平行四邊形（含解析）-2020-2021學年八年級數學下冊期末復習知識點（人教版）

專題03平行四邊形（含解析）

一.平行線之間的距離（共3小題）

1.平行線之間的距離是指（）

A.從一條直線上一點到另一直線的垂線段

B.從一條直線上一點到另一條直線的垂線段長度

C.從一條直線上一點到另一條直線的垂線的長度

D.從一條直線上一點到另一條直線上的一點間線段的長度

2.如圖，MNLAB,垂足為M點，MN交CD于N,過用點作MG_LC￡>,垂足為G,EF

過點N點，且所//A8,交MG于H點,其中線段的長度是到的距離,

線段MN的長度是到的距離，又是的距離，點W到直線MG的距離

3.有這樣的一個定理：夾在兩條平行線間的平行線段相等.下面經歷探索與應用的過程.

探索：

已知：如圖1,AD//BC,AB//CD.求證：AB=CD.

應用此定理進行證明求解.

應用二、已知：如圖3,AD//BC,AC1BD,AC=4,BD=3.求：AD與8c兩條線

段的和.

直角三角形斜邊上的中線（共3小題）

4.如圖，在AABC中，ZC=90°,點。在斜邊/W上，且A￡>=C￡>,則下列結論中錯誤的

結論是（）

A.ZDCB二ABB.BC=BDC.AD=BDD.ZACD=-ABDC

2

5.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,為AC邊上的中線，過點C作CEJ_8。于點E,

過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點尸，在〃'的延長線上截取FG=BD,連接BG、

DF.若AG=10,8G=4,則b的長為.

6.如圖，在AABC中，ZACB=90°,8為AB邊上的高，CE為鉆邊上的中線，4）=2,

CE=5,則CD=

7.在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,D、E分別為AC、他邊上的中點,

連接。E并延長￡>E到尸，使得EF=2ED,連接3尸，則3廠長為（）

A.2B.2邪＞C.4D.473

8.如圖，在AABC中，點。、E1分別是鉆、AC的中點，AC=IO,點F是DE上一

點.DF=\.連接AF,CF.若NAFC=90。，則8c的長度為（）

A.18B.16C.14D.12

9.如圖，已知AABC中，點用是8C邊上的中點,AV平分Nfi4C,BN上AN于點、N,若

AB=8,MN=2,則AC的長為（）

10.如圖，四邊形"CD中，N4=90。，AB=2』,AD=2,點M,N分別為線段3C,

AB上的動點（含端點，但點“不與點3重合），點E,尸分別為。M,MN的中點，則

長度的最大值為（）

B

A.3B.2GC.4D.2

11.已知AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,點￡）、E、尸分別為三邊中點，則△￡）￡■/

的周長為—.

四.平行四邊形的性質（共4小題）

12.oA8CD中，對角線AC和BD相交于O,如果AC=10,8/）=6,AB=m,那么"的

取值范圍是（）

A.1</w<10B.2<m<8C.6<m<8D.4</n<16

13.如圖，QABCE）中，對角線AC、%）相交于點O,OELBD交AD于點E,連接BE,

若aABCD的周長為18,則MBE的周長為（）

A.8B.9C.10D.18

14.如圖，在平行四邊形AfiCD中，ZB=60°,BC=4,點￡為邊M上的一個動點，連

接￡D并延長至點F,使得DF=LDE,以EC、EF為鄰邊構造平行四邊形EFGC,連接EG,

3

則EG的最小值為.

15.如圖，QABCD的對角線AC、處相交于點O,且OE=OF.

（1）求證：ABOE=ADOFt

（2）求證：BE//DF.

五.平行四邊形的判定（共3小題）

16.如圖，四邊形A88的對角線AC,BD交于點O,則不能判斷四邊形A8C。是平行四

邊形的是()

A.ZABC=ZADC,ADI/BCB.ZABD=NBDC,ZBAD=ZDCB

C.ZABD=ZBDC,OA=OCD.ZABC=ZADC,AB=CD

17.下列說法不正確的是()

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

18.如圖，E,尸是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE,DF=BE,DFUBE.求

證：

(1)AAFDaACEB；

(2)四邊形AfiCZ)是平行四邊形.

六.平行四邊形的判定與性質(共3小題)

19.(1)甲、乙兩個服裝廠加工同種型號的防護服，甲廠每天加工的數量是乙廠每天加工數

量的1.5倍，兩廠各加工600套防護服，甲廠比乙廠要少用4天.求甲、乙兩廠每天各加工

多少套防護服？

(2)如圖，點C,。在線段他上，CELAB,DF1AB,AC=BD,AE=BF,點、G為

AB,即的交點，求證?！辏九c即互相平分.

E

20.如圖，已知四邊形ABC￡>,AD=BC，AB=DC,對角線AC、89相交于點O,點E

是四邊形A8CD外一點.

（1）求證：AC,班?互相平分；

（2）若NAEC=NBED=90°,請判斷四邊形ABC。的形狀，并給予證明.

E

BC

21.如圖，在四邊形ABCD中，AC和3D是它的兩條對角線，點E,E分別為A￡>、BC的

中點，點M、N分別為比）、AC的中點.求證：EF與MN互相平分.

七.菱形的性質（共3小題）

22.如圖所示，在菱形他CD中，AC、如相交于O,NABC=70。，E是線段AO上一點,

23.如圖，在菱形AfiCD中，AC與8。相交于點O,點P是■的中點，PO=2,則菱形

A88的周長是（）

A.4B.8C.16D.24

24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、8￡）相交于點O,￡為他中點，AC=6,BD=8,

則線段OE的長為—.

八.菱形的判定（共2小題）

25.如圖，將AABC沿射線BC方向平移得到ADCE,當AABC滿足條件時（填一個條

件），能夠判定四邊形ACED為菱形.

26.如圖，在Q/WC￡）中，點￡、尸在對角線瓦＞上，BE=DF.

（1）求證：四邊形業(yè)戶是平行四邊形：

（2）若比）平分NABC,求證：四邊形是菱形.

九.菱形的判定與性質（共2小題）

27.如圖，四邊形438中，AB//CD,對角線AC平分NfiAZ）,且CB/MD.

（I）求證：四邊形是菱形；

(2)如果四邊形ABQ9的面積為24,AC=8,則四邊形ABC￡＞的周長為.

28.在RtAABC中，NR4c=90。，。是3c的中點，￡是AD的中點，過點A作AF//3c交

5E的延長線于點尸.

(1)證明：四邊形ADb是菱形；

(2)若AC=3,43=4,求菱形49CF的面積.

一十.矩形的性質(共4小題)

29.如圖，在矩形中，AB=4,8C=8,對角線AC、BE＞相交于點O,過點。作。E

)

C.2.4D.2.5

30.如圖，在矩形中，4￡＞=10,AB=6,點E為8c上的一點,￡D平分ZAEC,

則8E的長為()

A.10B.8C.6D.4

31.下列結論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質是()

A.內角和為360。B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線互相垂直

32.如圖，矩形中，AB=2,BC=4,E在邊8c上運動，M、N在對角線應)上

運動，且MV=6，連接CM、EN,則CA/+￡7V的最小值為.

一十一.矩形的判定(共3小題)

33.下列關于四邊形的說法，正確的是()

A.四個角相等的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直的四邊形是矩形

C.有兩邊相等的平行四邊形是菱形

D.兩條對角線相等的菱形是矩形

34.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、BD交于點O.

(1)若于點￡,3尸，4。于點尸，求證：AE=CF；

(2)若。O=』AC,求證：四邊形/WCD為矩形.

2

35.如圖，在AABC中，ZACB=90°,。點是AB的中點，DE、￡獷分別是ABDC、AADC

的角平分線.

(1)求NCFD的度數；

(2)求證：四邊形是矩形.

E

ADB

一十二.矩形的判定與性質（共2小題）

36.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊3c上一動點，于E,

PF_LAC于尸，"為EF中點，則AM的最小值為（）

37.已知AA8c的三邊4?=3,AC=4,BC=5,如圖，P為8c邊上一動點，PMLAB

于點M,PN工AC于■點、N.

（1）求證：四邊形AWPN是矩形；

（2）在點尸的運動過程中，MN的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存

在，請說明理由.

一十三.正方形的性質（共4小題）

38.如圖，已知正方形W）的邊長為4,P是對角線加上一點，PEI/CD千點、E,PF11BC

于點尸，連接”，EF.給出下列結論：①PD=4iEC；②四邊形PECF的周長為8；③

A4PD一定是等腰三角形；④=其中正確結論的序號為（）

A.①②④B.①③④C.②④D.②③

39.如圖，點A,B,￡在同一條直線上，正方形正方形BEFG的邊長分別為6、

8,”為線段小的中點，則的長為()

A.6B.8C.6或8D.5夜

40.如圖，正方形A88和正方形CEFG中，點。在CG上，BC=1,4是AF的中點，CH=3,

那么CE的長是()

A.3B.4C.V15D.V17

41.在矩形A88中，AB=3,BC=4,動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射

線3c方向運動，連接AE,以AE為邊向上作正方形A￡FG.設點E的運動時間為f(r>0).

(1)如圖1,EF與CD邊交于點、M,當DW=E”時，求此時f的值；

(2)如圖2,當點F恰好落在矩形任意兩個頂點的所在直線上時，請求出所有符合條件的r

的值.

圖1圖2

一十四.正方形的判定（共2小題）

42.下列說法中，正確的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

43.下列說法不正確的是（）

A.有一個角是直角的菱形是正方形

B.對角線互相垂直的矩形是正方形

C.四條邊都相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線相等的菱形是正方形

一十五.正方形的判定與性質（共3小題）

44.如圖，小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB=BC,

@ZABC=90°,?AC=BD,④AC_L超＞中任選兩個作為補充條件，使口MCI）為正方

形.現有下列四種選法，你認為其中錯誤的是（）

45.如圖，點E是正方形對角線AC上一點，EF1AB,EG±BC,垂足分別為產，

G,若正方形的周長是40（加.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）求四邊形EFBG的周長；

（3）當AF的長為多少時，四邊形BFEG是正方形？

46.如圖，已知四邊形為正方形，48=3亞，點E為對角線AC上一動點，連接DE,

過點￡作防，小，交BC于點F,以DE、為鄰邊作矩形E>￡FG,連接CG.

(1)求證：矩形QEFG是正方形;

(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

專題03平行四邊形（含解析）

參考答案與試題解析

平行線之間的距離（共3小題）

1.平行線之間的距離是指（）

A.從一條直線上一點到另一直線的垂線段

B.從一條直線上一點到另一條直線的垂線段長度

C.從一條直線上一點到另一條直線的垂線的長度

D.從一條直線上一點到另一條直線上的一點間線段的長度

【分析】根據平行線間的距離的定義直接進行選擇即可.

【解答】解：平行線之間的距離是指：從一條直線上一點到另一條直線的垂線段長度.

故選：B.

【點評】本題考查了平行線間的距離的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

2.如圖，MNA.AB,垂足為〃點，MN交CD于N,過M點作MG_LC￡>,垂足為G,EF

過點N點，且防/MB,交MG于H點、,其中線段GM的長度是點M到的距

離，線段的長度是到的距離，又是的距離，點N到直線的距離

是

【分析】點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線段的長度，根據這一定義結合圖

形進行填空即可.

【解答】解：線段GM的長度是點M到直線的距離；

線段MN的長度是點M到直線印的距離，又是平行線43、EF間的距離；

點N到直線MG的距離是線段GN的長度.

【點評】正確理解點到直線的距離的定義是解決此類問題的關鍵.

3.有這樣的一個定理：夾在兩條平行線間的平行線段相等.下面經歷探索與應用的過程.

探索：

己知：如圖1,AD//BC,AB//CD.求證：AB=CD.

應用此定理進行證明求解.

段的和.

【分析】探索：利用平行線的性質得出，ZDAC=ZBCA,ZBAC=ZDCA,進而得出

/SABCACDA(ASA),求出即可；

應用一：作DE//AB交BC于點E,利用平行線的性質得出々=NC;

應用二：利用平行線的性質結合勾股定理得出45與3c兩條線段的和.

【解答】探索：

證明：如圖1,

連接AC,

-,-AD//BC,:.ZDAC=ZBCA

-,-AB//CD.ZBAC=ZDCA

在MBC和ACD4中，

ZBAC=ZDCA

<AC=AC,

NACB=NDAC

.-.AABC^ACDA(ASA),

/.AB=CD；

應用一：

證明:如圖2,

作DE//AB交BC于點、E,

-.?AD//BC,

:.AB=DE

\AB=CDf

/.DE=CD?

/.ZDEC=ZC

?：DEIIAB,

:"B=ZDEC,

:"B=/C;

應用二、

解：如圖3,

作DF//AC交BC的延長線于點F

-,-AD//BC,:.AC=DF,AD=CF,

DF11AC,ABDF=ZBEC,

.AC^BD,:.ZBDF=NBEC=90。,

在RtABDF中，由勾股定理得：BF=5,

【點評】此題主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定與性質和平行線的性質等知識，正

確作出輔助線是解題關鍵.

二.直角三角形斜邊上的中線（共3小題）

4.如圖，在AABC中，NC=90。，點。在斜邊上，且A￡>=CD,則下列結論中錯誤的

結論是（）

A.ZDCB=ZBB.BC=BDC.AD=BDD.ZACD=-ZBDC

2

【分析】根據同角的余角相等判斷A：根據題意判斷3；根據等腰三角形的性質判斷C；

根據三角形的外角性質判斷D.

【解答】解：?.?NC=90。，

.-.ZA+ZB=9Q°,ZACD+ABCD=90°,

.AD=CD,

:.ZA=ZACD,

:.ZB=ZBCD,A選項結論正確，不符合題意；

3c與比＞不一定相等，8選項結論錯誤，符合題意；

?;NB=NBCD,

:.BD=CD,

.AD=CD,

：.AD=BD,C選項結論正確，不符合題意；

■.?ZA=ZACD,

：.NBIX：=ZA+ZACD=2ZACD,

:.ZACD=-ZBDC,。選項結論正確，不符合題意；

2

故選：B.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質，掌握在

直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.

5.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,比）為AC邊上的中線，過點C作CE_L8。于點E,

過點A作BD的平行線,交CE的延長線于點F,在瓶的延長線上截取FG=BD,連接BG、

DF.若AG=10,BG=4,則CF的長為_2近_.

G

//\

ADC

【分析】首先可判斷四邊形8GFZ)是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

可得BD=FD,則可判斷四邊形是菱形，則GF=5,則AF=8,AC=10,在RtAACF

中利用勾股定理可求出CF的值.

【解答】解：;AG//%),BD=FG,

：.四邊形3GFD是平行四邊形，

■.CFYBD,

:.CF±AG,

又?.,瓦)為AC邊上的中線，zS4BC=90°,

:.BD=DF=-AC,

2

二四邊形3GF力是菱形，

:.BD=DF=GF=BG=4,貝UA尸=AG-G尸=10—4=6,AC=2BD=8,

?.?在RtAACF中，ZCFA=90°,

:.AF2+CF2=AC2,EP62+CF2=82,

解得：CF=2y/l.

故答案是：2出.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質，解答本

題的關鍵是判斷出四邊形8Gm是菱形.

6.如圖，在AA8C中，ZACB=90°,8為45邊上的高，CE為45邊上的中線，4)=2,

【分析】根據直角三角形的性質求出四，結合圖形求出班＞,根據射影定理計算.

【解答】解：?.?NACB=90。，CE為43邊上的中線，

.\AB-2CE=10,

.-.BD=AB-AD=S,

由射影定理得，CD=qADBD=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質，射影定理，在直角三角形中，斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

三.三角形中位線定理（共5小題）

7.在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°.BC=4,D、E分別為AC、AB邊上的中點,

連接。E并延長小到尸，使得EF=2ED,連接5尸，則成長為（）

A.2B.2>/3C.4D.473

【分析】根據直角三角形的性質求出A3,進而求出AE、硝，根據三角形中位線定理得

到DEHBC,得到ZAED=ZAED=60°,根據等邊三角形的判定定理和性質定理解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,

..AB=2BC=8,ZABC=60°,

?.?E為4?邊上的中點，

:.AE=EB=4,

-：D,￡分別為AC、/R邊上的中點，

.-.DE//BC,

：.ZAED=ZAED=6O°,

:.ZBEF=ZABC=Of,

在RtAAED中，ZA=30。，

：.AE=2DE,

?;EF=2DE,

：.AE=EF,

；.MEF為等邊三角形,

:.BF=BE=4,

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等邊三角形的判定和性質、直角三角形的性質,

掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

8.如圖，在AA8C中，點、D、E分別是AB、AC的中點，4C=I0,點F是DE上一

點.DF=1.連接AF,CF.若NAFC=90。，則BC的長度為（）

A.18B.16C.14D.12

【分析】根據直角三角形的性質求出所，進而求出DE,根據三角形中位線定理計算，得

到答案.

【解答】解：?.?NAFC=90。，點E是AC的中點，AC=10,

.?.EF=-AC=-xlO=5,

22

,;DF=\,

.-.DE=DF+EF=6,

?.?點￡＞、E分別是AB、AC的中點，

:.BC=2DE=\2,

故選：D.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于

第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

9.如圖，已知AABC中，點M是BC邊上的中點，AV平分N班C,BN上AN于懸N,若

AB=8,MN=2,則AC的長為（）

A.12B.11C.10D.9

【分析】延長助V交AC于。，證明=根據全等三角形的性質、三角形中位

線定理計算即可.

【解答】解：如圖，延長8V交AC于￡>,

在A4NB和AAA?中，

.NNAB=NNAD

■AN=AN,

ZANB=NAND=90°

:.MNBMMND（ASA）,

:.AD=AB=8,BN=ND,

又是AABC的邊8c的中點，

:.MN是ABCD的中位線，

:.DC=2MN=4,

:.AC=AD+CD=S+4=12,

故選：A.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且

等于第三邊的一半.

10.如圖，四邊形A8C。中，NA=90。，AB=2g,4D=2,點M,N分別為線段8C,

45上的動點（含端點，但點M不與點3重合），點E,尸分別為。M,MN的中點，則即

長度的最大值為（）

A.3B.26C.4D.2

【分析】連接ON、DB,根據勾股定理求出即，根據三角形中位線定理得到

2

結合圖形解答即可.

【解答】解：連接￡>N、DB,

在RtADAB中，ZA=90°,AB=2+,AD=2,

：.BD=yjAD2+AB2=4,

?.?點E,尸分別為MN的中點，

:.EF=-DN,

2

由題意得，當點N與點8重合是￡W最大，最大值為4,

防長度的最大值為2,

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一

半是解題的關鍵.

II.已知AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,點。、E、F分別為三邊中點，則ADEF

的周長為9.

【分析】根據三角形中位線定理分別求出DE、EF、DF,根據三角形的周長公式計算即

可.

【解答】解：?.?點￡>,E分別4?、BC的中點,

:.DE=-AC=3.5,

2

同理，DF=-BC=3,EF=-AB=2.5,

22

ADEF的周長=QE+EF+￡＞尸=9,

故答案為:9.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第

三邊的一半是解題的關鍵.

四.平行四邊形的性質（共4小題）

12.aABCD^,對角線AC和雙）相交于O,如果AC=10,BD=6,AB=m,那么，〃的

取值范圍是（）

A.1</?<10B.2<m<8C.6<<8D.4</n<16

【分析】根據平行四邊形的性質求出、OB,根據三角形的三邊關系定理得到

OB-OA<m<OA+OB,代入求出即可求得的取值范圍.

【解答】解：?.?四邊形是平行四邊形，AC=IO,BD=6,

.\OA=OC=5,OD=OB=3,

在AOAB中，OB-OA<m<OA+OB,

5-3VAz2V5+3,

2<"?<8,

【點評】本題考查對平行四邊形的性質，三角形的三邊關系定理等知識點的理解和掌握，求

出、03后得出03-<Q4+03是解此題的關鍵.

13.如圖，口鉆8中，對角線AC、或）相交于點O,比_13￡>交4）于點￡,連接BE,

若口ABC。的周長為18,則A4BE的周長為（)

A.8B.9C.10D.18

【分析】先證EO是比）的中垂線，得出BE=ED,從而可得出AABE的周長=4?+AT>,

再由QA8CD的周長為18,即可得出答案.

【解答】解：?.?四邊形438是平行四邊形，

:.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

?.七?8的周長為18,

AB+AD=9,

.OE±BD,

二OE是線段8。的中垂線，

:.BE=ED,

AA8E的周長=A8+5E+AE=A8+=9,

故選：B.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質、線段的中垂線的性質以及三角形周長等知識，解答

本題的關鍵是判斷出OE是線段處的中垂線.

14.如圖，在平行四邊形A8CD中，ZB=60°,8c=4,點E為邊A3上的一個動點，連

接￡?并延長至點尸，使得DF=，OE,以EC、即為鄰邊構造平行四邊形EFGC,連接EG,

3

【分析】根據題意和平行四邊形的性質，可以得到區(qū)）和）的比值，再根據三角形相似和

最短距離，即可得到EG的最小值，本題得以解決.

【解答】解：作于點”，

???在口ABC。中，Zfi=60。，BC=4,

CH=26

???四邊形ECGF是平行四邊形，

:.EF//CG.

:.\EOANGOC,

.EODOED

GO~~cd~GC'

???DF=-DE,

3

DE3

----=—,

EF4

ED3

---=—，

GC4

EO3

/.=—,

GO4

??.當EO取得最小值時，EG即可取得最小值,

當EO_LCD時，EO取得最小值，

CH=EO,

..￡0=26，

:.GO=-^，

3

/.EG的最小值是2V3+-V3=—73，

33

故答案為：—\/3.

3

【點評】本題考查平行四邊形的性質、三角形的相似、垂線段最短，解答本題的關鍵是明確

題意，利用數形結合的思想解答.

15.如圖，oABCD的對角線AC、8。相交于點O,且。石二O尸.

(1)求證：NBOE=MX)F■,

（2）求證：BE!IDF

【分析】（1）由平行四邊形的性質得出03=8,由SAS證明ABOE三ADOF即可;

（2）先證明四邊形EMD是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得出結論.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

08=00,

在ABOE和ADOF中，

OE=OF

-NB0E=4DOF,

OB=OD

\BOE=ADOF（SAS）；

（2）連接。E、BF,

由（1）知ABOE=ADOF,

:.OB=OD,OE=OF,

：.四邊形是平行四邊形，

:.BE//DF.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握平行四

邊形的判定與性質是解決問題的關鍵.

五.平行四邊形的判定（共3小題）

16.如圖，四邊形438的對角線AC,BD交于點、O,則不能判斷四邊形ABCD是平行四

邊形的是（）

A

D

//

----^C

A.ZABC=ZADC,AD//BCB.ZABD=^BDC,ABAD=ZDCB

C.ZABD=ZBDC,OA=OCD.ZABC=ZADC,AB=CD

【分析】利用所給條件結合平行四邊形的判定方法進行分析即可.

【解答】解：A、；AD/IBC,

NABC+NBM>=180。，

?/ZABC=ZAZX?,

/.ZAZ）C+ZBAD=180o,

：.AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項不合題意；

B、?.?ZABD=NBDC,NBAD=/DCB,

：.ZADB=NCBD,

：.AD//CB,

???ZABD=ZBDC,

.?.ABI/CD,

.??四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項不合題意；

C、\ZABD=ZBDC,OA=OC,

又ZAOB=/COD,

:.^AOB=ACOD（AAS）t

:.DO=BO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；

D、ZABC=ZADC,/W=CD不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項符合題意;

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形

是平行四邊形.（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的

四邊形是平行四邊形.(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.(5)對角線互相平分

的四邊形是平行四邊形.

17.下列說法不正確的是()

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

【分析】由平行四邊形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A、?.?兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

選項A不符合題意；

3、?.?一組時邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，

，選項B符合題意；

C、?.?一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

，選項C不符合題意；

?一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，

選項。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.

18.如圖，E,尸是四邊形/WCD的對角線AC上兩點，AF=CE,DF=BE,DFUBE.求

證：

(1)MFD三NCEB；

(2)四邊形他CD是平行四邊形.

【分析】(1)利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等(SAS),這一判定定理容易證

(2)由AAFD三容易證明AQ=8C且AQ//BC,可根據一組對邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形.

【解答】證明：（1）-.-DF//BE,

；.ZDFE=ZBEF.

在AADF和ACBE中,

DF=EB

<ZDFA=ZBEC,

AF=CE

:.^FD^ACEB(SAS)；

(2)由(1)知AAFZ)三ACE3,

.-.ZDAC=ZBCA,AD=BC,

：.AD//BC.

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判

定定理是解題的關鍵.

六.平行四邊形的判定與性質（共3小題）

19.（1）甲、乙兩個服裝廠加工同種型號的防護服，甲廠每天加工的數量是乙廠每天加工數

量的1.5倍，兩廠各加工600套防護服，甲廠比乙廠要少用4天.求甲、乙兩廠每天各加工

多少套防護服？

（2）如圖，點C,。在線段/W上，CEA.AB,DFA.AB,AC=BD,AE=BF,點G為

AB,所的交點，求證CD與EF互相平分.

【分析】（1）設乙廠每天加工x套防護服，則甲廠每天加工1.5x套防護服，根據“兩廠各加

工600套防護服，甲廠比乙廠要少用4天”列出分式方程解答即可；

(2)連接CF、DE,易證CE//DF,由此證得AACE三ABDF,得出CE=OF,則四邊

形CFE應為平行四邊形，即可得出結論.

【解答】(1)解：設乙廠每天加工x套防護服，則甲廠每天加工1.5x套防護服，

由題意得：600_629.=4,

x1.5%

解得：x=50,

經檢驗：x=5O是所列方程的解，

/.1.5x=75,

答：甲廠每天加工75套防護服，乙廠每天加工50套防護服；

(2)證明：連接CF、DE,如圖所示：

.CEA.AB,DFLAB,

:.CE//DF,ZACE=ZBDF=90°,

在RtAACE與RtABDF中，

\AC=BD

[AE=BF'

:.^CE=\BDF(HL),

：.CE=DF,

：.四邊形CFDE為平行四邊形，

.?.8與防互相平分.

【點評】本題考查分式方程的應用、平行線的判定、全等三角形的判定與性質、平行四邊形

的判定與性質等知識；正確分析題意找到合適的數量關系和熟練掌握平行四邊形的判定是解

決問題的關鍵.

20.如圖，已知四邊形A8C￡>,AD=BC,AB=DC,對角線AC、3D相交于點O,點E

是四邊形43co外一點.

（1）求證：AC、如互相平分；

（2）若NAEC=NBED=90°,請判斷四邊形ABCZ）的形狀，并給予證明.

E

BC

【分析】（1）證四邊形A88是平行四邊形，即可得出結論；

（2）由（1）得：四邊形ABCD是平行四邊形，則。4=OC,OB=OD,再由直角三角形

斜邊上的中線性質得OE=，AC,OE=-BD,則AC=M,即可得出結論.

22

【解答】（1）證明：?.,AO=8C,AB^DC,

：.四邊形/WCZ）是平行四邊形，

:.AC>互相平分；

（2）解：四邊形438是矩形，證明如下：

連接OE，如圖所示：

由（1）得：四邊形ABC￡>是平行四邊形，

:.OA=OC,OB=OD,

?.■ZAEC=ZBED=90°,

:.OE=-AC,OE=-BD,

22

.e.AC=BD9

平行四邊形ABCD是矩形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質

等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵.

21.如圖，在四邊形A8CD中，AC和應）是它的兩條對角線，點E,尸分別為A。、8c的

中點，點M、N分別為BD、AC的中點.求證：b與MN互相平分.

【分析】連接ME、MF、NE、NF,證出ME是的中位線，由三角形中位線定理

得出ME〃相，同理叱//8,ENUCD,FN//AB,再證出ME〃/W,MFHEN,則

四邊形￡M/W是平行四邊形，即可得出結論.

【解答】證明：連接ME、MF、NE、NF,如圖所示：

：E,M分別是A￡>,或>的中點，

.?.ME是的中位線，

:.ME//AB,

同理：MFUCD,EN//CD,FN//AB,

:.ME//FN,MF//EN,

：.四邊形EMFN是平行四邊形，

,印與互相平分.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理等知識；熟練掌握三角形

中位線定理，證明四邊形項ffW為平行四邊形是解題的關鍵.

七.菱形的性質（共3小題）

22.如圖所示，在菱形A3CD中，AC,加）相交于O,ZABC=70°,E是線段AO上一點，

則NBEC的度數可能是（）

A.100°B.70°C.50°D.20°

【分析】由菱形的性質可得NABO=35。，AC±BD,可得44c=55。，由三角形的外角

性質可求解.

【解答】解：?.,四邊形ABCD是菱形，ZABC=70°,

.-.ZABO=35°,AC.LBD,

ABAC=55°,

ZBEC=ZBAC+ZABE,

.?.55啜區(qū)BEC90°,

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質，熟練運用菱形的性質是本題的關鍵.

23.如圖，在菱形/WCD中，AC與相交于點O,點P是的中點，PO=2,則菱形

ABC￡）的周長是（）

A.4B.8C.16D.24

【分析】根據菱形的性質可得AC,3D,M=3C=8=4）,再根據直角三角形的性質

可得AB=2OP,進而得到他長，然后可算出菱形ABCD的周長.

【解答】解：?.?四邊形/WCD是菱形，

：.ACLBD,AB=BC=CD=AD,

?.?點P是43的中點，

.-.AB=2OP,

-.PO=2,

:.AB=4,

二.菱形ABC。的周長是：4x4=16,

故選：C.

【點評】此題主要考查了菱形的性質，關鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直，四邊相等,

此題難度不大.

24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、3。相交于點O,E為他中點，AC=6,BD=8,

則線段O￡的長為-

-2-

【分析】由菱形的性質可得。4=OC=3,OB=OD=4,AOA.BO,由勾股定理求出49,

再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結果.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,

:.OA=OC=3,OB=OD=4,AOA.BO,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=^OA2+OB2=732+42=5,

???E為AB中點,

:.OE=-AB=-

22

故答案為：—.

2

【點評】本題考查了菱形的性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；熟練掌

握菱形對角線互相垂直且平分的性質是解題的關鍵.

八.菱形的判定（共2小題）

25.如圖，將AABC沿射線8c方向平移得到ADCE,當AABC滿足條件_AC=8C_時（填

一個條件），能夠判定四邊形HCTO為菱形.

【分析】由題意可證四邊形ACED是平行四邊形，根據菱形的判定，可得滿足條件.

【解答】解：AABC滿足條件為AC=BC

???將AABC沿射線8C方向平移得到/SDCE

AD=CE,ADIICE

四邊形AC。是平行四邊形

\AC=BC

，平行四邊形ACED是菱形.

故答案為AC=BC

【點評】本題考查了菱形的判定，平移的性質，熟練運用平移的性質是本題的關鍵.

26.如圖，在口A8CD中，點E、尸在對角線應)上，BE=DF.

(1)求證：四邊形血戶是平行四邊形；

(2)若83平分NABC,求證：四邊形AEB是菱形.

BC

【分析】(1)由平行四邊形的性質得。4=OC,OB=OD,再證。E=。e，即可得出結論;

(2)根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明.

【解答】證明：(1)如圖，連接AC,與皮)相交于點O,

四邊形AfiCD是平行四邊形，

:.OA-OC,OB=OD,

.BE=FD,

:.OB-BE=OD-DF,即OE=O尸.

四邊形AEC尸是平行四邊形；

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,

:.ZADB=ZDBC,

?.,如平分ZAfiC,

:.ZABD=ADBC,

:.ZABD=ZADB,

.\AB=AD,

.??平行四邊形ABC。是菱形，

ACVBD,

即ACJLEF;

由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形,

.?.四邊形業(yè)戶是菱形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、等腰三角形的判定等知

識；熟練掌握菱形的判定與性質和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵.

九.菱形的判定與性質（共2小題）

27.如圖，四邊形中，AB//CD,對角線AC平分NS4Z）,且CB//AD.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）如果四邊形48（%＞的面積為24,AC=8,則四邊形ABC。的周長為20.

【分析】（1）先證四邊形/W8是平行四邊形，再證AD=CD,即可得出結論；

（2）連接皮）交47于O,由菱形的性質得A5=8C=CD=AD,OA=OC=-AC=^,

2

OB=OD,ACLBD,再由菱形的面積求出比＞=6,則O3=OD=3,然后由勾股定理求

出AB=5,即可求解.

【解答】（1）證明：?.,A8//8,CB//AD,

：.四邊形/WCD是平行四邊形，

?.?AC平分

:.ZBAC=ZDAC,

?/AB//CD,

ZBAC=ZACD,

.\ZDAC=ZACD,

:.AD=CD,

???平行四邊形ABC。是菱形；

（2）連接班）交AC于O,如圖所示：

由（1）得：四邊形A8CD是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,OA=OC」AC=