圖，中，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，平分，連結(jié)，．（1）求證：；（2）求證：．（3）若，判定四邊形是否為菱形，并說明理由．25．（10分）分解因式：（1）2xy-x2-y2；（2）2ax3-8ax．26．（10分）某學(xué)校計(jì)劃組織全校1441名師生到相關(guān)部門規(guī)劃的林區(qū)植樹，經(jīng)過研究，決定租用當(dāng)?shù)刈廛嚬疽还?2輛A，B兩種型號(hào)客車作為交通工具．下表是租車公司提供給學(xué)校有關(guān)兩種型號(hào)客車的載客量和租金信息：型號(hào)載客量租金單價(jià)A30人/輛380元/輛B20人/輛280元/輛注：載客量指的是每輛客車最多可載該校師生的人數(shù)設(shè)學(xué)校租用A型號(hào)客車x輛，租車總費(fèi)用為y元．（Ⅰ）求y與x的函數(shù)解析式，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍；（Ⅱ）若要使租車總費(fèi)用不超過21940元，一共有幾種租車方案？哪種租車方案總費(fèi)用最省？最省的總費(fèi)用是多少？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】

根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可進(jìn)行判斷.【詳解】,正確；正確；正確；，正確，故選D.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的性質(zhì)：;.2、A【解析】

根據(jù)SAS定理證明三角形全等，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊相等.【詳解】解：∵四邊形是矩形∴、∵∴∴所以正確順序?yàn)棰邰佗冖茛芄蚀鸢笧锳【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，理清證明過程是排序的關(guān)鍵.3、B【解析】

分式有意義，則，求出x的取值范圍即可.【詳解】∵分式有意義，∴，解得：，故選B.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)分式有意義的考查，熟練掌握分式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵.4、D【解析】

對(duì)于選項(xiàng)A，給ba的分子、分母同時(shí)乘以a可得ab對(duì)于選項(xiàng)B、C，只需取一對(duì)特殊值代入等式兩邊，再判斷兩邊的值是否相等即可；對(duì)于選項(xiàng)D，先對(duì)xy+y2【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，只有當(dāng)a=b時(shí)ba=b對(duì)于B選項(xiàng)，可用特殊值法，令a=2、b=3，則a2+b同樣的方法，可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，xy+y2x2-y故選D【點(diǎn)睛】本題可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)和因式分解的知識(shí)進(jìn)行求解。5、A【解析】

根據(jù)運(yùn)算程序，前兩次運(yùn)算結(jié)果小于等于35，第三次運(yùn)算結(jié)果大于35列出不等式組，然后求解即可．【詳解】依題意，得：，解得7＜x≤1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解運(yùn)輸程序并列出不等式組是解題的關(guān)鍵．6、D【解析】

由k、b的正負(fù)，利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出函數(shù)y=-2x-3的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，此題得解．【詳解】∵k=-2＜0，b=-3＜0，∴函數(shù)y=-2x-3的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“k＜0，b＜0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限”是解題的關(guān)鍵．7、D【解析】

先將各選項(xiàng)化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類二次根式的定義解答．【詳解】解：A、與被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、＝3是整數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、＝與的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、與被開方數(shù)相同，是同類二次根式，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．8、B【解析】

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.故選B.【詳解】解：（分）.【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù).理解“權(quán)”的含義是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】

分別分析各個(gè)一次函數(shù)圖象的位置.【詳解】A.，圖象經(jīng)過第二、四象限，且y隨x的增大而減小;B.,圖象經(jīng)過第一、二、三象限；C.，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；D.，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；所以，只有選項(xiàng)A符合要求.故選A【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)的性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記一次函數(shù)的性質(zhì).10、B【解析】

設(shè)，則，根據(jù)矩形面積公式列出方程．【詳解】解：設(shè)，則，由題意，得．故選：．【點(diǎn)睛】考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、.【解析】試題分析：原式=.考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn).12、（2，﹣2）或（6，2）【解析】分析：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，﹣x+4）．分兩種情況，分別以C在x軸的上方、C在x軸的下方做菱形，畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．詳解：∵一次函數(shù)解析式為線y=﹣x+4，∴B（0，4），A（4，0），如圖一．∵四邊形OADC是菱形，設(shè)C（x，﹣x+4），∴OC=OA==4，整理得：x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴C（2，2），∴D（6，2）；如圖二．∵四邊形OADC是菱形，設(shè)C（x，﹣x+4），∴AC=OA==4，整理得：x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，∴C（6，﹣2），∴D（2，﹣2）；故答案為（2，﹣2）或（6，2）．點(diǎn)睛：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)C、D的位置．本題屬于中檔題，難度不大，在考慮菱形時(shí)需要分類討論．13、4cm【解析】

先說明OE是△ACD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解．【詳解】∵?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OA=OC，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE=DE，∴OE是△ACD的中位線，∵AD=8cm，∴OE=AD=×8=4cm，故答案為：4cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

由向量的平行四邊形法則及相等向量的概念可得答案．【詳解】解：因?yàn)椋骸魽BCD，所以，，所以：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的平行四邊形法則，掌握向量的平行四邊形法則是解題的關(guān)鍵．15、10,3.【解析】

過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)四邊形BDCE是菱形可知BD=CD，可得出△BCD是等腰三角形，即可得到CG=12BC，再根據(jù)勾股定理求出【詳解】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵四邊形BDCE是菱形，∴BD=CD，∴△BCD是等腰三角形，∴點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴CG=1∴GD=C∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=6，6+4=10，∴D10,3故答案為：10,3.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用菱形的性質(zhì)判斷出△BCD是等腰三角形是解題的關(guān)鍵.16、1【解析】

利用待定系數(shù)法求后8分鐘的解析式，再求函數(shù)值．【詳解】解：根據(jù)題意知：后8分鐘水量y（單位：L）與時(shí)間x（單位：min）之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y=kx+b

當(dāng)x=4，y=20

當(dāng)x=12，y=30

∴∴

∴后8分鐘水量y（單位：L）與時(shí)間x（單位：min）之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)關(guān)系y=1.1x+15

當(dāng)x=8時(shí)，y=1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，并根據(jù)自變量取值，再求函數(shù)值．求出解析式是解題關(guān)鍵．17、（1，3）【解析】

先確定點(diǎn)A到點(diǎn)A1的平移方式，然后根據(jù)平移方式即可確定點(diǎn)B平移后的點(diǎn)B1的坐標(biāo).【詳解】∵點(diǎn)A(-3,-1)落在A1(0,1)是點(diǎn)A向右移動(dòng)3個(gè)單位，向上移動(dòng)2個(gè)單位.∴點(diǎn)B(-2,1)向右移動(dòng)3個(gè)單位，向上移動(dòng)2個(gè)單位后的點(diǎn)坐標(biāo)B1為(1,3).故答案為：(1,3).【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化——平移.能理解A與A1，B與B1分別是平移前后圖形上的兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它們的平移方式相同是解決此題的關(guān)鍵.18、45【解析】

正方形的對(duì)角線和其中的兩邊長(zhǎng)構(gòu)成等腰直角三角形，故正方形的一條對(duì)角線和一邊所成的角為45度．【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線和正方形的其中兩條邊構(gòu)成等腰直角三角形

∴正方形的一條對(duì)角線和一邊所成的角是45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形對(duì)角線相等平分垂直的性質(zhì)．三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）∠APB=120°．【解析】

（1）由△ACP∽△PDB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AC：PD=PC：BD，又由△PCD是等邊三角形，即可證得CD2=AC?BD；

（2）由△ACP∽△PDB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得∠A=∠BPD，又由△PCD是等邊三角形，即可求得∠APB的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴PD?PC=AC?BD，∵△PCD是等邊三角形，∴PC=CD=PD，∴CD2=AC?BD；（2）解：∵△ACP∽△PDB，∴∠A=∠BPD，∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD=∠CPD=60°，∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，∴∠APC+∠BPD=60°，∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、（1），圖像見解析，（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，先將代入一次函數(shù)，求得，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再將交點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求得，根據(jù)描點(diǎn)法即可畫出圖像；（2）將，代入反比例函數(shù)解析式，即可求得值，當(dāng)時(shí)，觀察圖像即可求得的取值范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，將代入，解得，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），再代入反比例函數(shù)中，解得，∴反比例函數(shù)解析式為，列出幾組、的對(duì)應(yīng)值：描點(diǎn)連線，即可畫出函數(shù)圖像，如圖：（2）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，難度不大，是中考的常考知識(shí)點(diǎn)，理解交點(diǎn)的含義并正確畫出函數(shù)圖形是順利解題的關(guān)鍵．21、（1）（a+b+c）1=a1+b1+c1+1ab+1ac+1bc；（1）a1+b1+c1=45；（3）①畫圖見解析；②1a1+5ab+1b1=（1a+b）（a+1b）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．（1）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．（3）①找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使它滿足所給的條件；②根據(jù)所給的規(guī)律分解因式即可．試題解析：（1）（a+b+c）1=a1+b1+c1+1ab+1ac+1bc；故答案為（a+b+c）1=a1+b1+c1+1ab+1ac+1bc；（1）a1+b1+c1=（a+b+c）1﹣1ab﹣1ac﹣1bc，=111﹣1×38=45；（3）①如圖所示，②如上圖所示的矩形面積=（1a+b）（a+1b），它是由1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、5個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形、1個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形組成，所以面積為1a1+5ab+1b1，則1a1+5ab+1b1=（1a+b）（a+1b），故答案為1a1+5ab+1b1=（1a+b）（a+1b）．點(diǎn)睛：本題考查了完全平方公式的幾何背景和因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成幾何圖形，用到的知識(shí)點(diǎn)是長(zhǎng)方形和正方形的面積公式，要認(rèn)真總結(jié)規(guī)律，進(jìn)行答題．22、（1）證明見解析；（1）．【解析】

（1）由題意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因?yàn)椤螦OE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根據(jù)ASA可證△AOE≌△BOF，可得AE=BF，可得BE+BF=AB，由勾股定理可得結(jié)論；（1）由全等三角形的性質(zhì)可得S△AOE=S△BOF，可得重疊部分的面積為正方形面積的，即可求解．【詳解】解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF．在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE=BF，∴BE+EF=BE+AE=AB在Rt△AOB中，AB1=OA1+OB1，且OA=OB，∴（BE+BF）1=1OB1，（1）∵△AOE≌△BOF，∴S△AOE=S△BOF，∴重疊部分的面積=S△AOB=S正方形ABCD=a1．故答案為：a1．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.23、（1）補(bǔ)圖見解析，；（2）；（3）．【解析】

(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC和∠CAE，根據(jù)角平分線定義求出∠CAD，即可求出答案；(2)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠BAD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ADC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可；(3)求出∠DAE度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：如圖1，，，，是的平分線，，，，，，，，；如圖2，中，，．，是的平分線，，，，，，，，；如圖3，中，，，，是的平分線，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線定義、三角形的高、平行線的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.24、（1）見解析；（2）證明見解析；（3）四邊形AEGF是菱形，證明見解析．【解析】

（1）依據(jù)條件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依據(jù)F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AE，即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進(jìn)而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小題也可以通過證明四邊形ECGH為矩形得出結(jié)論）

（2）過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依據(jù)EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依據(jù)∠B=30°，可得∠ADE=30°，進(jìn)而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根據(jù)四邊形AEGF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形．【詳解】解：（1）∵AF=FG，

∴∠FAG=∠FGA，

∵AG平分∠CAB，

∴∠CAG=∠FAG，

∴∠CAG=∠FGA，

∴AC∥FG，

∵DE⊥AC，

∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，

∴DE∥BC，

∴AC⊥BC，

∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，

∵F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AE，

∴H是ED的中點(diǎn)，

∴FG是線段ED的垂直平分線，

∴GE=GD，∠GDE=∠GED，

∴∠CGE=∠GDE，

∴△ECG≌△GHD；

（2）證明：過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，

∴△CAG≌△PAG，

∴AC=AP，

由（1）可得EG=DG，