第三章二維隨機變量及其分布

§1二維隨機變量的基本概念背景介紹：實際對于某些隨機試驗的結果，往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述。炮彈彈著點位置需要用橫坐標X和縱坐標Y來描述.(X,Y)---二維隨機向量例：考查某一地區(qū)學前兒童的發(fā)育情況,則需要觀測兒童的身高H

和體重W.

這里樣本空間S={e}={該地區(qū)的全部學齡前兒童}，H(e)和W(e)是定義在S上的兩個隨機變量。由它們構成的一個向量(H,W),叫做二維隨機向(變)量。圖示一.定義說明：(1)二維隨機變量(X,Y)的性質不僅與X

和Y

有關,還依賴于這兩個隨機變量的相互關系,所以要把(X,Y)

看做一個整體.二.二維隨機變量的分布函數

1.分布函數的定義

用乘法公式求2.分布函數的幾何意義x1x2y1y2yxo(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)3.一個重要公式10

F(x,y)是變量x,y的不減函數，即對于任意固定的y,當x1<x2時，對于任意固定的x,當y1<y2時，yox(x1,y)yx1x2(x2,y)4.分布函數的性質對于任意固定的y

,對于任意固定的

x

,且yoxy(x1,y)x1(x1,y)x1(x1,y)x1(x1,y)x12030

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)關于

x

右連續(xù)，關于y

也右連續(xù).40xx1x2yoy1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)(x1<x2，y1<y2)10

上述四條性質是二維R.V分布函數的最基本性質，即任何二維R.V的分布函數都具有這四條性質；20

更進一步可以證明：如果某一二元函數具有這四條性質，則它一定是某一二維R.V的分布函數?；菊f明：例1設二維隨機變量的分布函數為(1)試確定常數A,B,C;(2)求事件的概率.解(1)由二維隨機變量的分布函數的性質,可得(2)的分布函數為1.二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律三.二維離散型隨機變量及其分布

若二維隨機變量

(X,Y)所取可能值是有限對或無限可列多對,則稱

(X,Y)為二維離散型隨機變量.二維隨機變量(X,Y)的分布律也可表示為解且由乘法公式得例2例3

一個袋中有三個球,依次標有數字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個,設每次取球時,各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標有的數字,求(X,Y)的分布律.

(X,Y)的可能取值為解故(X,Y)的分布律為：2.二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數則隨機變量(X,Y)

的分布函數為四.二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度1.定義2.性質表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.(曲面z=f(x,y)總位于xoy平面上部)2.性質(曲面z=f(x,y)總位于xoy平面上部)例4由概率的性質

設G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為A二維隨機變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個點都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為GG1說明