數(shù)學（江蘇專用理科提高版）大一輪復習自主學習第47課線面平行與面面平行

第47課線面平行與面面平行【自主學習】第47課線面平行與面面平行(本課時對應同學用書第119~121頁)自主學習回歸教材1.(必修2P41練習2改編)假設直線a∥b，且b平面α，那么直線a與平面α的位置關系為.【答案】a∥平面α或a平面α2.(必修2P45習題9改編)α，β，γ是三個不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α與γ的位置關系為.【答案】平行3.(必修2P41練習1改編)兩個命題：p：平行于同一條直線的兩個平面平行；q：垂直于同一條直線的兩個平面平行.那么真命題為，假命題為.【答案】qp4.(必修2P32練習3改編)如圖，在三棱臺ABCA1B1C1中，A1B1與平面ABC的位置關系是，AA1與平面BCC1B1的位置關系是，AC與平面ACC1A1的位置關系是.(第4題)【答案】平行相交線在面內【解析】直線與平面的位置關系有三種：平行、相交、線在面內.1.一條直線和一個平面的位置關系位置關系直線a在平面α內直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點有很多個公共點有且只有一個公共點沒有公共點符號表示aαa∩α=Aa∥α圖形表示2.直線與平面平行的判定定理：假如平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.直線與平面平行的性質定理：假如一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.3.兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有一條公共直線符號表示α∥βα∩β=a圖形表示4.兩個平面平行的判定定理：假如一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.兩個平面平行的性質定理：假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.【要點導學】要點導學各個擊破線面根本位置關系的真假推斷例1(2014·常州模擬)給出以下命題：①假設線段AB在平面α內，那么直線AB上的點都在平面α內；②假設直線a在平面α外，那么直線a與平面α沒有公共點；③兩個平面平行的充分條件是其中一個平面內有很多條直線平行于另一個平面；④設a，b，c是三條不同的直線，假設a⊥b，a⊥c，那么b∥c.其中為假命題的是.(填序號)【思維引導】推斷命題的真假與否的前提是正確理解各個定理，關鍵在于敏捷轉化各種線面關系，還要熟識各種關于線面的常見關系.解決問題時不要先“想當然〞，而要多些“逆反思維〞.【答案】②③④【解析】易知①正確；對于②，直線a可能與平面α相交，此時它們有公共點；對于③，兩個平面平行的必要條件是其中一個平面內有很多條直線平行于另一個平面；對于④，b與c還可能相交或異面.【精要點評】推斷此類命題真假的常見方法有：(1)依據(jù)一些已有定理直接進行判定或證明；(2)利用常見模型進行推斷；(3)舉反例推斷.變式(2015·鎮(zhèn)江期末改編)設α，β為互不重合的平面，m，n是互不相同的直線，給出以下四個命題：①假設m∥n，nα，那么m∥α；②假設mα，nα，m∥β，n∥β，那么α∥β；③假設α∥β，mα，nβ，那么m∥n；④假設mα，m∥β，α∩β=n，那么n∥m.其中正確的命題為.(填序號)【答案】④【解析】對于①，直線m可能在平面α內，故①錯誤；對于②，沒有m與n相交的條件，故②錯誤；對于③，m與n還可能異面，故③錯誤.線面平行的判定與證明例2如圖(1)，四棱錐PABCD的底面為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為棱AB，PC的中點，求證：EF∥平面PAD.(例2(1))【思維引導】證明線面平行可以取PD的中點M，構造平行四邊形AEFM；也可以構造三角形，找到中位線，再找平行關系；還可以先證明面面平行，再證線面平行.【解答】方法一：如圖(2)，取PD的中點M，連接FM，AM，由于F為PC的中點，所以FM∥CD，且FM=CD.由于四邊形ABCD為平行四邊形，E為AB的中點，所以EA∥CD，且EA=CD，所以FM∥EA，且FM=EA，所以四邊形AEFM為平行四邊形，所以EF∥AM.又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.圖(2)方法二：如圖(3)，連接CE并延長交DA的延長線于點N，連接PN.由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE.又AE=EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE=NE.由于F為PC的中點，所以EF∥NP.又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.圖(3)(例2)【精要點評】(1)線面平行線線平行.(2)找平行關系時，常借助三角形的中位線與邊的平行關系，或借助平行四邊形邊的平行關系.有時還可以借助兩平面平行的關系來證明線面平行.(3)證明線面平行時務必要說清三點：兩線平行；一線在面外；一線在面內.變式1(2015·南京、鹽城一模改編)如圖(1)，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB的中點.求證：OE∥平面BCC1B1.(變式1(1))【解答】如圖(2)，連接BC1，B1C，設BC1∩B1C=F，連接OF.(變式1(2))由于O，F(xiàn)分別是B1D和B1C的中點，所以OF∥DC，且OF=DC.又由于E為AB的中點，所以EB∥DC，且EB=DC，從而OF∥EB，且OF=EB，即四邊形OEBF是平行四邊形，所以OE∥BF.又由于OE平面BCC1B1，BF平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.變式2(2015·宿遷一模)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形.假設平面PBC與平面PAD的交線為l，求證：BC∥l.(變式2)【解答】由于四邊形ABCD為菱形，所以BC∥AD.由于AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.又由于BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l.面面平行的判定與證明例3如圖，正方體ABCDA1B1C1D1，求證：平面BDC1∥平面AB1D1.(例3)【思維引導】要證明面面平行可以查找線線平行和線面平行，即由判定定理，在一個平面內找兩條相交線平行于另一個平面.【解答】在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD1∥BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.同理可證，B1D1∥平面BDC1.又由于AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1內，所以平面AB1D1∥平面BDC1.【精要點評】(1)把面面平行問題轉化為線面平行問題，利用面面平行的判定定理來證明面面平行.(2)在立體幾何中，經(jīng)常通過線線、線面、面面間位置關系的轉化，使問題得到解決.嫻熟把握這種轉化的思想方法，往往能找到解決問題的突破口.(3)證明面面平行的方法：①面面平行的定義；②面面平行的判定定理；③a⊥α，a⊥βα∥β；④α∥γ，β∥γα∥β.變式如圖(1)，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點.求證：平面EB1D1∥平面FBD.(變式(1))【解答】如圖(2)，取B1B的中點G，連接EG，C1G.(變式(2))由于ABCDA1B1C1D1是正方體，所以四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥ED1.又四邊形GBFC1也是平行四邊形，所以C1G∥BF，所以ED1∥BF，又ED1平面FBD，BF平面FBD，所以ED1∥平面FBD.由于B1D1∥BD，且B1D1平面BDE，BD平面BDE，所以B1D1∥平面FBD.又由于ED1∩B1D1=D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.直線與平面平行的探究問題例4如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥平面BCC1B1.設E是B1C1上的一點，當?shù)闹禐槎嗌贂r，A1E∥平面ADC1?請給出證明.(例4)【思維引導】對于求某個特別位置上的點這類問題，一種方法是先猜測出定點的位置，然后證明；另一種方法是可先假定存在這個點，然后再依據(jù)點的特點找到這個點所滿意的條件.【解答】當=1，即E為B1C1的中點時，A1E∥平面ADC1.證明如下：由AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中點.在正三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BCC1B1是矩形，且D，E分別是BC，B1C1的中點，所以B1B∥DE，B1B=DE.又B1B∥AA1，且B1B=AA1，所以DE∥AA1，且DE=AA1.所以四邊形ADEA1為平行四邊形，所以EA1∥AD.又EA1平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.【精要點評】“探究〞在于由未知到，由變化到確定.找平行關系時多借助中點、中位線、平行四邊形等圖形或關系的平行性質.題目的本質仍是線與面的平行關系.變式如圖(1)，三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側棱A1A⊥底面ABC，E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.問：當點M在什么位置時，BM∥平面AEF?(變式(1))【解答】如圖(2)，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.(變式(2))由于側棱A1A⊥底面ABC，AA1平面A1ACC1，所以側面A1ACC1⊥底面ABC.又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，OM⊥AC，所以OM⊥底面ABC.又由于EC=2FB=2，所以OMFBEC，所以四邊形OMBF為矩形，故BM∥OF.又BM平面AEF，OF平面AEF，所以BM∥平面AEF，此時M為AC的中點.1.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD平面α，那么直線CD與平面α內的直線的位置關系可能是.【答案】平行或異面【解析】由于AB∥CD，AB平面α，CD平面α，所以CD∥平面α，所以CD與平面α內的直線可能平行，也可能異面.2.(2015·安徽卷改編)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，那么以下命題中正確的選項是.(填序號)①假設α，β垂直于同一平面，那么α與β平行；②假設m，n平行于同一平面，那么m與n平行；③假設α，β不平行，那么在α內不存在與β平行的直線；④假設m，n不平行，那么m與n不行能垂直于同一平面.【答案】④【解析】①中平面α與β還可能相交；②中直線m與n可以平行、相交或異面；③中在α內可以存在與β平行的直線.只有④正確.3.(2015·南通、揚州、淮安、連云港二調改編)如圖，在四周體ABCD中，M，N，Q分別為棱AD，BD，AC的中點.求證：CD∥平面MNQ.(第3題)【解答】在△ADC中，由于M，Q分別為棱AD，AC的中點，所以MQ∥CD.又CD平面MNQ，MQ平面MNQ，所以CD∥平面MNQ.4.如圖(1)，正方形ABCD和梯形BDEF所在平面相交于直線BD，且BD=2EF，求證：DE∥平面ACF.(第4題(1))【解答】如圖(2)，設AC∩BD=O，連接FO.(第4題(2))由于四邊形ABCD是正方形，所以O是BD的中點.由于BD=2EF，所以DOEF，所以四邊形DOFE是平行四邊形，所以DE∥OF.又由于DE平面ACF，OF平面AFC，所以DE∥平面ACF.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成?配套檢測與評估?中的練習第93~94頁.【檢測與評估】第47課線面平行與面面平行一、填空題1．假如直線l在平面α外，那么直線l與平面α的交點個數(shù)是.2．在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD與平面A1B1C1D1之間的距離為.3．在長方體的全部面中，相互平行的面共有對.4．過兩條異面直線中的一條可以作個平面與另一條直線平行.5．假設直線l上有相異的三個點A，B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關系是.6．給出以下四個命題：①假如一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；③平行于同一條直線的兩個平面相互平行；④垂直于同一條直線的兩個平面相互平行.其中為真命題的是.(填序號)7．以下命題中正確的選項是.(填序號)①假設直線a不在平面α內，那么a∥α；②假設直線l上有很多個點不在平面α內，那么l∥α；③假設直線l與平面α平行，那么l與α內任何一條直線都沒有公共點；④平行于同一平面的兩條直線可以相交.8．如圖，假設Ω是長方體ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFB1HGC1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于點B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于點B1的點，且EH∥A1D1，那么以下結論中不正確的選項是.(填序號)①EH∥FG；②四邊形EFGH是矩形；③Ω是棱柱； ④Ω是棱臺.(第8題)二、解答題9．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別為線段A1A，C1B的中點，求證：EF∥平面ABC.(第9題)10．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點，求證：平面EFG∥平面BDD1B1．(第10題)11．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為棱AA1，CC1的中點，AC⊥BE，點F在線段AB上，且AB=4AF.假設M為線段BE上一點，試確定點M在線段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.(第11題)三、選做題12．(2015·蘇北四市期末)如圖，在三棱錐PABC中，平面PBC⊥平面ABC.假設過點A作直線l⊥平面ABC，求證：l∥平面PBC.(第12題)【檢測與評估答案】第47課線面平行與面面平行1．0或1【解析】直線l在平面α外，有兩種狀況：一種狀況為l∥α，此時沒有交點；另一種狀況是l∩α=A，此時有且只有一個交點.2．a(chǎn)3．34．1【解析】結合線面平行的判定定理可得.5．l∥α或lα【解析】由于直線l上有三個相異點到平面α的距離相等，所以直線l∥平面α或者lα.6．④7．③④【解析】當a∩α=A時，aα，故①錯誤；直線l與α相交時，l上有很多個點不在α內，故②錯誤；l∥α，l與α無公共點，所以l與α內任意一條直線都無公共點，故③正確；長方體中A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，故④正確.8．④【解析】由于EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1．又EH平面BCC1B1．所以EH∥平面BCC1B