深圳大學 高等數(shù)學A教學大綱

深圳大學數(shù)學與計算科學學院課程教學綱領(lǐng)（10月重印版）課程編號課程名稱高等數(shù)學A(周6課時)課程類別專業(yè)必修教材名稱高等數(shù)學制訂人趙冰審核人阮曉青4月修訂

一、課程設(shè)計指導思想（一）課程性質(zhì)1．課程類別：專業(yè)必修課2．適應專業(yè)：理工科各專業(yè)學生3．開設(shè)學期：第一、二學期4．課時安排：周課時6，總課時1925．學分分配：12學分（二）開設(shè)目標高等數(shù)學課程是高等理工科學校各專業(yè)學生一門必修主要基礎(chǔ)理論課，經(jīng)過本課程學習，要求學生取得：一元和多元函數(shù)微積分學、向量代數(shù)和空間解析幾何、無窮級數(shù)（包含傅立葉級數(shù)）以及常微分方程等方面基本概念、基本理論和基本運算技能。經(jīng)過各個教學步驟逐步培養(yǎng)學生具備抽象概括問題能力，邏輯推理能力，空間想象能力和自學能力，培養(yǎng)學生具備比較熟練運算能力和綜合利用所學知識去分析問題和處理問題能力，為學習后繼課程和深入取得數(shù)學知識以及處理實際問題奠定必要數(shù)學基礎(chǔ)。（三）基本要求掌握微積分學、向量代數(shù)和空間解析幾何、無窮級數(shù)（包含傅立葉級數(shù)）以及常微分方程基本概念與基本方法，了解其中所包括基本數(shù)學思想和方法，初步培養(yǎng)利用數(shù)學處理實際問題基本意識和能力。（四）主要內(nèi)容包含一元和多元函數(shù)微積分學、向量代數(shù)和空間解析幾何、無窮級數(shù)（包含傅立葉級數(shù)）以及常微分方程理論和方法。參考關(guān)于全國碩士入學考試綱領(lǐng)內(nèi)容。（五）先修課程無（六）后繼課程線性代數(shù)、概率統(tǒng)計以及工程數(shù)學等。（七）考評方式閉卷考試（八）使用教材同濟大學應用數(shù)學系編：《高等數(shù)學》，北京：高等教育出版社，第五版.（九）參考書目同濟大學應用數(shù)學系編《高等數(shù)學學習輔導與習題選講》，北京：高等教育出版社，第一版.季文鋒編《工學碩士入學考試數(shù)學復習指南》，北京：北京理工大學出版社。陳文燈編《考研數(shù)學復習指南》北京：北京理工大學出版社。二、教學內(nèi)容第一章函數(shù)、極限、連續(xù)教學目標引入函數(shù)、極限、連續(xù)概念和基本運算，為微積分展開打下基礎(chǔ)。主要內(nèi)容函數(shù)數(shù)列極限函數(shù)極限無窮小與無窮大極限運算法則極限存在準則兩個主要極限無窮小比較函數(shù)連續(xù)性與間斷點連續(xù)函數(shù)運算與初等函數(shù)連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)教學要求了解：分段函數(shù)概念；了解函數(shù)有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性以及他們各自反應在函數(shù)圖形上特點；了解反函數(shù)與隱函數(shù)概念；了解極限定義﹑函數(shù)極限﹑定義；了解函數(shù)極限唯一性，有界性，保號性；了解極限存在準則；了解無窮小，無窮大、高階無窮小和等價無窮小概念；了解函數(shù)左連續(xù)與右連續(xù)概念；了解初等函數(shù)連續(xù)性；了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。了解：了解函數(shù)、區(qū)間及鄰域等概念；了解復合函數(shù)及初等函數(shù)概念；了解極限概念；了解函數(shù)左、右極限及其與函數(shù)極限關(guān)系；了解無窮小和無窮大概念，了解函數(shù)在一點連續(xù)概念以及了解函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)概念掌握：基本初等函數(shù)性質(zhì)及其圖形；極限四則運算法則；用等價無窮小性質(zhì)求極限；掌握無窮小比較方法。會用：列出簡單實際問題中函數(shù)關(guān)系；會用兩個主要極限求極限；會用等價無窮小求極限；會用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。第二章導數(shù)與微分教學目標引入導數(shù)與微分概念和基本運算,揭示函數(shù)改變率,討論各類函數(shù)微分方法。主要內(nèi)容第一節(jié)導數(shù)概念函數(shù)求導法則高階導數(shù)隱函數(shù)導數(shù)由參數(shù)方程所確定函數(shù)導數(shù)相關(guān)改變率函數(shù)微分教學要求了解：了解函數(shù)可導性與連續(xù)性關(guān)系，能用導數(shù)描述科學技術(shù)中一些量改變率；了解高階導數(shù)概念。了解：了解導數(shù)概念及幾何意義；了解微分概念，了解導數(shù)和微分關(guān)系，了解微分幾何意義以及函數(shù)連續(xù)與可導性之間關(guān)系。掌握：掌握初等函數(shù)地一階、二階導數(shù)求法和一階微分形式不變性。會用：會求微分，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定函數(shù)以及反函數(shù)一階導數(shù)以及二階導數(shù)。會求分段函數(shù)一階、二階導數(shù)。中值定理及導數(shù)應用教學目標經(jīng)過了解中值定理，深入搞清與導數(shù)關(guān)于概念，從而引出導數(shù)應用。主要內(nèi)容中值定理洛比塔法則泰勒公式函數(shù)單調(diào)性與曲線凹凸性函數(shù)極值與最大最小值函數(shù)圖形描繪曲率教學要求了解：了解柯西定理，了解曲率和曲率半徑概念。了解：了解羅爾定理和拉格朗日定理和泰勒定理；了解函數(shù)極值概念。掌握：掌握用羅必塔法則求不定式極限；用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值方法；掌握函數(shù)圖形凹凸性及其判定法，掌握函數(shù)最大值、最小值求法和應用問題。會用：會求函數(shù)拐點和水平、鉛直及斜漸近線，會描繪一些函數(shù)圖形，會計算曲率和曲率半徑不定積分教學目標引入原函數(shù)和不定積分概念和基本運算,這是積分學基本問題之一。揭示微分與積分之間關(guān)系。主要內(nèi)容第一節(jié)不定積分概念與性質(zhì)第二節(jié)換元積分法第三節(jié)分部積分法第四節(jié)幾個特殊類型函數(shù)積分第五節(jié)積分表使用教學要求了解：了解簡單有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)積分法。了解：了解原函數(shù)和不定積分概念。掌握：掌握不定積分基本公式和不定積分換元法和分部積分法。定積分教學目標經(jīng)過微積分基本公式將不定積分與定積分聯(lián)絡(luò)起來，給出了定積分計算方法。主要內(nèi)容第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分換元法和分部積分法第四節(jié)反常積分教學要求了解：了解定積分性質(zhì)、定積分中值定理；了解兩種廣義積分概念，并會用定義求較簡單廣義積分。了解：了解定積分概念和幾何意義；了解變上限定積分作為其上限函數(shù)及其求導定理。掌握：掌握牛頓―萊布尼茲公式；掌握定積分換元法和分部積分法。第六章定積分應用教學目標經(jīng)過對幾何和物理方面實際問題處理，揭示元素法基本思想。主要內(nèi)容第一節(jié)定積分元素法第二節(jié)定積分在幾何上應用第三節(jié)定積分在物理上應用教學要求了解：了解元素法思想掌握：掌握用定積分來求一些幾何量和物理量方法，會建立一些簡單幾何量與物理量積分表示式（如面積，體積，弧長、功、水壓力等）。第七章向量代數(shù)與空間解析幾何教學目標介紹了向量基本運算與空間解析幾何基本概念，為學習多元函數(shù)微積分學作準備。主要內(nèi)容第一節(jié)空間直角坐標系第二節(jié)向量及其加減法向量與數(shù)乘法第三節(jié)向量坐標第四節(jié)數(shù)量積向量積*混合積第五節(jié)曲面及其方程第六節(jié)空間曲線及其方程第七節(jié)平面及其方程第八節(jié)空間直線及其方程第九節(jié)二次曲面教學要求了解：空間直角坐標系、向量概念，會求兩點間距離。了解：了解平面與平面、直線與直線、平面與直線夾角，平行，垂直條件，會求點到平面距離；了解曲面方程概念。了解以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)曲面方程（包含圓錐面）及母線平行與坐標軸柱面方程，并能畫出這些方程圖形；了解空間曲線通常方程和參數(shù)方程。了解并會求空間曲線在坐標面上投影。了解慣用二次曲面方程及其圖形。掌握：掌握向量和、差、數(shù)與向量乘積，數(shù)量積和向量積概念與運算。掌握向量坐標表示以及向量模，方向余弦及單位向量坐標表示式；掌握平面方程（點法式、通常式）和直線方程（通常式、對稱式）及其求法。第八章多元函數(shù)微分法及其應用教學目標引入多元函數(shù)概念，討論多元函數(shù)微分學基本概念以及方法。主要內(nèi)容第一節(jié)多元函數(shù)基本概念第二節(jié)偏導數(shù)第三節(jié)全微分及其應用第四節(jié)多元復合函數(shù)求導法則第五節(jié)隱函數(shù)求導公式第六節(jié)微分法在幾何上應用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)極值及其求法*第九節(jié)二元函數(shù)泰勒公式教學要求了解：了解二元函數(shù)極限與連續(xù)概念；了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（最大、最小值定理及介值定理敘述），了解多元初等函數(shù)連續(xù)性；了解全微分存在必要條件和充分條件，了解二元函數(shù)偏導數(shù)幾何意義，了解曲線切線和法平面及曲面切平面和法線概念，了解二元函數(shù)泰勒公式。了解：了解二元函數(shù)概念；了解偏導數(shù)（一階和二階）及全微分概念；了解方向?qū)?shù)和梯度概念；了解二元函數(shù)極值概念。掌握：掌握求偏導數(shù)及全微分方法。會求：曲線切線和法平面及曲面切平面和法線；會用隱函數(shù)求導法則；會求二元函數(shù)極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)最大值和最小值，并會處理一些簡單應用問題。第九章重積分教學目標引入二重、三重積分概念、性質(zhì)，給出重積分在不一樣坐標系下計算方法以及幾何。主要內(nèi)容第一節(jié)重積分第二節(jié)二重積分計算法第三節(jié)二重積分應用第四節(jié)三重積分概念及其計算法第五節(jié)利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分基本要求了解：了解三重積分概念，了解重積分性質(zhì)，了解二重積分中值定理。。了解：了解二重積分概念，掌握：掌握二重積分計算方法（直角坐標，極坐標）。會用：會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標），會用重積分求一些幾何量和物理量第十章曲線積分與曲面積分教學目標引入兩類曲線、曲面積分概念和性質(zhì)，并給出計算方法和幾何應用。主要內(nèi)容第一節(jié)對弧長曲線積分第二節(jié)對坐標曲線積分第三節(jié)格林公式及其應用第四節(jié)對面積曲面積分第五節(jié)對坐標曲面積分第六節(jié)高斯公式通量與散度第七節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度基本要求了解：了解兩類曲線積分性質(zhì)及兩類曲線積分關(guān)系；了解兩類曲面積分概念和計算方法；了解斯托克斯公式。了解：了解第二型平面線積分與路徑無關(guān)物理意義；了解兩類曲線積分概念。掌握：掌握格林公式和高斯公式；平面曲線積分與路徑無關(guān)條件。掌握計算兩類曲線積分方法。會用：會求全微分原函數(shù)；會用曲線和曲面積分求一些幾何量和物理量。第十一章無窮級數(shù)教學目標介紹無窮級數(shù)概念，引入數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)和傅立葉級數(shù)及其應用。主要內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)概念和性質(zhì)第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)審斂法第三節(jié)冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)第五節(jié)函數(shù)冪級數(shù)展開式應用第七節(jié)傅立葉級數(shù)第八節(jié)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)周期2l周期函數(shù)傅立葉級數(shù)基本要求了解：了解級數(shù)收斂必要條件。了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)；了解根值審斂法。了解任意項級數(shù)絕對收斂和條件收斂概念；9了解函數(shù)項級數(shù)收斂域及和函數(shù)概念。了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)一些基本性質(zhì)，并會用這些性質(zhì)求冪級數(shù)和函數(shù)，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)一些性質(zhì)。了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)充要條件及函數(shù)展開為冪級數(shù)唯一性；了解函數(shù)傅立葉系數(shù)，傅立葉級數(shù)以及函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)狄利克雷（Dirichlet）充分條件。了解：了解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散及和概念；了解正項級數(shù)比較審斂法以及幾何級數(shù)與p－級數(shù)斂散性；了解冪級數(shù)收斂半徑概念。掌握：掌握正項級數(shù)比較審斂法和比值審斂法；掌握交織級數(shù)萊布尼茲定理。會用：會用這些性質(zhì)求冪級數(shù)和函數(shù)；會利用和馬克勞林展開式，將一些簡單函數(shù)展成冪級數(shù)。會將定義在和上函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)；會將定義在上函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。第十二章微分方程教學目標給出常微分方程概念和幾個基本解法，為處理實際問題做準備。主要內(nèi)容第一節(jié)微分方程基本概念第二節(jié)可分離變量微分方程第三節(jié)齊次方程第四節(jié)一階線性微分方程第五節(jié)全微分方程第七節(jié)可降階高階微分方程第八節(jié)高階線性微分方程第九節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程第十節(jié)二級常系數(shù)非齊次線性微分方程*第十一節(jié)歐拉方程第十二節(jié)微分方程冪級數(shù)解法基本要求了解：了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程解法；了解自由項為多項式，指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)以及它們和與乘積二階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解和特解求法。了解：了解微分方程，階，解，通解，初始條件和特解概念；了解線性微分方程解性質(zhì)及解結(jié)構(gòu)。掌握：掌握變量可分離方程和一階線性方程解法；掌握二階（和一些高于二階）線性齊次線性常系數(shù)微分方程解法。會用：會解齊次方程、伯努利方程及全微分方程；會用降階法求解以下三種高階方程：和會解歐拉方程。注：依照各課程詳細情況編寫，但必須寫明各章教學目標、要求、內(nèi)容提要。三、課時分配及其它（一）課時分配總課時192，周課時6，安排在第一年，第一學期約84課時，內(nèi)容為第一章至第六章，第二學期約108課時，內(nèi)容為第七章至第十二章。章次教學內(nèi)容課時數(shù)一二三四五六七八九十十一十二函數(shù)，極限與連續(xù)導數(shù)與微分中值定理與導數(shù)應用不定積分定積分定積分應用空間解析幾何與向量代數(shù)多元微積分法及其應用重積分曲線積分與曲面積分無窮級數(shù)微分方程總復習221416121281218181820184共計192（二）考評要求1.成績評價平時成績（含考勤、作